Полугруппа

• Разделы:
  • Структура полугруппы
  • Отношения Грина
  • См. также

В математике, полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией (S,∗){displaystyle (S,*)}.

Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента. Мы не будем предполагать непустоту и существование единицы, а полугруппу с единицей будем называть моноидом. Следует отметить, что любую полугруппу S, не содержащую единицы, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент e∉S{displaystyle enot in S} и определив es=s=se ∀s∈S∪{e}{displaystyle es=s=se forall sin Scup {e}}.

Содержание

• 1 Примеры полугрупп
• 2 Структура полугруппы
• 3 Отношения Грина
• 4 См. также

Примеры полугрупп

• Положительные целые числа с операцией сложения.
• Любая группа является также и полугруппой.
• Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
• Множество всех отображений множества в себя с операцией суперпозиции отображений
• Множество всех бинарных отношений на множестве с операцией умножения бинарных отношений.
• Множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации (присоединения)

Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биекция f : S → T, такая что∀a, b∈S f(ab)=f(a)f(b){displaystyle forall a, bin S f(ab)=f(a)f(b)}

 .

Структура полугруппы

Если A,B⊂S{displaystyle A,Bsubset S}

 , то принято обозначать AB={ab|a∈A,b∈B}{displaystyle AB={ab|ain A,bin B}} 

Подмножество A полугруппы S называется подполугруппой, если оно замкнуто относительно полугрупповой операции и само в свою очередь является полугруппой.

Если подмножество A непусто и AS (SA) лежит в A, то A называют правым (левым) идеалом. Если A является одновременно левым и правым иделом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение двух идеалов — также идеал; из этого следует, что полугруппа не может иметь более одного наименьшего идеала. Пример полугруппы, в которой нет наименьшего идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как

an=a⋅a⋅…⋅a⏞n PA3{displaystyle a^{n}={overset {n mathrm {PA} 3}{overbrace {acdot acdot …cdot a} }}} .

Для степени элемента справедливо am+n=am⋅an,(an)m=anm,∀n,m∈N{displaystyle a^{m+n}=a^{m}cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{nm},forall n,min mathbb {N} }

 .

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов a и b определено правое (a/b) и левое (ba) частное.

Отношения Грина

В 1951 году Грин ввел пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе S{displaystyle S}

  определяются следующими формулами

aRb⇔aS1=bS1        aLb⇔S1a=S1b         aJb⇔S1aS1=S1bS1{displaystyle aRbLeftrightarrow aS^{1}=bS^{1} aLbLeftrightarrow S^{1}a=S^{1}b aJbLeftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}}

H=L∩R         D=R∨L{displaystyle H=Lcap R D=Rvee L}

Уже из определения видно, что R — левая конгруэнция, а L — правая конгруэнция. Также известно, что D=R∘L=L∘R{displaystyle D=Rcirc L=Lcirc R}

 . Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы a и b R-эквивалентны, u,v такие, что au=b, bv=a и pu,pv{displaystyle p_{u},p_{v}}  — соответствующие правые сдвиги, то pu,pv{displaystyle p_{u},p_{v}}  — взаимно обратные биекции La{displaystyle L_{a}}  на Lb{displaystyle L_{b}}  и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

См. также

• Алгебраическая система