У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения).
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; представляющее собой набор, совокупность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элементов этого множества.[1] Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы.[2]
Несколько многоугольников на диаграмме Эйлера
Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики. Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую идеологию и терминологию.
Содержание
- 1 История понятия
- 2 Элемент множества
- 3 Задание множества
- 4 Отношения между множествами
- 5 Операции над множествами
- 6 Мощность
- 7 Некоторые виды множеств и сходных объектов
- 8 Примечания
- 9 Литература
История понятия
Основная статья: История теории множеств
Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов[3][4][5].
С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых)[6]. В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности, он определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством», и назвал эти объекты элементами множества.Множество всех объектов, обладающих свойством A(x){displaystyle A(x)}
(то есть утверждением, истинность которого зависит от значения переменной x), он обозначил {x∣A(x)},{displaystyle {xmid A(x)},} а само свойство A(x){displaystyle A(x)} назвал характеристическим свойством множества X.{displaystyle X.}
Несмотря на доброкачественность этого определения, концепция Кантора привела к парадоксам — в частности, к парадоксу Рассела.
Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий, в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. В дальнейшем обе системы пересматривались и изменялись, но в основном сохранили их характер. Они известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стала называться наивной теорией множеств, а теорию (в частности, Рассела и Цермело), перепостроенную после Кантора, — аксиоматической теорией множеств.
В практике, сложившейся с середины XX века, множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). Однако при таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).
Элемент множества
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, их элементы — строчными. Если a{displaystyle a}
— элемент множества A{displaystyle A} , то пишут a∈A{displaystyle ain A} («a{displaystyle a} принадлежит A{displaystyle A} »). Если a{displaystyle a} не является элементом множества A{displaystyle A} , то пишут a∉A{displaystyle anotin A} («a{displaystyle a} не принадлежит A{displaystyle A} »).
Если всякий элемент множества A{displaystyle A}
содержится в B{displaystyle B} , то пишут A⊂B{displaystyle Asubset B} («A{displaystyle A} лежит в B{displaystyle B} , является его подмножеством»). Согласно теории множеств, если X⊂Y{displaystyle Xsubset Y} , то для всякого элемента a∈Y{displaystyle ain Y} определено либо a∈X{displaystyle ain X} , либо a∉X{displaystyle anot in X} .
Таким образом, порядок записи элементов множества не влияет на само множество, то есть {6,11}={11,6}{displaystyle {6,11}={11,6}}
. Помимо этого из вышесказанного следует, что для множества не определено число вхождений одинаковых элементов, то есть запись A={11,11,6,11,6}{displaystyle A={11,11,6,11,6}} вообще говоря не имеет смысла, если A{displaystyle A} — множество. Однако корректной будет запись множества B={11,{11},{6,11},6}{displaystyle B={11,{11},{6,11},6}} .
Задание множества
Существуют два основных способа задания множеств: перечислением элементов и их описанием.
Перечисление
Первый способ требует задать (перечислить) все элементы, входящие в множество. Например, множество Y{displaystyle Y}
неотрицательных чётных чисел, меньших 10, задастся: Y={0,2,4,6,8}.{displaystyle Y={0,2,4,6,8}.} Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.
Описание
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать перечислением (например, если множество содержит бесконечное число элементов). В таком случае его можно описать свойствами принадлежащих ему элементов.
Множество Y⊂X{displaystyle Ysubset X}
задано, если указано условие A(x){displaystyle A(x)} , которому удовлетворяют все элементы x∈X:x∈Y{displaystyle xin X:xin Y} , и которому не удовлетворяют x∈X:x∉Y{displaystyle xin X:xnotin Y} . Обозначают Y={x∈X:A(x)}.{displaystyle Y={big {}xin X:A(x){big }}.}
Например, график функции f:X→Y{displaystyle fcolon Xto Y}
можно задать следующим образом:
- Γ={(x,y)∈X×Y:f(x)=y},{displaystyle Gamma ={big {}(x,y)in Xtimes Y:f(x)=y{big }},}
где ×{displaystyle times }
— декартово произведение множеств.
Замечание
Иногда из контекста запись {a}{displaystyle {a}}
необязательно означает множество из одного элемента a{displaystyle a} , а может подразумевать под a{displaystyle a} собирательное обозначение нескольких объектов, объединённых общих свойством[7]: например, множество всех комплексных значений мнимой единицы, возведённой в (многозначную) степень себя, можно обозначить как {ii}{displaystyle {i^{i}}} , причём все эти значения вещественны: {ii}⊆R{displaystyle {i^{i}}subseteq mathbb {R} } (см. отношения между множествами).
Отношения между множествами
Диаграмма Эйлера для A⊂B{displaystyle Asubset B}
Для множеств A{displaystyle A}
и B{displaystyle B} могут быть заданы отношения:
- A{displaystyle A} включено в B{displaystyle B} , если каждый элемент множества A{displaystyle A} принадлежит также и множеству B{displaystyle B} :
- A⊂B⇔∀a∈A⇒a∈B{displaystyle Asubset BLeftrightarrow forall ain ARightarrow ain B}
- A{displaystyle A} включает B{displaystyle B} , если B{displaystyle B} включено в A{displaystyle A} :
- A⊃B⇔B⊂A{displaystyle Asupset BLeftrightarrow Bsubset A}
- A{displaystyle A} равно B{displaystyle B} , если A{displaystyle A} и B{displaystyle B} включены друг в друга:
- A=B⇔A⊂B,B⊂A{displaystyle A=BLeftrightarrow Asubset B,,Bsubset A}
- Для любых множеств A=A{displaystyle A=A}
- Если A=B{displaystyle A=B} , то B=A{displaystyle B=A}
- Если A=B{displaystyle A=B} , B=C{displaystyle B=C} , то A=C{displaystyle A=C} .
- A{displaystyle A} строго включено в B{displaystyle B} , если A{displaystyle A} включено в B{displaystyle B} , но не равно ему:
- A⊂B⇔(A⊆B)∧(A≠B){displaystyle Asubset BLeftrightarrow (Asubseteq B)land (Aneq B)}
Иногда различают строгое включение (A⊂B{displaystyle Asubset B}
) от нестрогого (A⊆B{displaystyle Asubseteq B} ), различающиеся тем, что из A⊂B⇏A=B{displaystyle Asubset Bnot Rightarrow A=B} . Однако в большинстве случаев строгость включений не расписывают, полагая всякое включение нестрогим.
Операции над множествами
Диаграмма Венна для A∩B{displaystyle Acap B} Диаграмма Венна для A∪B{displaystyle Acup B} Диаграмма Венна для A∖B{displaystyle Asetminus B} Диаграмма Венна для A△B{displaystyle Atriangle B}
Для наглядного представления операций часто используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.
Основные операции:
- пересечение: (множество общих точек)
- A∩B={x:x∈A,x∈B};{displaystyle Acap B={x:xin A,,xin B};}
- объединение: (множество всех точек)
- A∪B={x,y:x∈A,y∈B};{displaystyle Acup B={x,y:xin A,,yin B};}
- Объединение непересекающихся A{displaystyle A} и B{displaystyle B} (A∩B=∅{displaystyle Acap B=varnothing } ) так же обозначают: A+B=A∪B;{displaystyle A+B=Acup B;}
- разность: (множество точек первого без второго)
- A∖B={x:x∈A,x∉B};{displaystyle Asetminus B={x:xin A,,xnotin B};}
- симметрическая разность:
- A△B≡A −˙ B=(A∪B)∖(A∩B);{displaystyle Abigtriangleup Bequiv A~{dot {-}}~B=(Acup B)setminus (Acap B);}
- дополнение для A⊂B{displaystyle Asubset B} (множество B{displaystyle B} без A{displaystyle A} ):
- A¯≡A∁=B∖A;{displaystyle {overline {A}}equiv A^{complement }=Bsetminus A;}
- булеан A{displaystyle A} (множество всех подмножеств):
- 2A={X:X⊂A}.{displaystyle 2^{A}={X:Xsubset A}.}
Диаграмма Венна для (A∩B)∁{displaystyle (Acap B)^{complement }}
Для операций над множествами также справедливы законы де Моргана:
A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C){displaystyle Abackslash (Bcap C)=(Abackslash B)cup (Abackslash C)}
A∖(B∪C)=(A∖B)∩(A∖C){displaystyle Abackslash (Bcup C)=(Abackslash B)cap (Abackslash C)}
Доказательство
Введём индекатор множества A{displaystyle A}
как Ia:X⊃A→{0,1}:Ia(x)={1,∀x∈A,0,∀x∉A;{displaystyle I_{a}:Xsupset Ato {0,1}:I_{a}(x)={begin{cases}1,,forall xin A, ,,forall xnotin A;end{cases}}}