Цилиндрические параболические координаты

• Разделы:
  • Коэффициенты Ламе
  • Выражение основных дифференциальных операторов

Цилиндрические параболические координаты (координаты параболического цилиндра)  (u,v,z){displaystyle (u,v,z)} — система координат, обобщающая параболические координаты на трёхмерный случай путём добавления третьей (декартовой) координаты  z{displaystyle z}, то есть аппликаты.

Файл:Координаты параболического цилиндра.png Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра

Существует несколько вариантов ориентации этих координат. Наиболее распространённой является ориентация соответствующая

 x=c2(u2−v2){displaystyle x={frac {c}{2}}left(u^{2}-v^{2}right)}

 y=cuv{displaystyle y=cuv}

 z=z{displaystyle z=z}

где  c>0{displaystyle c>0} — размерный множитель.

Поверхности уровня  u=const{displaystyle u=const} и  v=const{displaystyle v=const} суть есть параболические цилиндры, обраующие которых параллельны оси  z{displaystyle z}.

Содержание

• 1 Связь с другими системами координат
  • 1.1 Прямоугольная система координат '»`UNIQ—postMath-0000000A-QINU`»‘
  • 1.2 Цилиндрическая система координат '»`UNIQ—postMath-0000000E-QINU`»‘
• 2 Коэффициенты Ламе
• 3 Выражение основных дифференциальных операторов
  • 3.1 Градиент
  • 3.2 Дивергенция
  • 3.3 Ротор
  • 3.4 Лапласиан

Связь с другими системами координат

Прямоугольная система координат  (x,y,z){displaystyle (x,y,z)} 

 x=c2(u2−v2){displaystyle x={frac {c}{2}}left(u^{2}-v^{2}right)} 

 y=cuv{displaystyle y=cuv} 

 z=z{displaystyle z=z} 

Цилиндрическая система координат  (ρ,φ,z){displaystyle (rho ,varphi ,z)} 

 ρ=c2(u2+v2){displaystyle rho ={frac {c}{2}}left(u^{2}+v^{2}right)} 

 φ=arctg⁡(2uvu2−v2),{displaystyle varphi =operatorname {arctg} left({frac {2uv}{u^{2}-v^{2}}}right),} 

 z=z{displaystyle z=z} 

Коэффициенты Ламе

Коэффициенты Ламе в данных координатах имеют следующий вид:

 Hu=cu2+v2{displaystyle H_{u}=c{sqrt {u^{2}+v^{2}}}} 

 Hv=cu2+v2{displaystyle H_{v}=c{sqrt {u^{2}+v^{2}}}} 

 Hz=1{displaystyle H_{z}=1} 

Выражение основных дифференциальных операторов

Градиент

grad⁡F(u,v,z)=1cu2+v2(∂F∂ue→u+∂U∂ve→v)+∂F∂ze→z{displaystyle operatorname {grad} F(u,v,z)={frac {1}{c{sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}left({frac {partial F}{partial u}}{vec {e}}_{u}+{frac {partial U}{partial v}}{vec {e}}_{v}right)+{frac {partial F}{partial z}}{vec {e}}_{z}} 

Дивергенция

div⁡A→(u,v,z)=1c(u2+v2)[∂∂u(u2+v2Au)+∂∂v(u2+v2Av)]+∂Az∂z{displaystyle operatorname {div} {vec {A}}(u,v,z)={frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}left[{frac {partial }{partial u}}left({sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u}right)+{frac {partial }{partial v}}left({sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v}right)right]+{frac {partial A_{z}}{partial z}}} 

Ротор

rot⁡A→=1cu2+v2[∂∂vAz−∂∂z(cu2+v2Av)]e→u+1cu2+v2[∂∂z(cu2+v2Au)−∂∂uAz]e→v+{displaystyle operatorname {rot} {vec {A}}={frac {1}{c{sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}left[{frac {partial }{partial v}}A_{z}-{frac {partial }{partial z}}(c{sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})right]{vec {e}}_{u}+{frac {1}{c{sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}left[{frac {partial }{partial z}}(c{sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})-{frac {partial }{partial u}}A_{z}right]{vec {e}}_{v}+} 

+1c(u2+v2)[∂∂u(cu2+v2Av)−∂∂v(cu2+v2Au)]e→z{displaystyle +{frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}left[{frac {partial }{partial u}}(c{sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})-{frac {partial }{partial v}}(c{sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})right]{vec {e}}_{z}}

Лапласиан