Смешанная частная производная

Разделы:
- Обозначение
- Свойства

Для улучшения этой статьи желательно:

Установить ссылки из других статей Википедии.
Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.

Содержание

Определение

Пусть функция z=f(x,y){displaystyle z=f(x,y)}

${displaystyle z=f(x,y)}$ , и ее частные производные ∂f∂x,∂f∂y{displaystyle {frac {partial f}{partial x}},{frac {partial f}{partial y}}} ${displaystyle {frac {partial f}{partial x}},{frac {partial f}{partial y}}}$

определены в некоторой окрестности точки (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})}

$(x_0, y_0)$ .Тогда предел limΔy→0∂f(x0,y0+Δy)∂x−∂f(x0,y0)∂xΔy{displaystyle lim _{Delta yto 0}{frac {{frac {partial f(x_{0},y_{0}+Delta y)}{partial x}}-{frac {partial f(x_{0},y_{0})}{partial x}}}{Delta y}}} ${displaystyle lim _{Delta yto 0}{frac {{frac {partial f(x_{0},y_{0}+Delta y)}{partial x}}-{frac {partial f(x_{0},y_{0})}{partial x}}}{Delta y}}}$ ,

если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции f(x,y){displaystyle f(x,y)}

$f(x,y)$ в точке (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})} $(x_{0},y_{0})$ и обозначается ∂2f(x0,y0)∂x∂y{displaystyle {frac {partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{partial xpartial y}}} ${displaystyle {frac {partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{partial xpartial y}}}$ .
Аналогично определяется ∂2f(x0,y0)∂y∂x{displaystyle {frac {partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{partial ypartial x}}} ${displaystyle {frac {partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{partial ypartial x}}}$ как limΔx→0∂f(x0+Δx,y0)∂y−∂f(x0,y0)∂yΔx{displaystyle lim _{Delta xto 0}{frac {{frac {partial f(x_{0}+Delta x,y_{0})}{partial y}}-{frac {partial f(x_{0},y_{0})}{partial y}}}{Delta x}}} ${displaystyle lim _{Delta xto 0}{frac {{frac {partial f(x_{0}+Delta x,y_{0})}{partial y}}-{frac {partial f(x_{0},y_{0})}{partial y}}}{Delta x}}}$ , если он (предел) существет.
Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.

Обозначение

∂2f∂x∂y=∂2z∂x∂y=fxy″=zxy″{displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}}={frac {partial ^{2}z}{partial xpartial y}}=f»_{xy}=z»_{xy}} ${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}}={frac {partial ^{2}z}{partial xpartial y}}=f''_{xy}=z''_{xy}}$
∂2f∂y∂x=∂2z∂y∂x=fyx″=zyx″{displaystyle {fra
c {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}={frac {partial ^{2}z}{partial ypartial x}}=f»_{yx}=z»_{yx}} ${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}={frac {partial ^{2}z}{partial ypartial x}}=f''_{yx}=z''_{yx}}$

Свойства

Для подавляющего числа функций имеет место равенство ∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x{displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}}={frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}} ${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}}={frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}}$ . Более того, до определенного времени считалось, что это равенство выполняется всегда. Но это не так.
Пример Шварца
f(x,y)={xyx2−y2x2+y2,x2+y2>00,x=y=0⇒∂2f(0,0)∂x∂y=−1≠1=∂2f(0,0)∂y∂x{displaystyle f(x,y)={begin{cases}xy{frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},x^{2}+y^{2}>0\0,x=y=0end{cases}}Rightarrow {frac {partial ^{2}f(0,0)}{partial xpartial y}}=-1neq 1={frac {partial ^{2}f(0,0)}{partial ypartial x}}} ${displaystyle f(x,y)={begin{cases}xy{frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},x^{2}+y^{2}>0\0,x=y=0end{cases}}Rightarrow {frac {partial ^{2}f(0,0)}{partial xpartial y}}=-1neq 1={frac {partial ^{2}f(0,0)}{partial ypartial x}}}$
То есть смешанные производные в примере Шварца не равны.
Имеет место теорема о равенстве смешанных производных
Теорема Шварца
Пусть выполнены условия:
1. функции z=f(x,y),∂f∂x,∂f∂y,∂2f∂x∂y,∂2f∂y∂x{displaystyle z=f(x,y),{frac {partial f}{partial x}},{frac {partial f}{partial y}},{frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}},{frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}} ${displaystyle z=f(x,y),{frac {partial f}{partial x}},{frac {partial f}{partial y}},{frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}},{frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}}$ определены в некоторой окрестности точки (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})} $(x_0, y_0)$ .
2. ∂2f∂x∂y,∂2f∂y∂x{displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}},{frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}} ${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial xpartial y}},{frac {partial ^{2}f}{partial ypartial x}}}$ непрерывны в точке (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})} $(x_0, y_0)$ .
Тогда ∂2f(x0,y0)∂x∂y=∂2f(x0,y0)∂y∂x{displaystyle {frac {partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{partial xpartial y}}={frac {partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{partial ypartial x}}} ${displaystyle {frac {partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{partial xpartial y}}={frac {partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{partial ypartial x}}}$ , то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.
Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.
Тем не менее условие непрерывности смежных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца.
Пример
f(x,y)={x2y2x2+y2,x2+y2>00,x=y=0⇒{displaystyle f(x,y)={begin{cases}{frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},x^{2}+y^{2}>0\0,x=y=0end{cases}}Rightarrow } ${displaystyle f(x,y)={begin{cases}{frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},x^{2}+y^{2}>0\0,x=y=0end{cases}}Rightarrow }$ смешанные производные второго порядка равны всюду, однако, разрывны в точке (0,0).