Деривационные формулы Вайнгартена

• Разделы:
  • Примечания
  • Литература

Деривационные формулы Вайнгартена[1] дают разложение производной единичного вектора нормали к поверхности в терминах первых производных радиус-вектора этой поверхности. Эти формулы выведены в 1861 году германским математиком Юлиусом Вайнгартеном[2].

Утверждение в классической дифференциальной геометрии

Пусть S будет поверхностью в трёхмерном евклидовом пространстве, которая параметризована радиус-вектором r(u,v){displaystyle mathbf {r} (u,v)}

  поверхности. Пусть P=P(u,v){displaystyle P=P(u,v)}  будет фиксированной точкой на поверхности. Тогда

ru=∂r∂u,rv=∂r∂v{displaystyle mathbf {r} _{u}={frac {partial mathbf {r} }{partial u}},quad mathbf {r} _{v}={frac {partial mathbf {r} }{partial v}}} 

являются двумя касательными векторами в точке P.

Пусть n будет единичным вектором нормали и пусть (E,F,G){displaystyle (E,F,G)}

  и (L,M,N){displaystyle (L,M,N)}  будут коэффициентами первой и второй квадратичных форм этой поверхности соответственно. Дифференциальные формулы Вайнгартена дают первую производную единичного вектора нормали n в точке P в терминах касательных векторов ru{displaystyle mathbf {r} _{u}}  и rv{displaystyle mathbf {r} _{v}} :

nu=FM−GLEG−F2ru+FL−EMEG−F2rv{displaystyle mathbf {n} _{u}={frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}mathbf {r} _{u}+{frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}mathbf {r} _{v}} 

nv=FN−GMEG−F2ru+FM−ENEG−F2rv{displaystyle mathbf {n} _{v}={frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}mathbf {r} _{u}+{frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}mathbf {r} _{v}} 

Эти уравнения можно выразить компактно

∂an=Ka brb{displaystyle partial _{a}mathbf {n} =K_{a}^{~b}mathbf {r} _{b}} ,

где Kab являются компонентами тензора кривизны поверхности.

Примечания

1. ↑ Поскольку Юлиус Вайнгартен (Julius Weingarten) являлся немецким математиком, чтение должно производиться по немецким правилам. В российской литературе чаще используется неправильное чтение Вейнгартен.
2. ↑ Weingarten, 1861, с. 382–393.

Литература

• Weisstein, Eric W. Weingarten Equations (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Springer Encyclopedia of Mathematics, Weingarten derivational formulas
• Dirk J. Struik. Lectures on Classical Differential Geometry. — Dover Publications, 1988. — С. 108. — ISBN 0-486-65609-8.
• Erwin Kreyszig. Differential Geometry. — Dover Publications, 1991. — ISBN 0-486-66721-9., section 45.
• J. Weingarten. Ueber eine Klasse auf einander abwickelbarer Flächen // Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. — 1861. — Т. 59.