Векторное расслоение

Разделы:

Векторным расслоением называется определённая геометрическая конструкция, соответствующая семейству векторных пространств, параметризованных другим пространством X{displaystyle X} $X$ (например, X{displaystyle X} $X$ может быть топологическим пространством, многообразием или алгебраической структурой):каждой точке x{displaystyle x} $x$ пространства X{displaystyle X} $X$ сопоставляется векторное пространство Vx{displaystyle V_{x}} $V_{x}$ так, что их объединение образует пространство такого же типа, как и X{displaystyle X} $X$ (топологическое пространство, многообразие или алгебраическую структуру и т. п.), называемое пространством векторного расслоения над X{displaystyle X} $X$ .

Векторное расслоение является особым типом локально тривиальных расслоений, которые в свою очередь являются особым типом расслоений.

Обычно рассматривают векторные пространства над вещественными или комплексными числами.В таком случае векторные расслоения называются соответственно вещественными или комплексными.Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как вещественные с дополнительно введённой структурой.

Содержание

1 Примеры
2 Определения и первые следствия
- 2.1 Определение 1
- 2.2 Определение 2
3 Морфизмы
4 Операции над расслоениями
5 См. также
6 Ссылки

Примеры

Простейший пример — тривиальное расслоение, которое имеет вид прямого произведения X×V{displaystyle Xtimes V} ${displaystyle Xtimes V}$ , где X{displaystyle X} $X$ — топологическое пространство, база расслоения, а V{displaystyle V} $V$ векторное пространство.
Более сложный пример — это касательное расслоение гладкого многообразия: каждой точке на многообразии сопоставляется касательное пространство к многообразию в этой точке.

Касательные расслоения в общем случае не тривиальны.

Определения и первые следствия

Определение 1

Векторное расслоение — это локально тривиальное расслоение, у которого слой V{displaystyle V}

$V$ является векторным пространством, снабжённым структурой группы Ли обратимых линейных преобразований V{displaystyle V} $V$ .

Определение 2

Вещественное векторное расслоение состоит из:

топологических пространств X{displaystyle X} $X$ (основного пространства) и E{displaystyle E} $E$ (полного пространства)
непрерывного отображения π:E→X{displaystyle pi colon Eto X} ${displaystyle pi colon Eto X}$ (проекция расслоения)
для любого x∈X{displaystyle xin X} $xin X$ — структуры вещественного векторного пространства на слое π−1({x}){displaystyle pi ^{-1}({x})} ${displaystyle pi ^{-1}({x})}$

причём для любой точки из X{displaystyle X}

$X$ существует открытая окрестность U{displaystyle U} $U$ , натуральное число k{displaystyle k} $k$ и гомеоморфизм

φ:U×Rk→π−1(U){displaystyle varphi colon Utimes mathbb {R} ^{k}rightarrow pi ^{-1}(U)}

{displaystyle varphi colon Utimes mathbb {R} ^{k}rightarrow pi ^{-1}(U)}

такой, что для любого x∈U{displaystyle xin U}

$xin U$ ,

πφ(x,v)=x{displaystyle pi varphi (x,v)=x} ${displaystyle pi varphi (x,v)=x}$ для всех векторов v{displaystyle v} $v$ из Rk{displaystyle R^{k}} ${displaystyle R^{k}}$ , и

отображение v→φ(x,v){displaystyle vto varphi (x,v)} ${displaystyle vto varphi (x,v)}$ — изоморфизм векторных пространств Rk{displaystyle R^{k}} ${displaystyle R^{k}}$ и π−1({x}){displaystyle pi ^{-1}({x})} ${displaystyle pi ^{-1}({x})}$ .

Открытая окрестность U{displaystyle U}

$U$ вместе с гомеоморфизмом φ{displaystyle varphi } $varphi$ называется локальной тривиализацией векторного расслоения. Локальной тривиализация показывает, что локально отображение π{displaystyle pi } $pi$ «похоже» на проекцию U×Rk{displaystyle Utimes R^{k}} ${displaystyle Utimes R^{k}}$ на U{displaystyle U} $U$ .

Каждый слой π−1({x}){displaystyle pi ^{-1}({x})}

${displaystyle pi ^{-1}({x})}$ — конечномерное вещественное векторное пространство, поэтому его размерность равна kx{displaystyle k_{x}} $k_{x}$ . Локальная тривиализация показывает, что функция x→kx{displaystyle xto k_{x}} ${displaystyle xto k_{x}}$ — локально постоянна, поэтому она постоянна на каждой компоненте связности X{displaystyle X} $X$ . Если kx{displaystyle k_{x}} $k_{x}$ равняется постоянной k{displaystyle k} $k$ на всём X{displaystyle X} , то k{displaystyle k} $k$ называется рангом векторного расслоения, а E{displaystyle E} $E$ называют векторным расслоением ранга k{displaystyle k} $k$ . Векторные расслоения ранга 1{displaystyle 1} $1$ называются линейными расслоениями.

Морфизмы

Морфизм из векторного расслоения π1:E1→X1{displaystyle pi _{1}colon E_{1}to X_{1}}

${displaystyle pi _{1}colon E_{1}to X_{1}}$ в векторное расслоение π2:E2→X2{displaystyle pi _{2}colon E_{2}to X_{2}} ${displaystyle pi _{2}colon E_{2}to X_{2}}$ задается парой непрерывных отображений f:E1→E2{displaystyle fcolon E_{1}to E_{2}} ${displaystyle fcolon E_{1}to E_{2}}$ и g:X1→X2{displaystyle gcolon X_{1}to X_{2}} ${displaystyle gcolon X_{1}to X_{2}}$ , таких что

g∘π1=π2∘f{displaystyle gcirc pi _{1}=pi _{2}circ f} ${displaystyle gcirc pi _{1}=pi _{2}circ f}$
для любого x∈X1{displaystyle xin X_{1}} ${displaystyle xin X_{1}}$ , отображение π1−1({x})→π1−1({g(x)}),{displaystyle pi _{1}^{-1}({x})to pi _{1}^{-1}({g(x)}),} ${displaystyle pi _{1}^{-1}({x})to pi _{1}^{-1}({g(x)}),}$ индуцированное f,{displaystyle f,} $f,$ — линейное отображение векторных пространств.

Заметим, что g{displaystyle g}

$g$ определяется f{displaystyle f} $f$ (так как π1{displaystyle pi _{1}} $pi _{1}$ — сюрьекция), в таком случае говорят, что f{displaystyle f} $f$ покрывает g{displaystyle g} $g$ .

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию. Ограничиваясь векторными расслоениями, являющимися гладкими многообразиями, и гладкими морфизмами расслоений, мы получим категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений — частный случай отображения расслоений между локально тривиальными расслоениями, их часто называют гомоморфизмом (векторных) расслоений.

Гомоморфизм расслоений из E1{displaystyle E_{1}}

$E_1$ в E2{displaystyle E_{2}} $E_2$ , вместе с обратным гомоморфизмом, называется изоморфизмом (векторных) расслоений. В таком случае расслоения E1{displaystyle E_{1}} $E_1$ и E2{displaystyle E_{2}} $E_2$ называют изоморфными. Изоморфизм векторного расслоения (ранга k{displaystyle k} $k$ ) E{displaystyle E} $E$ над X{displaystyle X} $X$ на тривиальное расслоение (ранга k{displaystyle k} $k$ над X{displaystyle X} $X$ ) называется тривиализацией E{displaystyle E} $E$ , при этом E{displaystyle E} $E$ называют тривиальным (или тривиализуемым). Из определения векторного расслоения видно, что любое векторное расслоение локально тривиально.

Операции над расслоениями

Большинство операций над векторными пространствами могут быть продолжены на векторные расслоения, выполняясь поточечно.

Например, если E{displaystyle E}

$E$ — векторное расслоение на X{displaystyle X} $X$ , то существует расслоение E∗{displaystyle E^{*}} $E^{*}$ на X{displaystyle X} $X$ , называемое сопряженным расслоением, слой которого в точке x∈X{displaystyle xin X} $xin X$ — это сопряженное векторное пространство (Ex)∗{displaystyle (E_{x})^{*}} ${displaystyle (E_{x})^{*}}$ . Формально E∗{displaystyle E^{*}} $E^{*}$ можно определить как множество пар (x,φ){displaystyle (x,varphi )} ${displaystyle (x,varphi )}$ , где x∈X{displaystyle xin X} $xin X$ и φ∈Ex∗{displaystyle varphi in E_{x}^{*}} ${displaystyle varphi in E_{x}^{*}}$ . Сопряженное расслоение локально тривиально.

Существует много функториальных операций, выполняемых над парами векторных пространств (над одним полем). Они напрямую продолжаются на пары векторных расслоений E,F{displaystyle E,F}

${displaystyle E,F}$ на X{displaystyle X} $X$ (над заданным полем). Вот несколько примеров.

Сумма Уитни или расслоение прямой суммы E{displaystyle E} $E$ и F{displaystyle F} $F$ — это векторное расслоение E⊕F{displaystyle Eoplus F} ${displaystyle Eoplus F}$ на X{displaystyle X} $X$ , слой которого в точке x{displaystyle x} $x$ является прямой суммой Ex⊕Fx{displaystyle E_{x}oplus F_{x}} ${displaystyle E_{x}oplus F_{x}}$ векторных пространств Ex{displaystyle E_{x}} ${displaystyle E_{x}}$ и Fx{displaystyle F_{x}} $F_{x}$ .

Расслоение тензорного произведения E⊗F{displaystyle Eotimes F} ${displaystyle Eotimes F}$ определяется аналогично, используя поточечные тензорные произведения векторных пространств.

Расслоение гомоморфизмов (hom-bundle) Hom(E,F){displaystyle operatorname {Hom} ,(E,F)} ${displaystyle operatorname {Hom} ,(E,F)}$ — это векторное расслоение, слой которого в точке x{displaystyle x} $x$ — пространство линейных отображений из Ex{displaystyle E_{x}} ${displaystyle E_{x}}$ в Fx{displaystyle F_{x}} $F_{x}$ (часто обозначаемое Hom(Ex,Fx){displaystyle operatorname {Hom} ,(E_{x},F_{x})} ${displaystyle operatorname {Hom} ,(E_{x},F_{x})}$ или L(Ex,Fx){displaystyle L(E_{x},F_{x})} ${displaystyle L(E_{x},F_{x})}$ ). Это расслоение полезно, потому что существует биекция между гомоморфизмами векторных расслоений из E{displaystyle E} $E$ в F{displaystyle F} $F$ на X{displaystyle X} $X$ и частями Hom(E,F){displaystyle operatorname {Hom} ,(E,F)} ${displaystyle operatorname {Hom} ,(E,F)}$ на X{displaystyle X} $X$ .

См. также

Ссылки

Jurgen Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.5.
Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.5.