Обобщённая функция

Разделы:

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции.Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки.Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин.

Η. Μ. Гюнтером предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году[1] и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные новые идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщеннной производной принадлежат С. Л. Соболеву. К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц, привлекший уже возникшую к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций. Соболев и Шварц по праву делят славу создателей теории распределений —обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике [2].

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений[3].

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Операции
4 Свойства
5 Примеры
6 Примечания
7 См. также

Определение

Формально обобщённая функция f{displaystyle f}

$f$ определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций) f:φ↦(f,φ){displaystyle f:varphi mapsto (f,;varphi )} $f:varphi mapsto (f,;varphi )$ .Важным примером основного пространства является пространство D(Rn){displaystyle D(mathbb {R} ^{n})} $D(mathbb{R} ^{n})$ — совокупность финитных C∞{displaystyle C^{infty }} $C^infty$ -функций на Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из D(Rn){displaystyle D(mathbb {R} ^{n})} $D(mathbb{R} ^{n})$ сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они C∞{displaystyle C^{infty }} $C^infty$ -сходятся.

Сопряжённое пространство к D(Rn){displaystyle D(mathbb {R} ^{n})}

$D(mathbb{R} ^{n})$ есть пространство обобщённых функций D′(Rn){displaystyle D'(mathbb {R} ^{n})} $D'(mathbb{R} ^{n})$ .

Сходимость последовательности обобщённых функций из D′(Rn){displaystyle D'(mathbb {R} ^{n})}

$D'(mathbb{R} ^{n})$ определяется как слабая сходимость функционалов из D′(Rn){displaystyle D'(mathbb {R} ^{n})} $D'(mathbb{R} ^{n})$ , то есть fn→f{displaystyle f_{n}to f} $f_{n}to f$ , в D′(Rn){displaystyle D'(mathbb {R} ^{n})} $D'(mathbb{R} ^{n})$ означает, что (fn,φ)→(f,φ){displaystyle (f_{n},;varphi )to (f,;varphi )} $(f_{n},;varphi )to (f,;varphi )$ , для любой φ∈D(Rn){displaystyle varphi in D(mathbb {R} ^{n})} $varphi in D(mathbb{R} ^{n})$ .

Для того, чтобы линейный функционал f{displaystyle f}

$f$ на D(Rn){displaystyle D(mathbb {R} ^{n})} $D(mathbb{R} ^{n})$ был обобщённой функцией, то есть f∈D′(Rn){displaystyle fin D'(mathbb {R} ^{n})} $fin D'(mathbb{R} ^{n})$ , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества Ω{displaystyle Omega } $Omega$ существовали числа K{displaystyle K} $K$ и m{displaystyle m} $m$ такие, что

|(f,φ)|⩽K|φ|Cm{displaystyle |(f,;varphi )|leqslant K|varphi |_{C^{m}}}

|(f,;varphi )|leqslant K|varphi |_{{C^{m}}}

для всех φ{displaystyle varphi }

$varphi$ с носителем в Ω{displaystyle Omega } $Omega$ .

Если в неравенстве число m{displaystyle m}

$m$ можно выбрать не зависящим от Ω{displaystyle Omega } $Omega$ , то обобщённая функция f{displaystyle f} $f$ имеет конечный порядок; наименьшее такое m{displaystyle m} $m$ называется порядком f{displaystyle f} $f$ .

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

(f,φ)=∫Rnfφ.{displaystyle (f,;varphi )=int limits _{mathbb {R} ^{n}}fvarphi .}

(f,;varphi )=int limits _{{mathbb{R} ^{n}}}fvarphi .

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями f(x){displaystyle f(x)}

$f(x)$ по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция f{displaystyle f}

$f$ из D′(Rn){displaystyle D'(mathbb {R} ^{n})} $D'(mathbb{R} ^{n})$ совпадает в Ω{displaystyle Omega } $Omega$ с локально суммируемой в Ω{displaystyle Omega } $Omega$ функцией f0(x){displaystyle f_{0}(x)} $f_{0}(x)$ , если

(f,φ)=(f0,φ){displaystyle (f,;varphi )=(f_{0},;varphi )}

(f,;varphi )=(f_{0},;varphi )

для всех φ{displaystyle varphi }

$varphi$ с носителем в Ω{displaystyle Omega } $Omega$ . В частности, при f0=0{display
style f_{0}=0} $f_{0}=0$ получается определение того, что обобщённая функция f{displaystyle f} $f$ обращается в нуль внутри Ω{displaystyle Omega } $Omega$ .

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции f{displaystyle f}

$f$ и обозначается suppf{displaystyle mathrm {supp} ,f} ${mathrm {supp}},f$ . Если suppf{displaystyle mathrm {supp} ,f} ${mathrm {supp}},f$ компактен, то обобщённая функция f{displaystyle f} $f$ называется финитной.

Примеры

Любая локально конечная мера μ{displaystyle mu } $mu$ определяет обобщённую функцию fμ{displaystyle f_{mu }} $f_{mu }$

(fμ,φ)=∫φ(x)dμ(x).{displaystyle (f_{mu },;varphi )=int varphi (x),dmu (x).}

(f_{mu },;varphi )=int varphi (x),dmu (x).

В частности,

Примером сингулярной обобщённой функции в Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ служит δ{displaystyle delta } $delta$ -функция Дирака

(δ,φ)=φ(0).{displaystyle (delta ,;varphi )=varphi (0).}

(delta ,;varphi )=varphi (0).

Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке x=0{displaystyle x=0}

x=0

. δ{displaystyle delta }

delta

-функция имеет порядок 1.

Поверхностная δ{displaystyle delta } $delta$ -функция. Пусть S{displaystyle S} $S$ — кусочно гладкая поверхность и λ{displaystyle lambda } $lambda$ — непрерывная функция на S{displaystyle S} $S$ . Обобщённая функция fS,λ{displaystyle f_{S,;lambda }} $f_{{S,;lambda }}$ определяется равенством

(fS,λ,φ)=∫Sφλ.{displaystyle (f_{S,;lambda },;varphi )=int limits _{S}varphi lambda .}

(f_{{S,;lambda }},;varphi )=int limits _{S}varphi lambda .

При этом fS,λ{displaystyle f_{S,;lambda }} — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности S{displaystyle S}

S

с поверхностной плотностью λ{displaystyle lambda }

lambda

(плотность простого слоя).

Обобщённая функция ρ∈D′(R){displaystyle rho in D'(mathbb {R} )} $rho in D'(mathbb{R} )$ определяемая равенством

(ρ,φ)=vp∫Rφ(x)xdx{displaystyle (rho ,;varphi )=vpint limits _{mathbb {R} }{frac {varphi (x)}{x}},dx}

(rho ,;varphi )=vpint limits _{mathbb{R} }{frac {varphi (x)}{x}},dx

(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция ρ{displaystyle rho }

rho

сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве R∖{0}{displaystyle mathbb {R} backslash {0}}

mathbb{R} backslash {0}

она регулярна и совпадает с 1x{displaystyle {frac {1}{x}}}

{frac {1}{x}}

Операции

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.

Замена переменных

Пусть f∈D′(Rn){displaystyle fin D'(mathbb {R} ^{n})}

$fin D'(mathbb{R} ^{n})$ и A:Rn→Rn{displaystyle A:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}} $A:mathbb{R} ^{n}to mathbb{R} ^{n}$ — гладкая замена переменных. Обобщённая функция f∘A{displaystyle fcirc A} $fcirc A$ определяется равенством

(f∘A,φ)=(f,φ∘A−1J(A)),{displaystyle (fcirc A,;varphi )=(f,;varphi circ A^{-1}J(A)),}

(fcirc A,;varphi )=(f,;varphi circ A^{{-1}}J(A)),

где J(A){displaystyle J(A)}

$J(A)$ обозначает якобиан A{displaystyle A} $A$ . Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению A{displaystyle A} $A$ , она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции.

Произведение

Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным.

Пусть f∈D′(Rn){displaystyle fin D'(mathbb {R} ^{n})}

$fin D'(mathbb{R} ^{n})$ и a∈C∞(Rn){displaystyle ain C^{infty }(mathbb {R} ^{n})} $ain C^{infty }(mathbb{R} ^{n})$ . Произведение af{displaystyle af} $af$ определяется равенством

(af,φ)=(f,aφ).{displaystyle (af,;varphi )=(f,;avarphi ).}

(af,;varphi )=(f,;avarphi ).

Например aδ=a(0)δ{displaystyle adelta =a(0)delta }

$adelta =a(0)delta$ , xρ=1{displaystyle xrho =1} $xrho =1$ . Для обычных локально суммируемых функций произведение af{displaystyle af} $af$ совпадает с обычным умножением функций f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ и a(x){displaystyle a(x)} $a(x)$ .

Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

(xδ)ρ=0⋅ρ=0,{displaystyle (xdelta )rho =0cdot rho =0,}

(xdelta )rho =0cdot rho =0,

(xρ)δ=1⋅δ=δ.{displaystyle (xrho )delta =1cdot delta =delta .}

(xrho )delta =1cdot delta =delta .

В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций[4][5].

Дифференцирование

Пусть f∈D′(Rn){displaystyle fin D'(mathbb {R} ^{n})}

$fin D'(mathbb{R} ^{n})$ . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции ∂f∂xi{displaystyle {frac {partial f}{partial x_{i}}}} ${frac {partial f}{partial x_{i}}}$ определяется равенством

(∂f∂xi,φ)=−(f,∂φ∂xi).{displaystyle left({frac {partial f}{partial x_{i}}},;varphi right)=-left(f,;{frac {partial varphi }{partial x_{i}}}right).}

left({frac {partial f}{partial x_{i}}},;varphi right)=-left(f,;{frac {partial varphi }{partial x_{i}}}right).

Так как операция φ↦∂φ∂xi{displaystyle varphi mapsto {frac {partial varphi }{partial x_{i}}}}

$varphi mapsto {frac {partial varphi }{partial x_{i}}}$ линейна и непрерывна из D(Rn){displaystyle D(mathbb {R} ^{n})} $D(mathbb{R} ^{n})$ в D(Rn){displaystyle D(mathbb {R} ^{n})} $D(mathbb{R} ^{n})$ , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

Свойства

Пространство D′(Rn){displaystyle D'(mathbb {R} ^{n})} $D'(mathbb{R} ^{n})$ — полное: если последовательность обобщённых функций fi{displaystyle f_{i}} $f_{i}$ из D′(Rn){displaystyle D'(mathbb {R} ^{n})} $D'(mathbb{R} ^{n})$ такова, что для любой функции φ∈D(Rn){displaystyle varphi in D(mathbb {R} ^{n})} $varphi in D(mathbb{R} ^{n})$ числовая последовательность (fi,φ){displaystyle (f_{i},;varphi )} $(f_{i},;varphi )$ сходится, то функционал

(f,φ)=limi→∞(fi,φ){displaystyle (f,;varphi )=lim _{ito infty }(f_{i},;varphi )}

(f,;varphi )=lim _{{ito infty }}(f_{i},;varphi )

принадлежит D′(Rn){displaystyle D'(mathbb {R} ^{n})}

D'(mathbb{R} ^{n})

Всякая f{displaystyle f} $f$ из D′(Rn){displaystyle D'(mathbb {R} ^{n})} $D'(mathbb{R} ^{n})$ есть слабый предел функций из D(Rn){displaystyle D(mathbb {R} ^{n})} $D(mathbb{R} ^{n})$ . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
Любая обобщённая функция из D′(Rn){displaystyle D'(mathbb {R} ^{n})} $D'(mathbb{R} ^{n})$ бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения af{displaystyle af} $af$ , где a∈C∞(Rn){displaystyle ain C^{infty }(mathbb {R} ^{n})} $ain C^{infty }(mathbb{R} ^{n})$ .
Всякая обобщённая функция f{displaystyle f} $f$ из D′(Rn){displaystyle D'(mathbb {R} ^{n})} $D'(mathbb{R} ^{n})$ есть некоторая частная производная от непрерывной функции в Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ .
Для любой обобщённой функции f{displaystyle f} $f$ порядка N{displaystyle N} $N$ с носителем в точке 0 существует единственное представление (f,φ){displaystyle (f,;varphi )} $(f,;varphi )$ в виде линейной комбинации частных производных φ{displaystyle varphi } $varphi$ в нуле, с порядком меньшим либо равным N{displaystyle N} $N$ .

Примеры

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

∫−∞∞eipxdp=2πδ(x).{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }e^{ipx},dp=2pi delta (x).}

int limits _{{-infty }}^{{infty }}e^{{ipx}},dp=2pi delta (x).

Примечания

↑ Соболев С.Л., Смирнов В.И. Николай Максимович Гюнтер. Библиографический очерк. — М.: ГИТТЛ, 1953. — С. 393-405.
↑ {книга| автор=Lutzen J.|название=The Prehistory of the Theory of Distribution| место=New York etc|издательство=Springer Verlag|год=1982| страниц=232}}
↑ И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов. Обобщенные функции и действия над ними.
↑ Ю. М. Широков, Алгебра одномерных обобщенных функций. — Теоретическая и математическая физика. — 1979. — том 39. — № 3. — стр. 291—301.
↑ Г. К. Толоконников, Ю. М. Широков, Ассоциативная алгебра обобщенных функций, замкнутая относительно дифференцирования и взятия первообразной. — Теоретическая и математическая физика. — 1981. — том 46. — № 3. — стр. 305—309., Г. К. Толоконников. Об Алгебрах Ю. М. Широкова.I — Теоретическая и математическая физика. — 1982. — том 51. — № 3. — стр. 366-375.

См. также

Спор о струне