Центральное многообразие

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение с особой точкой 0:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+f(x)}$ ,

где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ , ${\displaystyle A}$  — линейный оператор, ${\displaystyle f(x)}$  — гладкая функция класса ${\displaystyle C^{k+1}}$ , причем ${\displaystyle f(0)=0}$  и ${\displaystyle Df(0)=0}$ . Иными словами, ${\displaystyle Ax}$  — линеаризация векторного поля в особой точке 0.

Согласно классическим результатам линейной алгебры, линейное пространство раскладывается в прямую сумму трех ${\displaystyle A}$ -инвариантных подпространств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}\oplus T^{c}}$ , где ${\displaystyle T^{s},T^{u},T^{c}}$  определяются знаком вещественной части соответствующих собственных значений (см. табл.)

Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованной системы ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$ , решением которой является матричная экспонента ${\displaystyle x(t)=e^{At}x_{0}}$ . Оказывается, динамика системы в окрестности особой точки по своим свойствам близка к динамике линеаризованной системы. Точнее, справедливо следующее утверждение: В окрестности особой точки существуют многообразия ${\displaystyle W^{s},W^{u}}$  и ${\displaystyle W^{c}}$  классов ${\displaystyle C^{r+1},C^{r+1}}$  и ${\displaystyle C^{r}}$  соответственно, инвариантные относительно фазового потока дифференциального уравнения. Они касаются в начале координат ${\displaystyle T^{s},T^{u}}$  и ${\displaystyle T^{c}}$  и называются устойчивым, неустойчивым и центральным многообразиями соответственно. ^[3]. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия называются также гиперболическими, они определяются единственным образом; в то же время, локальное центральное многообразие определяется неоднозначным образом.

Пример: седлоузел

Невырожденные особые точки на плоскости не имеют центрального многообразия. Рассмотрим простейший пример вырожденной особой точки: седлоузел вида

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=x^{2}\\{\dot {y}}=y\end{cases}}}$ 

Его неустройчивое многообразие совпадает с осью Oy и состоит из двух вертикальных сепарататрис ${\displaystyle \{x=0,y>0\}}$  и ${\displaystyle x=0,y<0}$  и самой особой точки. Остальные фазовые кривые задаются уравнением

${\displaystyle y(x)=y_{0}\exp \left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y_{0}}}\right)}$ ,

где ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$ .

Нетрудно видеть, что в левой полуплоскости единственная фазовая кривая, стремящаяся к особой точке, совпадает с лучом оси Ox ${\displaystyle \{x<0,y=0\}}$ . В то же время, в правой полуплоскости существует бесконечно много (континуум) фазовых кривых, стремящихся к нулю — это графики функции y(x) для любого ${\displaystyle x_{0}>0}$  и любого ${\displaystyle y_{0}}$ . В силу того, что функция y(x) является плоской в нуле, мы можем составить гладкое инвариантное многообразие из луча ${\displaystyle \{x<0,y=0\}}$ , точки (0, 0) и любой траектории в правой полуплоскости. Любое из них локально будет центральным многообразием точки (0, 0).