Фазовое пространство

• Разделы:
  • Динамические системы
  • Случай нескольких систем
  • Примеры
  • См. также
  • Ссылки
  • Литература

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, на котором представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.

Двумерное фазовое пространство динамической системы (её развитие имеет вид расходящейся спирали)

Сущность понятия фазового пространства заключается в том, что состояние сколь угодно сложной системы представляется в нём одной единственной точкой, а эволюция этой системы — перемещением этой точки. Кроме того, в механике движение этой точки определяется сравнительно простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.

В классической механике гладкие многообразия служат как фазовые пространства.

Содержание

• 1 Механические системы
• 2 Динамические системы
• 3 Случай нескольких систем
• 4 Примеры
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Литература

Механические системы

В случае механических систем это пространство четной размерности, координатами в котором являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы).

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.

Динамические системы

В теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений фазовое пространство является более общим понятием. Оно не обязательно чётномерно и динамика на нём не обязательно задаётся уравнениями Гамильтона.

Случай нескольких систем

Если взять в рассмотрение несколько одинаковых систем, нужно задать несколько точек в фазовом пространстве. Совокупность таких систем называют статистическим ансамблем. По теореме Лиувилля, замкнутая кривая (или поверхность), состоящая из точек фазового пространства гамильтоновой системы эволюционирует так, что площадь (или объем) заключенного в ней фазового пространства сохраняется во времени.

Примеры

Понятие фазового пространства широко используется в разных областях физики.

Интерпретация состояния движущегося объекта как точки в фазовом пространстве разрешает парадокс Зенона.a:not(:hover){border-bottom:1px dotted;text-decoration:none}}]]>[источник не указан 4743 дня] (Парадокс состоит в том, что если мы описываем состояние объекта его положением в конфигурационном пространстве, то объект не может двигаться.)

Фазовое пространство состояний квантового осциллятора позволяет описать квантовый шум усилителя в терминах неопределенностей эрмитовой и анти-эрмитовой компонент поля; при этом не требуется предположение о линейности преобразования фазового пространства, осуществляемого усилителем[1]. Производные передаточной функции усилителя определяют ограничение снизу на уровень квантового шума. Грубо говоря, чем более сложным является преобразование, тем больше квантовый шум.

Фазовое пространство позволяет построить единый формализм для классической и квантовой механики[2]. Оператор эволюции формулируется в терминах скобки Пуассона; в квантовом случае эта скобка является обычным коммутатором. При этом классическая и квантовая механика строятся на одних и тех же аксиомах; они формулируются в терминах, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике.

См. также

• Фазовая плоскость
• Стрела Зенона
• Конфигурационное пространство
• Пространство конфигураций
• Импульсное пространство

Ссылки

1. ↑ Д.Кузнецов; Д.Ройлих (1997). “Квантовый шум при отображении фазового пространства”. Оптика и Спектроскопия. 82 (6): 990–995. Используется устаревший параметр |coauthors= (справка)
2. ↑ Ю.М.Широков (1979). “Квантовая и классическая механика в представлении фазового пространства”. ЭЧАЯ. 10 (1): 5—50.

Литература

• Лихтенберг А. Динамика частиц в фазовом пространстве. М.: Атомиздат, 1972. — 304 с.