Трёхгранный угол

Трёхгранный угол — это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол (ограниченных третьей гранью, не входящей в пару; при потребности естественным образом снимается это ограничение, в результате чего получаются необходимые полуплоскости, образующие весь двугранный угол без ограничения).

Неравенство треугольника для трёхгранного угла

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Сумма плоских углов трёхгранного угла

Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов.

Доказательство

Пусть SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABS, ACS и углом BAC. Напишем неравенство:

\angle BAC<\angle BAS+\angle CAS

Аналогично, и для оставшихся трехгранных углов с вершинами B и С:

\angle ABC<\angle ABS+\angle CBS

\angle ACB<\angle ACS+\angle BCS

Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, получаем

180<\angle BAS+\angle CAS+\angle ABS+\angle CBS+\angle BCS+\angle ACS=180-\angle ASB+180-\angle BSC+180-\angle ASC

Следовательно : $\angle ASB+\angle BSC+\angle ASC<360$

Теорема косинусов для трёхгранного угла

Первая теорема косинусов для трехгранного угла $\cos {\alpha }=\cos {\beta }\cos {\gamma }+\sin {\beta }\sin {\gamma }\cos {A}$

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла $\cos {A}=-\cos {B}\cos {C}+\sin {B}\sin {C}\cos {\alpha },$
где α, β, γ — плоские углы, A, B, C — двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β.

Доказательство Второй теоремы косинусов для трехгранного угла

Пусть SABC – данный трехгранный угол. Опустим перпендикуляры из внутренней точки трехгранного угла на его грани и получим новый трехгранный угол полярный (двойственный данному). Плоские углы одного трехгранного угла дополняют двугранные углы другого и двугранные углы одного угла дополняют плоские другого до 180 градусов. Т.е. плоские углы полярного угла соответственно равны: 180 - А ; 180 - В ; 180 - С, а двугранные - 180 - α; 180 - β ; 180 - γ

Напишем первую теорему косинусов для него

\cos({\pi -A})=\cos({\pi -\alpha })\sin({\pi -B})\sin({\pi -C})+\cos({\pi -B})\cos({\pi -C)}

и после упрощений получаем:

\cos {A}=\cos {\alpha }\sin {B}\sin {C}-\cos {B}\cos {C}

Теорема синусов для трёхгранного угла

${\sin {\alpha } \over \sin A}={\sin \beta \over \sin B}={\sin \gamma \over \sin C}$ , где α, β, γ — плоские углы трёхгранного угла; A, B, C — противолежащие им двугранные углы.