Векторный анализ

Разделы:

Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух или более измерениях.

Содержание

1 Сфера применения
2 Векторные операторы
3 Основные соотношения
4 Исторический очерк
5 См. также
6 Литература
7 Ссылки

Сфера применения

Объектами приложения векторного анализа являются:

Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
Скалярные поля — функции на векторном пространстве.

Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:

Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.

Векторные операторы

Наиболее часто применяемые векторные операторы:

Ротор и дивергенция — для векторных полей.
Градиент, лапласиан — для скалярных полей.

Оператор	Обозначение	Описание	Тип
Ротор	rot⁡(F)=∇×F{displaystyle operatorname {rot} (mathbf {F} )=nabla times mathbf {F} } $operatorname {rot}({mathbf {F}})=nabla times {mathbf {F}}$	Характеризует вихревую составляющую векторного поля.	Вектор ⇒{displaystyle Rightarrow } $Rightarrow$ вектор
Дивергенция	div⁡(F)=∇⋅F{displaystyle operatorname {div} (mathbf {F} )=nabla cdot mathbf {F} } $operatorname {div}({mathbf {F}})=nabla cdot {mathbf {F}}$	Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля.	Вектор ⇒{displaystyle Rightarrow } $Rightarrow$ скаляр
Градиент	grad⁡(f)=∇f{displaystyle operatorname {grad} (f)=nabla f} $operatorname {grad}(f)=nabla f$	Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля.	Скаляр ⇒{displaystyle Rightarrow } $Rightarrow$ вектор
Лапласиан	Δf=∇2f=∇⋅∇f{displaystyle Delta f=nabla ^{2}f=nabla cdot nabla f} $Delta f=nabla ^{2}f=nabla cdot nabla f$	Сочетание дивергенции с градиентом.	Скаляр ⇒{displaystyle Rightarrow } $Rightarrow$ скаляр

Основные соотношения

Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.

Теорема	Запись	Пояснения
Теорема о градиенте	φ(q)−φ(p)=∫L∇φ⋅dr.{displaystyle varphi left(mathbf {q} right)-varphi left(mathbf {p} right)=int _{L}nabla varphi cdot dmathbf {r} .} $varphi left({mathbf {q}}right)-varphi left({mathbf {p}}right)=int _{L}nabla varphi cdot d{mathbf {r}}.$	Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой.
Теорема Грина	∫CLdx+Mdy=∬D(∂M∂x−∂L∂y)dA{displaystyle int limits _{C}L,dx+M,dy=iint limits _{D}left({frac {partial M}{partial x}}-{frac {partial L}{partial y}}right),dA} ${displaystyle int limits _{C}L,dx+M,dy=iint limits _{D}left({frac {partial M}{partial x}}-{frac {partial L}{partial y}}right),dA}$	Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром.
Теорема Стокса	∫Σ∇×F⋅dΣ=∮∂ΣF⋅dr,{displaystyle int limits _{Sigma }nabla times mathbf {F} cdot dmathbf {Sigma } =oint limits _{partial Sigma }mathbf {F} cdot dmathbf {r} ,} $int limits _{{Sigma }}nabla times {mathbf {F}}cdot d{mathbf {Sigma }}=oint limits _{{partial Sigma }}{mathbf {F}}cdot d{mathbf {r}},$	Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен криволинейному интегралу по границе этой поверхности.
Теорема Остроградского — Гаусса	∭V(∇⋅F)dV=∬∂VF⋅dS,{displaystyle iiint limits _{V}left(nabla cdot mathbf {F} right)dV=iint limits _{partial V}mathbf {F} cdot dmathbf {S} ,} $iiint limits _{V}left(nabla cdot {mathbf {F}}right)dV=iint limits _{{partial V}}{mathbf {F}}cdot d{mathbf {S}},$	Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность.

Исторический очерк

Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор ∇{displaystyle nabla }

$nabla$ («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.

См. также

Литература

Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.