Теорема Уитни о вложении

Произвольное гладкое ${\displaystyle m}$-мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в ${\displaystyle 2m}$-мерное евклидово пространство. Шаблон:/рамка Этот результат оптимален, например, если ${\displaystyle m}$ — степень двойки, то ${\displaystyle m}$-мерное проективное пространство невозможно вложить в ${\displaystyle (2m-1)}$-мерное евклидово пространство.

О доказательстве

Случаи ${\displaystyle m=1}$ и ${\displaystyle m=2}$ «делаются руками». В случае ${\displaystyle m\geqslant 3}$ легко видеть что гладкое отображение общего положения ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}}$ является погружением с трансверсальными самопересечениями. Чтобы избавится от этих самопересечений, следует применить несколько раз трюк Уитни:

Трюк Уитни

Пусть ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2m}}$ есть точка самопересечения и ${\displaystyle x,y\in M}$ такие, что ${\displaystyle f(x)=f(y)=p}$. Соединим ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ гладкой кривой ${\displaystyle c\colon [0,1]\to M.}$ Тогда ${\displaystyle f\circ c}$ есть замкнутая кривая в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$. Построим отображение ${\displaystyle h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}}$ с границей ${\displaystyle f\circ c}$.

В общем положении, ${\displaystyle h}$ является вложением (как раз здесь мы используем то, что ${\displaystyle m\geqslant 3}$). Тогда можно продеформировать ${\displaystyle h}$ в маленькой окрестности ${\displaystyle h(D^{2})}$ так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, как только представляешь эту картинку.

Вариации и обобщения

Пусть ${\displaystyle M}$ есть гладкое ${\displaystyle m}$-мерное многообразие.

• Если ${\displaystyle m}$ не является степенью двойки, тогда существует вложение ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$
• Если ${\displaystyle m>1}$, то ${\displaystyle M}$ может быть погружено в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-1}}$
  • Если ещё ${\displaystyle m\equiv 1{\pmod {4}}}$, то ${\displaystyle M}$ может быть погружено в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m-2}}$

Литература

• В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
• Skopenkov, A. (2008), Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces, in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes. Т. 347 (2): 248—342, ISBN 13, <http://arxiv.org/abs/math/0604045> 
• Классификация вложений (англ.)