Обобщённая функция

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин.

Η. Μ. Гюнтером предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году[1] и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные новые идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщеннной производной принадлежат С. Л. Соболеву. К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц, привлекший уже возникшую к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций. Соболев и Шварц по праву делят славу создателей теории распределений — обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике [2].

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений [3].

Определение

Формально обобщённая функция   определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций)  . Важным примером основного пространства является пространство   — совокупность финитных  -функций на  , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из   сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они  -сходятся.

Сопряжённое пространство к   есть пространство обобщённых функций  .

Сходимость последовательности обобщённых функций из   определяется как слабая сходимость функционалов из  , то есть  , в   означает, что  , для любой  .

Для того, чтобы линейный функционал   на   был обобщённой функцией, то есть  , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества   существовали числа   и   такие, что

 

для всех   с носителем в  .

Если в неравенстве число   можно выбрать не зависящим от  , то обобщённая функция   имеет конечный порядок; наименьшее такое   называется порядком  .

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

 

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями   по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция   из   совпадает в   с локально суммируемой в   функцией  , если

 

для всех   с носителем в  . В частности, при   получается определение того, что обобщённая функция   обращается в нуль внутри  .

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции   и обозначается  . Если   компактен, то обобщённая функция   называется финитной.

Примеры

  • Любая локально конечная мера   определяет обобщённую функцию  
 
В частности,
 
Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке  .  -функция имеет порядок 1.
  • Поверхностная  -функция. Пусть   — кусочно гладкая поверхность и   — непрерывная функция на  . Обобщённая функция   определяется равенством
 
При этом   — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности   с поверхностной плотностью   (плотность простого слоя).
  • Обобщённая функция   определяемая равенством
 
(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция   сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве   она регулярна и совпадает с  .

Операции

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.

Замена переменных

Пусть   и   — гладкая замена переменных. Обобщённая функция   определяется равенством

 

где   обозначает якобиан  . Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению  , она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции.

Произведение

Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным.

Пусть   и  . Произведение   определяется равенством

 

Например  ,  . Для обычных локально суммируемых функций произведение   совпадает с обычным умножением функций   и  .

Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

 
 

В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций[4][5].

Дифференцирование

Пусть  . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции   определяется равенством

 

Так как операция   линейна и непрерывна из   в  , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

Свойства

  • Пространство   — полное: если последовательность обобщённых функций   из   такова, что для любой функции   числовая последовательность   сходится, то функционал
 
принадлежит  .
  • Всякая   из   есть слабый предел функций из  . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
  • Любая обобщённая функция из   бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
  • Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
  • Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения  , где  .
  • Всякая обобщённая функция   из   есть некоторая частная производная от непрерывной функции в  .
  • Для любой обобщённой функции   порядка   с носителем в точке 0 существует единственное представление   в виде линейной комбинации частных производных   в нуле, с порядком меньшим либо равным  .

Примеры

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

 

Примечания

  1. Соболев С.Л., Смирнов В.И. Николай Максимович Гюнтер. Библиографический очерк. — М.: ГИТТЛ, 1953. — С. 393-405.
  2. {книга| автор=Lutzen J.|название=The Prehistory of the Theory of Distribution| место=New York etc|издательство=Springer Verlag|год=1982| страниц=232}}
  3. И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов. Обобщенные функции и действия над ними.
  4. Ю. М. Широков, Алгебра одномерных обобщенных функций. — Теоретическая и математическая физика. — 1979. — том 39. — № 3. — стр. 291—301.
  5. Г. К. Толоконников, Ю. М. Широков, Ассоциативная алгебра обобщенных функций, замкнутая относительно дифференцирования и взятия первообразной. - Теоретическая и математическая физика. — 1981. — том 46. — № 3. — стр. 305—309., Г. К. Толоконников. Об Алгебрах Ю. М. Широкова.I — Теоретическая и математическая физика. — 1982. — том 51. — № 3. — стр. 366-375.

См. также