Обобщённая функция

Формально обобщённая функция ${\displaystyle f}$  определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций) ${\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )}$ . Важным примером основного пространства является пространство ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$  — совокупность финитных ${\displaystyle C^{\infty }}$ -функций на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$  сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они ${\displaystyle C^{\infty }}$ -сходятся.

Сопряжённое пространство к ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$  есть пространство обобщённых функций ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ .

Сходимость последовательности обобщённых функций из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$  определяется как слабая сходимость функционалов из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ , то есть ${\displaystyle f_{n}\to f}$ , в ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$  означает, что ${\displaystyle (f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi )}$ , для любой ${\displaystyle \varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})}$ .

Для того, чтобы линейный функционал ${\displaystyle f}$  на ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$  был обобщённой функцией, то есть ${\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})}$ , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества ${\displaystyle \Omega }$  существовали числа ${\displaystyle K}$  и ${\displaystyle m}$  такие, что

${\displaystyle |(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{C^{m}}}$ 

для всех ${\displaystyle \varphi }$  с носителем в ${\displaystyle \Omega }$ .

Если в неравенстве число ${\displaystyle m}$  можно выбрать не зависящим от ${\displaystyle \Omega }$ , то обобщённая функция ${\displaystyle f}$  имеет конечный порядок; наименьшее такое ${\displaystyle m}$  называется порядком ${\displaystyle f}$ .

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

${\displaystyle (f,\;\varphi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f\varphi .}$ 

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями ${\displaystyle f(x)}$  по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция ${\displaystyle f}$  из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$  совпадает в ${\displaystyle \Omega }$  с локально суммируемой в ${\displaystyle \Omega }$  функцией ${\displaystyle f_{0}(x)}$ , если

${\displaystyle (f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )}$ 

для всех ${\displaystyle \varphi }$  с носителем в ${\displaystyle \Omega }$ . В частности, при ${\displaystyle f_{0}=0}$  получается определение того, что обобщённая функция ${\displaystyle f}$  обращается в нуль внутри ${\displaystyle \Omega }$ .

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции ${\displaystyle f}$  и обозначается ${\displaystyle \mathrm {supp} \,f}$ . Если ${\displaystyle \mathrm {supp} \,f}$  компактен, то обобщённая функция ${\displaystyle f}$  называется финитной.

• Любая локально конечная мера ${\displaystyle \mu }$  определяет обобщённую функцию ${\displaystyle f_{\mu }}$ 

${\displaystyle (f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).}$ 

В частности,

• Примером сингулярной обобщённой функции в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  служит ${\displaystyle \delta }$ -функция Дирака

${\displaystyle (\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).}$ 

Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке ${\displaystyle x=0}$ . ${\displaystyle \delta }$ -функция имеет порядок 1.

• Поверхностная ${\displaystyle \delta }$ -функция. Пусть ${\displaystyle S}$  — кусочно гладкая поверхность и ${\displaystyle \lambda }$  — непрерывная функция на ${\displaystyle S}$ . Обобщённая функция ${\displaystyle f_{S,\;\lambda }}$  определяется равенством

${\displaystyle (f_{S,\;\lambda },\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .}$ 

При этом ${\displaystyle f_{S,\;\lambda }}$  — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности ${\displaystyle S}$  с поверхностной плотностью ${\displaystyle \lambda }$  (плотность простого слоя).

• Обобщённая функция ${\displaystyle \rho \in D'(\mathbb {R} )}$  определяемая равенством

${\displaystyle (\rho ,\;\varphi )=vp\int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx}$ 

(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция ${\displaystyle \rho }$  сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}}$  она регулярна и совпадает с ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ .

Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.

Замена переменных

Пусть ${\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})}$  и ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$  — гладкая замена переменных. Обобщённая функция ${\displaystyle f\circ A}$  определяется равенством

${\displaystyle (f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{-1}J(A)),}$ 

где ${\displaystyle J(A)}$  обозначает якобиан ${\displaystyle A}$ . Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению ${\displaystyle A}$ , она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции.

Произведение

Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным.

Пусть ${\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})}$  и ${\displaystyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ . Произведение ${\displaystyle af}$  определяется равенством

${\displaystyle (af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).}$ 

Например ${\displaystyle a\delta =a(0)\delta }$ , ${\displaystyle x\rho =1}$ . Для обычных локально суммируемых функций произведение ${\displaystyle af}$  совпадает с обычным умножением функций ${\displaystyle f(x)}$  и ${\displaystyle a(x)}$ .

Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.

Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

${\displaystyle (x\delta )\rho =0\cdot \rho =0,}$ 

${\displaystyle (x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .}$ 

В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций^[4][5].

Дифференцирование

Пусть ${\displaystyle f\in D'(\mathbb {R} ^{n})}$ . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$  определяется равенством

${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right).}$ 

Так как операция ${\displaystyle \varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}}$  линейна и непрерывна из ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$  в ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

• Пространство ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$  — полное: если последовательность обобщённых функций ${\displaystyle f_{i}}$  из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$  такова, что для любой функции ${\displaystyle \varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})}$  числовая последовательность ${\displaystyle (f_{i},\;\varphi )}$  сходится, то функционал

${\displaystyle (f,\;\varphi )=\lim _{i\to \infty }(f_{i},\;\varphi )}$ 

принадлежит ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$ .

• Всякая ${\displaystyle f}$  из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$  есть слабый предел функций из ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
• Любая обобщённая функция из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$  бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
• Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
• Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения ${\displaystyle af}$ , где ${\displaystyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ .
• Всякая обобщённая функция ${\displaystyle f}$  из ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$  есть некоторая частная производная от непрерывной функции в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .
• Для любой обобщённой функции ${\displaystyle f}$  порядка ${\displaystyle N}$  с носителем в точке 0 существует единственное представление ${\displaystyle (f,\;\varphi )}$  в виде линейной комбинации частных производных ${\displaystyle \varphi }$  в нуле, с порядком меньшим либо равным ${\displaystyle N}$ .

Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\,dp=2\pi \delta (x).}$ 

• Спор о струне