Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции.
Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.
Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.
С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки.
Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин.
Η. Μ. Гюнтером предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году[1] и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные новые идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщеннной производной принадлежат С. Л. Соболеву. К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц, привлекший уже возникшую к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций. Соболев и Шварц по праву делят славу создателей теории распределений —
обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике[2].
В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений
[3].
Формально обобщённая функция определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций) .
Важным примером основного пространства является пространство — совокупность финитных-функций на , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они -сходятся.
Сходимость последовательности обобщённых функций из определяется как слабая сходимость функционалов из , то есть , в означает, что , для любой .
Для того, чтобы линейный функционал на был обобщённой функцией, то есть , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества существовали числа и такие, что
для всех с носителем в .
Если в неравенстве число можно выбрать не зависящим от , то обобщённая функция имеет конечный порядок; наименьшее такое называется порядком .
Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями
Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.
Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция из совпадает в с локально суммируемой в функцией , если
для всех с носителем в . В частности, при получается определение того, что обобщённая функция обращается в нуль внутри .
Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции и обозначается . Если компактен, то обобщённая функция называется финитной.
Примеры
Любая локально конечная мера определяет обобщённую функцию
В частности,
Примером сингулярной обобщённой функции в служит -функция Дирака
Она описывает плотность массы 1, сосредоточенной в точке . -функция имеет порядок 1.
Поверхностная -функция. Пусть — кусочно гладкая поверхность и — непрерывная функция на . Обобщённая функция определяется равенством
При этом — сингулярная обобщённая функция. Эта обобщённая функция описывает пространственную плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности с поверхностной плотностью (плотность простого слоя).
Обобщённая функция определяемая равенством
(для гладких финитных функций этому интегралу можно придать смысл) функция сингулярна и её порядок равен 2, однако на открытом множестве она регулярна и совпадает с .
Операции
Линейные операции над обобщёнными функциями вводятся как расширение соответствующих операций над основными функциями.
Замена переменных
Пусть и — гладкая замена переменных. Обобщённая функция определяется равенством
где обозначает якобиан. Эту формулу можно применять в частности к линейному отображению , она позволяет определить трансляционно инвариантные, сферически симметричные, центрально симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. д. обобщённые функции.
Произведение
Чаще всего определяется произведение обобщённых функций на обычные, а произведение обобщённых функций остается неопределенным.
Пусть и . Произведение определяется равенством
Например , . Для обычных локально суммируемых функций произведение совпадает с обычным умножением функций и .
Однако эта операция произведения вообще говоря не допускает распространения на любые обобщённые функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной.
Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:
В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций[4][5].
Дифференцирование
Пусть . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции определяется равенством
Так как операция линейна и непрерывна из в , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.
Свойства
Пространство — полное: если последовательность обобщённых функций из такова, что для любой функции числовая последовательность сходится, то функционал
принадлежит .
Всякая из есть слабый предел функций из . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
Любая обобщённая функция из бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения , где .
Всякая обобщённая функция из есть некоторая частная производная от непрерывной функции в .
Для любой обобщённой функции порядка с носителем в точке 0 существует единственное представление в виде линейной комбинации частных производных в нуле, с порядком меньшим либо равным .
Примеры
Дельта-функция получается при вычислении интеграла Фурье от константы:
Примечания
↑Соболев С.Л., Смирнов В.И. Николай Максимович Гюнтер. Библиографический очерк. — М.: ГИТТЛ, 1953. — С. 393-405.
↑{книга| автор=Lutzen J.|название=The Prehistory of the Theory of Distribution| место=New York etc|издательство=Springer Verlag|год=1982| страниц=232}}
↑Ю. М. Широков, Алгебра одномерных обобщенных функций. — Теоретическая и математическая физика. — 1979. — том 39. — № 3. — стр. 291—301.
↑Г. К. Толоконников, Ю. М. Широков, Ассоциативная алгебра обобщенных функций, замкнутая относительно дифференцирования и взятия первообразной. - Теоретическая и математическая физика. — 1981. — том 46. — № 3. — стр. 305—309., Г. К. Толоконников. Об Алгебрах Ю. М. Широкова.I — Теоретическая и математическая физика. — 1982. — том 51. — № 3. — стр. 366-375.