Линейная независимость

В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  векторы ${\displaystyle (1,0,0)}$ , ${\displaystyle (0,1,0)}$  и ${\displaystyle (0,0,1)}$  линейно независимы, так как уравнение

${\displaystyle a_{1}\cdot (1,0,0)+a_{2}\cdot (0,1,0)+a_{3}\cdot (0,0,1)=(0,0,0)\quad a_{i}\in \mathbb {R} }$ 

имеет только одно решение. Векторы ${\displaystyle (1,0,0)}$  и ${\displaystyle (5,0,0)}$  являются линейно зависимыми, так как

${\displaystyle (1,0,0)\cdot 5=(5,0,0)}$ 

а значит

${\displaystyle -5\cdot (1,0,0)+1\cdot (5,0,0)=(0,0,0)}$ 

Пусть ${\displaystyle V}$  будет линейное пространство над полем ${\displaystyle K}$  и ${\displaystyle M\subseteq V}$ . ${\displaystyle M}$  называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество ${\displaystyle M'=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}}$  называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть состоит из факторов, равных нулю:

${\displaystyle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n}=0\quad \Rightarrow \quad a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0}$ 

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ , ${\displaystyle M'}$  называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается ${\displaystyle 0\in V}$ , а во втором ${\displaystyle 0\in K}$ .

• ${\displaystyle 0\in M\Rightarrow M}$  линейно зависимо
• ${\displaystyle M}$  линейно независимо ${\displaystyle \Rightarrow }$  ${\displaystyle M'}$  линейно независимо для всех ${\displaystyle M'\subseteq M}$ 
• ${\displaystyle M}$  линейно зависимо ${\displaystyle \Rightarrow }$  ${\displaystyle M'}$  линейно зависимо для всех ${\displaystyle M'\supseteq M}$ 

Линейные системы уравнений

Линейная система ${\displaystyle n}$  уравнений, где ${\displaystyle n}$  — количество переменных, имеет однозначное решение тогда и только тогда, когда столбцы её основной матрицы являются линейно независимыми.

Ранг матриц

Ранг матрицы равен числу её линейно независимых строк или столбцов.

Геометрический смысл

• Векторы ${\displaystyle {\vec {a}}}$  и ${\displaystyle {\vec {b}}}$  линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых).
• Векторы ${\displaystyle {\vec {a}},\;{\vec {b}},\;{\vec {c}}}$  линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (лежат в одной плоскости).

Базис

Базис линейного пространства является в частности множеством линейно независимых векторов.

• Базис
• Линейное пространство
• Ранг матрицы
• Система линейных уравнений