Гладкое многообразие

Разделы:

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой.Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, что являются инвариантными относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру. С другой стороны, использование той или иной структуры позволяет исследовать строение самого дифференциального многообразия.

Содержание

1 Определение
2 Подмножества и вложения
3 См. также
4 Литература

Определение

Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки x∈X{displaystyle xin X}

$xin X$ найдется ее окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ , то X называется локальным евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности n. Пара (U,ϕ){displaystyle (U,phi ),} $(U,phi ),$ , где ϕ{displaystyle phi ,} $phi ,$ — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X в точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор n действительных чисел (x1,…,xn){displaystyle (x^{1},ldots ,x^{n})} $(x^{1},ldots ,x^{n})$ , которые называются координатами в карте (U,ϕ){displaystyle (U,phi )} $(U,phi )$ . Множество карт {(Uα,ϕα)},α∈A,{displaystyle {(U_{alpha },phi _{alpha })},alpha in A,} ${(U_{alpha },phi _{alpha })},alpha in A,$ называется n-мерным Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ — атласом (0⩽k⩽∞,a){displaystyle (0leqslant kleqslant infty ,a)} $(0leqslant kleqslant infty ,a)$ многообразия X, если:

совокупность всех Uα{displaystyle U_{alpha }} $U_{alpha }$ покрывает X, X=∪α∈AUα{displaystyle X=cup _{alpha in A}U_{alpha }} $X=cup _{{alpha in A}}U_{alpha }$
для любых α,β∈A{displaystyle alpha ,beta in A} $alpha ,beta in A$ таких, что Uα∩Uβ≠∅{displaystyle U_{alpha }cap U_{beta }neq varnothing } $U_{alpha }cap U_{beta }neq varnothing$ , отображение:

ϕαβ=ϕβ∘ϕα−1:ϕα(Uα∩Uβ)→ϕβ(Uα∩Uβ){displaystyle phi _{alpha }^{beta }=phi _{beta }circ phi _{alpha }^{-1}:phi _{alpha }(U_{alpha }cap U_{beta })to phi _{beta }(U_{alpha }cap U_{beta })}

phi _{{alpha }}^{{beta }}=phi _{beta }circ phi _{alpha }^{{-1}}:phi _{alpha }(U_{alpha }cap U_{beta })to phi _{beta }(U_{alpha }cap U_{beta })

является гладким многообразием класса Ck{displaystyle C^{k}}

$C^k$ ; ϕ{displaystyle phi ,} $phi ,$ является отражением, с отличным от нуля якобианом и называется преобразованием координат точки х с карты (Uα,ϕα){displaystyle (U_{alpha },phi _{alpha }),} $(U_{alpha },phi _{alpha }),$ в карту (Uβ,ϕβ).{displaystyle (U_{beta },phi _{beta }),.} $(U_{beta },phi _{beta }),.$

Два Ck{displaystyle C^{k}}

$C^k$ -атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -атлас. Совокупность Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -структурами, при 1⩽k⩽∞{displaystyle 1leqslant kleqslant infty } $1leqslant kleqslant infty$ — дифференциальными (или гладкими) структурами, при k = a — аналитическими структурами.

Топологическое многообразие X, наделенное Ck{displaystyle C^{k}}

$C^k$ -структурой, называется Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -гладким многообразием.

Комплексные многообразия

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

$mathbb {R} ^{n}$ более общих пространств Cn{displaystyle mathbb {C} ^{n}} $mathbb{C} ^{n}$ или даже Kn{displaystyle K^{n}
,} $K^{n},$ , где K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае K=C{displaystyle K=mathbb {C} } $K=mathbb{C}$ соответствующая Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -структура, k⩾1{displaystyle kgeqslant 1} $kgeqslant 1$ , непременно оказывается аналитической структурой, и называется комплексно аналитической, или просто комплексной, а соответствующее гладкое многообразие — комплексным многообразием. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней C∞{displaystyle C^{infty }}

$C^infty$ -структура, и на C∞{displaystyle C^{infty }} $C^infty$ -многообразии,0⩽k⩽∞{displaystyle 0leqslant kleqslant infty } $0leqslant kleqslant infty$ , — Cr{displaystyle C^{r}} $C^{r}$ -структура, если 0⩽r⩽k{displaystyle 0leqslant rleqslant k} $0leqslant rleqslant k$ . Наоборот, любое паракомпактное Cr{displaystyle C^{r}} $C^{r}$ -многообразие, r⩾1{displaystyle rgeqslant 1} $rgeqslant 1$ , можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что C0{displaystyle C^{0}} $C^{0}$ -многообразие нельзя наделить C1{displaystyle C^{1}} $C^1$ -структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например число θ(n) C1{displaystyle C^{1}} $C^1$ -неизоморфных C∞{displaystyle C^{infty }} $C^infty$ -структур на n-мерной сфере равно:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
θ(n)	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1

Отображение

Пусть f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}

$f:Xto Y$ — непрерывное отображение Cr{displaystyle C^{r}} $C^{r}$ -многообразий X, Y; оно называется Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -морфизмом (или Ck{displaystyle C^{k}} -отображением, k⩽r{displaystyle kleqslant r} $kleqslant r$ , или отображением класса Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ ) гладкихх многообразий, если для любой пары карт (Uα,ϕα){displaystyle (U_{alpha },phi _{alpha }),} $(U_{alpha },phi _{alpha }),$ на X и (Vβ,ψβ){displaystyle (V_{beta },psi _{beta }),} $(V_{beta },psi _{beta }),$ на Y такой, что f(Uα)⊂Vβ{displaystyle f(U_{alpha })subset V_{beta }} $f(U_{alpha })subset V_{beta }$ и отображение:

ψβ∘f∘ϕα−1:ϕα(Uα)→ψβ(Vβ){displaystyle psi _{beta }circ fcirc phi _{alpha }^{-1}:phi _{alpha }(U_{alpha })to psi _{beta }(V_{beta })}

psi _{beta }circ fcirc phi _{alpha }^{{-1}}:phi _{alpha }(U_{alpha })to psi _{beta }(V_{beta })

принадлежит классу Ck{displaystyle C^{k}}

$C^k$ . Биективное отображение f, если оно и f-1 является Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -отображениями, называется Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ —изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае X и Y и их Cr{displaystyle C^{r}} $C^{r}$ -структуры называются Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -изоморфными.

Подмножества и вложения

Подпространство Y n-мерного Ck{displaystyle C^{k}}

$C^k$ -многообразия X называется Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ — подмногообразием в размерности m в X, если для произвольной точки y∈Y{displaystyle yin Y} $yin Y$ существуют ее окрестность V⊂Y{displaystyle Vsubset Y} $Vsubset Y$ и карта (U,ϕ){displaystyle (U,phi ),} $(U,phi ),$ Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -структуры X, такие, что V⊂Y{displaystyle Vsubset Y} $Vsubset Y$ и ϕ{displaystyle phi } $phi$ индуцирует гомеоморфизм V на пересечении ϕ(U∩Y){displaystyle phi (Ucap Y)} $phi (Ucap Y)$ с (замкнутым) подпространством Rm⊂Rn{displaystyle mathbb {R} ^{m}subset mathbb {R} ^{n}} $mathbb{R} ^{m}subset mathbb{R} ^{n}$ ; иными словами, существует карта с координатами (x1,
…,xn){displaystyle (x^{1},ldots ,x^{n})} $(x^{1},ldots ,x^{n})$ , такая, что (U∩Y){displaystyle (Ucap Y)} $(Ucap Y)$ определяется соотношениями xm+1=,…,=xn=0{displaystyle x^{m+1}=,ldots ,=x^{n}=0} $x^{{m+1}}=,ldots ,=x^{n}=0$ .

Отображение f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}

$f:Xto Y$ называется Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -вложением, если f(X) является Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -подмногообразием в Y, а X→f(X){displaystyle Xto f(X)} $Xto f(X)$ — Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -диффеоморфизм. Любое n-мерное Ck{displaystyle C^{k}} $C^k$ -многообразие допускает вложение в R2n+1{displaystyle mathbb {R} ^{2n+1}} $mathbb{R} ^{{2n+1}}$ , а также в R2n.{displaystyle mathbb {R} ^{2n}.} $mathbb{R} ^{{2n}}.$ Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений Ck(X,R2n+1){displaystyle C^{k}(X,mathbb {R} ^{2n+1})} $C^{k}(X,mathbb{R} ^{{2n+1}})$ относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладкихх многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путем устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

См. также

Литература

Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;