Бордизм — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартныхсловосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.
Содержание
- 1 Неориентированные бордизмы
- 2 Бордизмы с дополнительной структурой
- 3 Свойства
- 4 История
- 5 См. также
Неориентированные бордизмы
Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых n-мерных многообразия M и M’ бордантны (ограничнвают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное n+1-мерное многообразие W (назывемое пленка), край которого состоит из двух многообразий M и M’, (или точнее многообразий M0{displaystyle M_{0}}
и M1{displaystyle M_{1}} диффеоморфных, соответственно, М и М’ посредством некоторых диффеоморфизмовg0:M→M0{displaystyle g_{0}:Mto M_{0}} и g1:M′→M1{displaystyle g_{1}:M’to M_{1}} ).Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку (W,M0,M1){displaystyle (W,M_{0},M_{1})} называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятерке (W,M0,M1,g0,g1){displaystyle (W,M_{0},M_{1},g_{0},g_{1})} ). Множество классов бордизмов n-мерных многообразий образует абелеву группу ΩnO{displaystyle Omega _{n}^{O}} относительно несвязного объединения. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: М — ограничивающее многообразие, М — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом ΩnO{displaystyle Omega _{n}^{O}} обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (т. к. объединение двух копий M диффеоморфно границе прямого произведения M×[0,1]{displaystyle Mtimes [0,1]} ). Прямая сумма Ω∗O{displaystyle Omega _{*}^{O}} групп ΩnO{displaystyle Omega _{n}^{O}} является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.
и M1{displaystyle M_{1}}
диффеоморфных, соответственно, М и М’ посредством некоторых диффеоморфизмовg0:M→M0{displaystyle g_{0}:Mto M_{0}}
и g1:M′→M1{displaystyle g_{1}:M’to M_{1}}
).Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку (W,M0,M1){displaystyle (W,M_{0},M_{1})}
называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятерке (W,M0,M1,g0,g1){displaystyle (W,M_{0},M_{1},g_{0},g_{1})}
). Множество классов бордизмов n-мерных многообразий образует абелеву 
относительно несвязного объединения. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: М — ограничивающее многообразие, М — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом ΩnO{displaystyle Omega _{n}^{O}}![{displaystyle Mtimes [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2129698f142c06ffd158ee30641959639e64600)
). Прямая сумма Ω∗O{displaystyle Omega _{*}^{O}}
групп ΩnO{displaystyle Omega _{n}^{O}}Бордизмы с дополнительной структурой
Ориентированные бордизмы
Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия М и М’ ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причем пленка W ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией W на M0{displaystyle M_{0}}
и M1{displaystyle M_{1}} (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах g0{displaystyle g_{0}} и g1{displaystyle g_{1}} , соответственно, в исходную ориентацию М и в ориентацию, противоположную исходной ориентации М’. Аналогично ΩnO{displaystyle Omega _{n}^{O}} , и Ω∗O{displaystyle Omega _{*}^{O}} вводятся группы ориентированных бордизмов ΩnSO{displaystyle Omega _{n}^{SO}} и кольцо Ω∗SO{displaystyle Omega _{*}^{SO}} .
и g1{displaystyle g_{1}}
, соответственно, в исходную ориентацию М и в ориентацию, противоположную исходной ориентации М’. Аналогично ΩnO{displaystyle Omega _{n}^{O}}
и кольцо Ω∗SO{displaystyle Omega _{*}^{SO}}
.Другие варианты
Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (назывемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, Spin-бордисмы. Имеются также варианты несколько иного рода (для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре) и т. д.. Особое положение занимают бордизмы слоений и h-бордизмы (ранее называемые J-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.
Свойства
- Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические числа (числа Штифеля—Уитни в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягпна — в ориентируемом).
История
Первый пример — бордизм оснащенных многообразий, введенный в 1938 Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер πi(Sn){displaystyle pi _{i}(S^{n})}
, и таким путем смог найти πn+1(Sn){displaystyle pi _{n+1}(S^{n})} и πn+2(Sn){displaystyle pi _{n+2}(S^{n})} . Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951 — 53 Рохлиным, вычислившим ΩnSO{displaystyle Omega _{n}^{SO}} для n≤4{displaystyle nleq 4} . Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.
, и таким путем смог найти πn+1(Sn){displaystyle pi _{n+1}(S^{n})}
и πn+2(Sn){displaystyle pi _{n+2}(S^{n})}
. Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951 — 53 
. Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают 