Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.
Содержание
Определение
Элементарными преобразованиями строк называют:
- перестановка местами любых двух строк матрицы;
- умножение любой строки матрицы на константу k{displaystyle k!} , k≠0{displaystyle kneq 0!} ;
- прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу k{displaystyle k!} , k≠0{displaystyle kneq 0!} .
, k≠0{displaystyle kneq 0!}
;Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.
Элементарные преобразования обратимы.
Обозначение A∼B{displaystyle Asim B!}
указывает на то, что матрица A{displaystyle A!} может быть получена из B{displaystyle B!} путём элементарных преобразований (или наоборот).
указывает на то, что матрица A{displaystyle A!}
может быть получена из B{displaystyle B!}
путём элементарных преобразований (или наоборот).Свойства
Инвариантность ранга при элементарных преоб
разованиях
 |
Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). Если A∼B{displaystyle Asim B!} , то rangA=rangB{displaystyle mathrm {rang} A=mathrm {rang} B!} . |
.Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях
- Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:
- перестановку уравнений;
- умножение уравнения на ненулевую константу;
- сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.
- Т.е. элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение:
| |
Теорема (об эквивалентности систем уравнений при элементарных преобразованиях). Система линейных алгебраических уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей. |
- Напомним, что две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Нахождение обратных матриц
| |
Теорема (о нахождении обратной матрицы). Пускай определитель матрицы An×n{displaystyle A_{ntimes n}!} не равен нулю, пусть матрица B{displaystyle B!} определяется выражением B=[A|E]n×2n{displaystyle B=[A|E]_{ntimes 2n}!} . Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы A{displaystyle A!} к единичной матрице E{displaystyle E!} в составе B{displaystyle B!} одновременно происходит преобразование E{displaystyle E!} к A−1{displaystyle A^{-1}!} . |
не равен нулю, пусть матрица B{displaystyle B!}![{displaystyle B=[A|E]_{ntimes 2n}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16014c1c318284f6683790a9bae6c1c8c0beb0a9)
. Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы A{displaystyle A!}
в составе B{displaystyle B!}
.Приведение матриц к ступенчатому виду
- Введём понятие ступенчатых матриц:
- Матрица A{displaystyle A!} имеет ступенчатый вид, если:
- Все нулевые строки матрицы A{displaystyle A!} стоят последними;
- Для любой ненулевой строки матрицы A{displaystyle A!} (пускай для определённости её номер равен k{displaystyle k!} ) справедливо следующее: если akj{displaystyle a_{kj}!} — первый ненулевой элемент строки k{displaystyle k!} , то ∀i,l:i>k,l≤jaij=0{displaystyle forall i,l:;i>k,;lleq jquad a_{ij}=0!} .
— первый ненулевой элемент строки k{displaystyle k!}
.- Тогда справедливо следующее утверждение:
| |
Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду. |
Литература
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
