wiki

Устойчивость (динамические системы)

У этого термина существуют и другие значения, см. Устойчивость.

В математике, решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений с условиями близкими к начальным «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путём замены неизвестной функции.

Содержание

Постановка задачи устойчивости динамических систем

Пусть Ω{displaystyle Omega }

  — область пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} , содержащая начало координат,  I=[τ;∞){displaystyle ~I=[tau ;infty )} , где  τ∈R1{displaystyle ~tau in mathbb {R} ^{1}} . Рассмотрим систему (1) вида:

{x˙=f(t,x),x∈Rn,f:I×Ω→Rnf(t,0)=0.{displaystyle left{{begin{matrix}{dot {x}}=f(t,x),xin mathbb {R} ^{n},f:Itimes Omega to mathbb {R} ^{n}\f(t,0)=0.end{matrix}}right.}  ((1))

При любых  (t0,x0)∈I×Ω{displaystyle ~(t_{0},x_{0})in Itimes Omega }

  существует единственное решение x(t, t0, x0) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям x(t0, t0, x0) = x0. Будем предполагать, что решение x(t, t0, x0) определено на интервале  J+=[t0;∞){displaystyle ~J^{+}=[t_{0};infty )} , причём  J+⊂I{displaystyle ~J^{+}subset I} .

Устойчивость по Ляпунову

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых t0∈I{displaystyle t_{0}in I}

  и ε>0{displaystyle varepsilon >0}  существует δ>0{displaystyle delta >0} , зависящее только от ε и t0 и не зависящее от t, такое, что для всякого x0, для которого ‖x0‖<δ{displaystyle |x_{0}|<delta } , решение x системы с начальными условиями x(t0) = x0 продолжается на всю полуось t > t0 и удовлетворяет неравенству ‖x(t)‖<ε{displaystyle |x(t)|<varepsilon } .

Символически это записывается так:

(∀ε>0)(∀t0∈I)(∃δ(t0,ε)>0)(∀x0∈Bδ(t0,ε))(∀t≥t0,t∈J+)⇒(‖x(t,t0,x0)‖<ε){displaystyle (forall varepsilon >0)(forall t_{0}in I)(exists delta (t_{0},varepsilon )>0)(forall x_{0}in B_{delta (t_{0},varepsilon )})(forall tgeq t_{0},tin J^{+})Rightarrow (|x(t,t_{0},x_{0})|<varepsilon )}

 

Равномерная устойчивость по Ляпунову

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε:

(∀ε>0)(∃δ(ε)>0)(∀t0∈I)(∀x0∈Bδ(ε))(∀t≥t0,t∈J+)⇒(‖x(t,t0,x0)‖<ε){displaystyle (forall varepsilon >0)(exists delta (varepsilon )>0)(forall t_{0}in I)(forall x_{0}in B_{delta (varepsilon )})(forall tgeq t_{0},tin J^{+})Rightarrow (|x(t,t_{0},x_{0})|<varepsilon )}

 

Неустойчивость по Ляпунову

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:

(∃ε>0)(∃t0∈I)(∀δ>0)(∃x0∈Bδ)(∃t∗≥t0,t∗∈J+)⇒(‖x(t∗,t0,x0)‖≥ε){displaystyle (exists varepsilon >0)(exists t_{0}in I)(forall delta >0)(exists x_{0}in B_{delta })(exists t_{*}geq t_{0},t_{*}in J^{+})Rightarrow (|x(t_{*},t_{0},x_{0})|geq varepsilon )}

 

Асимптотическая устойчивость

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие limt→∞‖x(t∗,t0,x0)‖=0{displaystyle lim _{tto infty }|x(t_{*},t_{0},x_{0})|=0}

  для всякого x с начальным условием x0, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.

Эквиасимптотическая устойчивость

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.

Равномерная асимптотическая устойчивость

Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.

Асимптотическая устойчивость в целом

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.

Равномерная асимптотическая устойчивость в целом

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.

См. также

Литература

  • Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — ИЛ, 1954.
  • Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехиздат, 1955.
  • Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
  • Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.
  • Демидович Б. П. Глава II, §1, Основные понятия теории устойчивости // Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
  • Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Глава I, Непрерывные и дискретные детерминированные системы // Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X..
  • Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: РХД, 2000. — 176 с.
Читайте также