wiki

Симплектическое многообразие

Линейное пространство V (вещественное или комплексное) называется симплектическим, если на нем задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма ω{displaystyle omega }.

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной 2-формой.

Симплектическое многообразие позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам.

Содержание

Определение

Дифференциальная 2-форма ω{displaystyle omega }

  называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю:

dω=0{displaystyle domega =0} 

и для любого касательного вектора v∈TxM{displaystyle vin T_{x}M}

 

ıvω≠0{displaystyle imath _{v}omega neq 0} 

где ıv{displaystyle imath _{v}}

  — внутреннее умножение на вектор v{displaystyle v} .

Многообразие M{displaystyle M}

  называется симплектическим, если на нём задана симплектическая структура.

Гамильтоновы векторные поля

Пусть H:M→R{displaystyle Hcolon Mto {mathbb {R} }}

  — произвольная функция на симплектическом многообразии. Симплектическая структура ставит в соответствие 1-формам на M{displaystyle M}  особый класс векторных полей, называемых гамильтоновыми, по правилу

dH=ıvω{displaystyle dH=imath _{v}omega } 

В силу невырожденности формы ω{displaystyle omega }

  векторное поле v{displaystyle v}  определено однозначно, обозначим его IdH{displaystyle IdH} . В канонических координатах это отображение принимает вид

q˙=∂H∂p{displaystyle {dot {mathbf {q} }}={frac {partial H}{partial mathbf {p} }}} 
p˙=−∂H∂q{displaystyle {dot {mathbf {p} }}=-{frac {partial H}{partial mathbf {q} }}} 

соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом H{displaystyle H}

  называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на M{displaystyle M}  в алгебру Ли и определены по правилу

[F,G]=ω(IdF,IdG){displaystyle [F,G]=omega (IdF,IdG)} 

Связанные определения

  • Диффеоморфизм симплектических многообразий f:M→N{displaystyle fcolon Mto N}  называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.

Свойства

  • Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать канонические координаты, называемые также координатами Дарбу, в которых симплектическая структура принимает вид
ω=dp∧dq{displaystyle omega =dmathbf {p} wedge dmathbf {q} } 
При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.
  • Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру:
 LIdHω=0{displaystyle L_{IdH},omega =0} 
Здесь Lv{displaystyle L_{v}}  — производная Ли по векторному полю v{displaystyle v} . Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

Контактная структура

С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Вариации и обобщения

Многообразие называется мультисимплектическим степени k{displaystyle k}

 , если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

См. также

Литература

Читайте также