wiki

Раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

∞−∞{displaystyle infty -infty }

infty-infty

∞∞{displaystyle {frac {infty }{infty }}}

{frac {infty }{infty }}

00{displaystyle {frac {0}{0}}}

{displaystyle {frac {0}{0}}}

00{displaystyle ~0^{0}}

{displaystyle ~0^{0}}

1∞{displaystyle 1^{infty }}

{displaystyle 1^{infty }}

∞0{displaystyle infty ^{0}}

{displaystyle infty ^{0}}

0⋅∞{displaystyle 0cdot infty }

0cdotinfty

(Здесь 0{displaystyle ~0} $~0$ — бесконечно малая величина, а ∞{displaystyle infty } $infty$ — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов 00{displaystyle ~0^{0}} ${displaystyle ~0^{0}}$ , 1∞{displaystyle 1^{infty }} ${displaystyle 1^{infty }}$ , ∞0{displaystyle infty ^{0}} ${displaystyle infty ^{0}}$ пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

00=e0⋅ln0=e0⋅∞{displaystyle ~0^{0}=e^{0cdot ln{0}}=e^{0cdot infty }}

~0^{0}=e^{{0cdot ln{0}}}=e^{{0cdot infty }}

1∞=e∞⋅ln1=e∞⋅0{displaystyle ~1^{infty }=
e^{infty cdot ln{1}}=e^{infty cdot 0}}

~1^{infty }=e^{{infty cdot ln{1}}}=e^{{infty cdot 0}}

∞0=e0⋅ln∞=e0⋅∞{displaystyle ~infty ^{0}=e^{0cdot ln{infty }}=e^{0cdot infty }}

~infty ^{0}=e^{{0cdot ln{infty }}}=e^{{0cdot infty }}

Для раскрытия неопределённостей типа ∞∞{displaystyle {frac {infty }{infty }}} ${frac {infty }{infty }}$ используется следующий алгоритм:

Выявление старшей степени переменной;
Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа 00{displaystyle {frac {0}{0}}} ${displaystyle {frac {0}{0}}}$ существует следующий алгоритм:

Разложение на множители числителя и знаменателя;
Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа ∞−∞{displaystyle infty -infty } $infty-infty$ иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть f(x)→x→a∞{displaystyle f(x){xrightarrow {xto a}}infty }

f(x){xrightarrow {xto a}}infty

и g(x)→x→a∞{displaystyle g(x){xrightarrow {xto a}}infty }

{displaystyle g(x){xrightarrow {xto a}}infty }

limx→a[f(x)−g(x)]=[∞−∞]=limx→a(11f(x)−11g(x))=limx→a1g(x)−1f(x)1g(x)⋅1f(x)=[00]{displaystyle lim _{xto a}[f(x)-g(x)]=[infty -infty ]=lim _{xto a}left({frac {1}{frac {1}{f(x)}}}-{frac {1}{frac {1}{g(x)}}}right)=lim _{xto a}{frac {{frac {1}{g(x)}}-{frac {1}{f(x)}}}{{frac {1}{g(x)}}cdot {frac {1}{f(x)}}}}=left[{frac {0}{0}}right]}

{displaystyle lim _{xto a}[f(x)-g(x)]=[infty -infty ]=lim _{xto a}left({frac {1}{frac {1}{f(x)}}}-{frac {1}{frac {1}{g(x)}}}right)=lim _{xto a}{frac {{frac {1}{g(x)}}-{frac {1}{f(x)}}}{{frac {1}{g(x)}}cdot {frac {1}{f(x)}}}}=left[{frac {0}{0}}right]}

Пример

«Замечательный предел» limx→0sin⁡xx{displaystyle lim _{xto 0}{frac {sin x}{x}}} $lim _{{xto 0}}{frac {sin x}{x}}$ — пример неопределённости вида 0/0{displaystyle 0/0} $0/0$ . По правилу Лопиталя

limx→0sin⁡xx=limx→0cos⁡x1=1{displaystyle lim _{xto 0}{frac {sin x}{x}}=lim _{xto 0}{frac {cos x}{1}}=1} $lim _{{xto 0}}{frac {sin x}{x}}=lim _{{xto 0}}{frac {cos x}{1}}=1$