Основания геометрии — область математики изучающая аксиоматические системы евклидовой геометрии, а также различных неевклидовых геометрий. Основные вопросы состоят в полноте, независимости и непротиворечивости аксиоматических систем. Основания геометрии также связаны с вопросом преподавания геометрии.
История
Основания геометрии стали изучаться после появления геометрии Лобачевского.Первой задачей стала формализация и пополнение системы аксиом евклидовой геометрии.
Аксиоматика Евклида не была полной, то есть в доказательствах Евклид пользовался неявно аксиомами которые не представлены в его списке аксиом.Например, Евклид использовал без доказательства то, что две окружности с центрами на расстоянии их радиуса пересекаются в двух точках.
Из неявно используемых аксиом можно назвать следующие
Родоначальником оснований геометрии следует считать Морица Паша.В своей книге, «Vorlesungen über neuere Geometrie published» опубликованой в 1882 году, Паш создал формальные системы, свободные от каких-либо интуитивных влияний.Он впервые использовал так называемое «неопределяемое понятие» (нем. Kernbegriffe) в дополнение к аксиомами (нем. Kernsätzen).
Работы Паша повлияли на многих других математиков, в частности Гильберта, Пеанои Пьери?!.
Аксиомы Евклида
Аксиматика Евклида — первая и не полная система. Она состояла из определений
- Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν — букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
- Линия — длина без ширины.
- Края же линии — точки.
- Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται)
- Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
- Края же поверхности — линии.
- Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.
и постулатов
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
- Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
- Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Полные системы
аксиом
- Аксиоматика Гильберта — самая популярная и наиболее консевативная полная система аксиом Евклидовой геометрии, построенная на основе аксиом Евклида. состоит из 20 аксиом и поделена на 5 групп.
- Аксиоматика Тарского?!
- Аксиоматика Вейля — оперирует неопределяемыми понятиями точки и свободного вектора. Прямая и плоскость определяются как множества точек.
- Аксиомы Биркгофа — система аксиом использующая вещественные числа как готовый блок, и как результат очень компактная, всего 4 аксиомы.
- Аксиоматика Александрова — система аксиом, схожая с Гилбертовской но без черзмерной формализации.
Для улучшения этой статьи желательно:
После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки. |
