wiki

Внешняя алгебра

Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г.

Содержание

Определение

Внешняя алгебра ⋀V{displaystyle bigwedge V}

  векторного пространства  V{displaystyle V}  над полем  K{displaystyle K}  — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком ∧{displaystyle wedge } , а порождающими элементами являются1,e1,…,en{displaystyle 1,mathbf {e_{1},dots ,e_{n}} } , где e1,…,en{displaystyle mathbf {e_{1},dots ,e_{n}} }  — базис пространства  V{displaystyle V} . Определяющие соотношения имеют вид

  • ei∧ej=−ej∧ei(i,j=1,…,n),ei∧ei=0{displaystyle mathbf {e} _{i}wedge mathbf {e} _{j}=-mathbf {e} _{j}wedge mathbf {e} _{i},(i,j=1,dots ,n),,mathbf {e} _{i}wedge mathbf {e} _{i}=0} ;
  • ei∧1=1∧ei=ei(i=1,…,n),1∧1=1{displaystyle mathbf {e} _{i}wedge 1=1wedge mathbf {e} _{i}=mathbf {e} _{i},(i=1,dots ,n),,1wedge 1=1} .

Внешняя алгебра обычно обозначается ∧V{displaystyle wedge V}

 , она не зависит от выбора базиса.

Связанные определения

  • Операция ∧{displaystyle wedge }  называется внешним произведением.
  • Подпространство ∧rV{displaystyle wedge ^{r}V}  (для r=0,1,…,n{displaystyle r=0,1,dots ,n} ) в ∧V{displaystyle wedge V} , порождённое элементами вида ei1∧…∧eir{displaystyle e_{i_{1}}wedge …wedge e_{i_{r}}} , называется r{displaystyle r} -ой внешней степенью пространства V{displaystyle V} .

Свойства

  • Имеют место равенства:
dim∧V=2n{displaystyle operatorname {dim} wedge V=2^{n}} 
dim∧rV=Cnr{displaystyle operatorname {dim} wedge ^{r}V=C_{n}^{r}} , в частности
∧rV=0{displaystyle wedge ^{r}V=0}  при r>n{displaystyle r>n} .
  • градуированная коммутативность: u∧v=(−1)rsv∧u{displaystyle uwedge v=(-1)^{rs}vwedge u} , если u∈∧rV{displaystyle uin wedge ^{r}V} ,v∈∧sV{displaystyle vin wedge ^{s}V} .
  • Для произвольной 1-формы ω∈∧1V{displaystyle omega in wedge ^{1}V}  её квадрат нулевой:
ω∧ω=0{displaystyle omega wedge omega =0} 

Следует отметить, что для форм порядка отличного от единицы это неверно.

  • Элементы пространства ∧rV{displaystyle wedge ^{r}V}  называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над V{displaystyle V} , с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть композиция полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
    • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
      (a∧b)ij=aibj−ajbi{displaystyle ({mathbf {a}}wedge {mathbf {b}})_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}} 
    • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
      (a∧b)ij=(aibj−ajbi)/2{displaystyle ({mathbf {a}}wedge {mathbf {b}})_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2} 
  • Линейно независимые системы из r{displaystyle r}  векторов x1,…,xr{displaystyle x_{1},dots ,x_{r}}  и y1,…,yr{displaystyle y_{1},dots ,y_{r}}  из V{displaystyle V}  порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда r{displaystyle r} -векторы x1∧⋯∧xr{displaystyle x_{1}wedge dots wedge x_{r}}  и y1∧⋯∧yr{displaystyle y_{1}wedge dots wedge y_{r}}  пропорциональны.
  • Алгебра ∧V{displaystyle wedge V}  имеет структуру градуированной алгебры:
∧V=K⊕⨁r=1∞∧rV{displaystyle wedge V=Koplus bigoplus _{r=1}^{infty }wedge ^{r}V} 

Ссылки

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

См. также

Читайте также