Бесконечное множество — множество, которое состоит из бесконечного числа элементов.
Бесконечные множества бывают счётными и несчётными.
Кардинальные числа или трансфинитные числа бесконечных множеств обозначаются первой буквой древнееврейского алфавита, которая называется «алеф» (ℵ{displaystyle aleph }): ℵ0,ℵ1,ℵ2,…{displaystyle aleph _{0},aleph _{1},aleph _{2},dots }, где индекс у алефа указывает порядковый номер ступени в иерархии бесконечностей.
): ℵ0,ℵ1,ℵ2,…{displaystyle aleph _{0},aleph _{1},aleph _{2},dots }
, где индекс у алефа указывает порядковый номер ступени в иерархии бесконечностей.Кардинальное число счетного множества — ℵ0{displaystyle aleph _{0}}.
.Кантор доказал, что кардинальное число 2ℵ{displaystyle 2^{aleph }} больше, чем ℵ{displaystyle aleph }, то есть между множествами с кардинальными числами 2ℵ{displaystyle 2^{aleph }} и ℵ{displaystyle aleph } невозможно установить взаимно-однозначное соответствие. Следовательно, лестница алефов продолжается вверх нескончаемо.
больше, чем ℵ{displaystyle aleph }И в то же время Гильберт выдвинул так называемую континуум гипотезу или первую проблему Гильберта, которая гласит: С точностью до эквивалентности, существуют только два типа бесконечных числовых множеств: счетное множество и континуум.
В 1963 году американский математик Паул Коэн доказал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Это означает, что если взять стандартную систему аксиом Цермело-Френкеля (ZF) и добавить к ней континуум-гипотезу в качестве еще одной аксиомы, то получится непротиворечивая система утверждений. Но если к ZF добавить отрицание континуум-гипотезы (т. е. противоположное утверждение), то вновь получится непротиворечивая система утверждений.
Канторовская теория множеств считает, что мощность множества действительных чисел или континуума c равна ℵ1{displaystyle aleph _{1}}. Неканторовская теория множеств считает, что между c и ℵ1{displaystyle aleph _{1}} заключено бесконечно много трансфинитных чисел.
. Неканторовская теория множеств считает, что между c и ℵ1{displaystyle aleph _{1}}См. также
Ссылки
http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2&page=2
