Аффинная связность

• Разделы:
  • Связанные определения
  • См. также

Аффинная связность — линейная связность на касательном расслоении многообразия.Координатными выражениями аффинной связности есть символы Кристоффеля.

Определение

Пусть M есть гладкое многообразие и C∞(M,TM) обозначает пространство векторных полей на M. Тогда, аффинная связность на M это билинейное отображение

C∞(M,TM)×C∞(M,TM)→C∞(M,TM)(X,Y)↦∇XY,{displaystyle {begin{matrix}C^{infty }(M,TM)times C^{infty }(M,TM)&rightarrow &C^{infty }(M,TM)\(X,Y)&mapsto &nabla _{X}Y,end{matrix}}} 

такое, что для любой гладкой функции f ∈ C∞(M,R) и любых векторных полей X, Y на M:

1. ∇fXY=f∇XY{displaystyle nabla _{fX}Y=fnabla _{X}Y} , то есть, ∇{displaystyle nabla }  линейно по первому аргументу;
2. ∇X(fY)=df(X)Y+f∇XY{displaystyle nabla _{X}(fY)=mathrm {d} f(X)Y+fnabla _{X}Y} , то есть ∇{displaystyle nabla }  удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.

Связанные определения

• Кручением афинной связности называется вырaжение

  U(X,Y)=∇XY−∇YX−[X,Y]{displaystyle U(X,Y)=nabla _{X}Y-nabla _{Y}X-[X,Y]} 

здесь [∗,∗]{displaystyle [{*},{*}]}  — скобки Ли

• Аффинная связность с нулевым кручением на римановом многообразии, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен называется связностью Леви-Чивиты.

• Аффинная связность, для которой выполняется только условие римановости, называется римановой связностью.

См. также

• Ковариантная производная
• Символы Кристоффеля.