Прямое произведение

Разделы:

Прямое или декартово произведение двух множеств — это множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой (алгебраической, топологической и т. д.), поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.

Содержание

1 Прямое произведение в теории множеств
2 Прямое произведение отображений
3 Воздействие на математические структуры
4 Вариации и обобщения
5 См. также

Прямое произведение в теории множеств

Произведение двух множеств

Произведение множества {в, и, к} на множество цветов радуги

в	в	в	в	в	в	в	в
и	и	и	и	и	и	и	и
к	к	к	к	к	к	к	к

Пусть даны два множества X{displaystyle X}

$X$ и Y{displaystyle Y} $Y$ . Прямое произведение множества X{displaystyle X} $X$ и множества Y{displaystyle Y} $Y$ есть такое множество X×Y{displaystyle Xtimes Y} $X times Y$ , элементами которого являются упорядоченные пары (x,y){displaystyle (x,y)} $(x,y)$ для всевозможных x∈X{displaystyle xin X} $xin X$ и y∈Y{displaystyle yin Y} $yin Y$ .

Отображения произведения множеств в его множители — φ:X×Y→X,φ(x,y)=x{displaystyle varphi colon Xtimes Yto X,;varphi (x,y)=x}

$varphicolon Xtimes Yto X,; varphi(x,y)=x$ и ψ:X×Y→Y,ψ(x,y)=y{displaystyle psi colon Xtimes Yto Y,;psi (x,y)=y} $psicolon Xtimes Yto Y,; psi(x,y)=y$ — называют координатными функциями.

Аналогично определяется произведение конечного семейства множеств.

$A times (B times C) = (A times B) times C$ не имеет места, но в силу существования естественного взаимно однозначного соответствия между множествами A×(B×C){displaystyle Atimes (Btimes C)} $A times (B times C)$ и (A×B)×C{displaystyle (Atimes B)times C} $(A times B) times C$ этим различием можно зачастую пренебречь.

Декартова степень

{0, 1, 2}3, 33 = 27 элементов
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

n{displaystyle n}

$n$ -я Декартова степень множества X{displaystyle X} $X$ определяется для целых неотрицательных n{displaystyle n} $n$ , как n{displaystyle n} $n$ -кратное Декартово произведение X{displaystyle X} $X$ на себя:

X×X×…×X⏟.n{displaystyle {begin{matrix}underbrace {Xtimes Xtimes ldots times X} .nend{matrix}}}

begin{matrix} underbrace{Xtimes Xtimes ldots times X}. n end{matrix}

Обычно обозначается как Xn{displaystyle X^{n}}

$X^n$ или X×n{displaystyle X^{times n}} $X^{times n}$ .

При положительных n{displaystyle n}

$n$ Декартова степень Xn{displaystyle X^{n}} $X^n$ состоит из всех упорядоченных наборов элементов из X{displaystyle X} $X$ длины n{displaystyle n} $n$ . Так вещественное пространство R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} $mathbb {R} ^{3}$ (множество кортежей из трех вещественных чисел), есть 3-я степень множества вещественных чисел R.{displaystyle mathbb {R} .} $mathbb{R}.$

При n=0{displaystyle n=0}

$n=0$ , Декартова степень X0,{displaystyle X^{0},} $X^0,$ по определению, содержит единственный элемент — пустой кортеж.

Прямое произведение семейства множеств

В общем случае, для произвольного семейства множеств (не обязательно различных) {Xi}i∈I{displaystyle {X_{i}}_{iin I}}

${X_i}_{iin I}$ (множество индексов может быть бесконечным) прямое произведение X=∏i∈IXi{displaystyle X=prod _{iin I}X_{i}} $X = prod_{iin I} X_i$ определяется как множество функций, сопоставляющих каждому элементу i∈I{displaystyle iin I} $iin I$ элемент множества Xi{displaystyle X_{i}} $X_{i}$ :

∏i∈IXi={f:I→⋃i∈IXi∣f(i)∈Xi,i∈I}.{displaystyle prod _{iin I}X_{i}={fcolon Ito bigcup limits _{iin I}X_{i}mid f(i)in X_{i},iin I}.}

prod_{iin I} X_i = {fcolon I to bigcuplimits_{iin I} X_i mid f(i) in X_i, i in I }.

Отображения πi:X→Xi:f↦f(i){displaystyle pi _{i}colon Xto X_{i}colon fmapsto f(i)}

$pi_i colon X to X_i colon f mapsto f(i)$ называются проекциями.

В частности, для конечного семейства множеств {A1,…,An}{displaystyle {A_{1},dots ,A_{n}}}

${A_1, dots ,A_n}$ любая функция f:{1,…,n}→⋃i=1nAi{displaystyle f:{1,dots ,n}to bigcup limits _{i=1}^{n}A_{i}} $f:{1,dots ,n} to bigcuplimits_{i = 1}^n A_i$ с условием f(i)∈Ai{displaystyle f(i)in A_{i}} $f(i) in A_i$ эквивалентна некоторому кортежу длины n{displaystyle n} $n$ , составленному из элементов множеств {Ai}i=1n{displaystyle {A_{i}}_{i=1}^{n}} ${A_i}_{i = 1}^n$ , так, что на i{displaystyle i} $i$ -ом месте кортежа стоит элемент множества Ai{displaystyle A_{i}} $A_{i}$ . Поэтому декартово (прямое) произведение конечного числа множеств {Ai}i=1n{displaystyle {A_{i}}_{i=1}^{n}} ${A_i}_{i = 1}^n$ может быть записано так:

A1×⋯×An={(a1,…,an)∣ai∈Ai,i∈{1,…,n}}.{displaystyle A_{1}times dots times A_{n}={(a_{1},dots ,a_{n})mid a_{i}in A_{i},iin {1,dots ,n}}.}

A_1 times dots times A_n = {(a_1, dots ,a_n) mid a_i in A_i, i in {1, dots ,n}}.

Проекции определяются следующим образом: πi:(a1,…an)↦ai{displaystyle pi _{i}colon (a_{1},dots a_{n})mapsto a_{i}}

$pi_icolon (a_1,dots a_n) mapsto a_i$

Прямое произведение отображений

Пусть f{displaystyle f}

$f$ — отображение из A{displaystyle A} $A$ в B{displaystyle B} $B$ , а g{displaystyle g} $g$ — отображение из X{displaystyle X} $X$ в Y{displaystyle Y} $Y$ . Их прямым произведением f×g{displaystyle ftimes g} $ftimes g$ называется отображение из A×X{displaystyle Atimes X} $Atimes X$ в B×Y{displaystyle Btimes Y} $Btimes Y$ : (f×g)(a,x)=(f(a),g(x)){displaystyle (ftimes g)(a,;x)=(f(a),;g(x))} $(ftimes g)(a,; x) = (f(a),; g(x))$ .

Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.

Воздействие на математические структуры

Прямое произведение групп

Прямое (декартово) произведение двух групп (G,∗){displaystyle (G,*)}

$(G,*)$ и (H,∘){displaystyle (H,circ )} $(H,circ)$ — это группа из всех пар элементов (g,h){displaystyle (g,h)} $(g,h)$ с операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)×(g2,h2)=(g1∗g2,h1∘h2){displaystyle (g_{1},h_{1})times (g_{2},h_{2})=(g_{1}*g_{2},h_{1}circ h_{2})} $(g_1,h_1)times(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1circ h_2)$ . Эта группа обозначается как G×H{displaystyle Gtimes H} $Gtimes H$ . Ассоциативность операции умножения в группе G×H{displaystyle Gtimes H} $Gtimes H$ следует из ассоциативности операций перемножаемых групп. Сомножители G{displaystyle G} $G$ и H{displaystyle H} $H$ изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, {(g,1H)∣g∈G}{displaystyle {(g,1_{H})mid gin G}} ${(g,1_H)mid gin G}$ и {(1G,h)∣h∈H}{displaystyle {(1_{G},h)mid hin H}} ${(1_G,h)mid hin H}$ соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента (1G,1H){displaystyle (1_{G},1_{H})} $(1_G,1_H)$ , который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.

Это определение распространяется на произвольное число перемножаемых групп. В случае конечного числа прямое произведение изоморфно прямой сумме. Отличие возникает при бесконечном числе множителей.

В общем случае, ∏i∈I¯Gi={f:I→⋃i∈IGi}{displaystyle {overline {prod _{iin I}}}G_{i}={fcolon Ito bigcup _{iin I}G_{i}}}

$overline{prod_{iin I}} G_i={fcolon Itobigcup_{iin I} G_i}$ , где f(i)∈Gi{displaystyle f(i)in G_{i}} $f(i)isin G_i$ и (f1×f2)(i)=f1(i)∗f2(i){displaystyle (f_{1}times f_{2})(i)=f_{1}(i)*f_{2}(i)} $(f_1times f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)$ . (Операция в правой части — это операция группы Gi{displaystyle G_{i}} $G_{i}$ .) Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: (1i),i∈I{displaystyle (1_{i}),;iin I} $(1_i),; iin I$ . Например, для счётного числа групп: ∏i∈N¯Z2=(2N,xor){displaystyle {overline {prod _{iin mathbb {N} }}}mathbb {Z} _{2}=(2^{mathbb {N} },;operatorname {xor} )} $overline{prod_{iinmathbb{N}}} mathbb{Z}_2=(2^mathbb{N},; operatorname{xor})$ , где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех f{displaystyle f}

$f$ , носитель которых (то есть множество supp(f)={i∈I∣f(i)≠1i}{displaystyle mathrm {supp} ,(f)={iin Imid f(i)neq 1_{i}}} $mathrm{supp},(f) = {iin Imid f(i)ne 1_i}$ ) конечен, называется прямой суммой. Например, прямая сумма того же самого набора множеств ∏i∈NZ2 = (N,xor){displaystyle prod _{iin mathbb {N} }mathbb {Z} _{2} = (mathbb {N} ,;operatorname {xor} )} $prod_{iinmathbb{N}} mathbb{Z}_2 = (mathbb{N},; operatorname{xor})$ содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.

Прямое произведение других алгебраических структур

Аналогично произведению групп можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения 1i{displaystyle 1_{i}}

$1_i$ (см. выше) следует заменить нулём. Определение произведения двух (или конечного числа) объектов совпадает с определением прямой суммы. Однако, вообще говоря, прямая сумма отличается от прямого произведения: например, прямое произведение счётного множества копий R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ суть пространство всех последовательностей действительных чисел, тогда как прямая сумма — пространство тех последовательностей, у которых только конечное число членов ненулевые (т. н. финитных последовательностей).

Прямое произведение топологических пространств

Основная статья: Произведение топологических пространств

Пусть X{displaystyle X}

$X$ и Y{displaystyle Y} $Y$ — два топологических пространства. Топология произведения X×Y{displaystyle Xtimes Y} $Xtimes Y$ задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений U×V{displaystyle Utimes V} $Utimes V$ , где U{displaystyle U} $U$ — открытое подмножество X{displaystyle X} $X$ и V{displaystyle V} $V$ — открытое подмножество Y{displaystyle Y} $Y$ .

Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств.Для бесконечного произведения X=ΠXi{displaystyle X=Pi X_{i}}

$X = Pi X_i$ определение усложняется. Определим открытый цилиндр Cyl(i,U)={x∈X∣xi∈U}{displaystyle Cyl(i,;U)={xin Xmid x_{i}in U}} $Cyl(i,;U) = {xin Xmid x_iin U}$ , где i∈I{displaystyle iin I} $iin I$ и U{displaystyle U} $U$ — открытое подмножество Xi{displaystyle X_{i}} $X_{i}$ .

Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений, если считать индексное множество I{displaystyle I}

$I$ имеющим дискретную топологию).

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова.

Прямое произведение графов

	—	
	—	
		
	—	

Множество вершин прямого произведения двух графов G{displaystyle G}

$G$ и H{displaystyle H} $H$ задаётся как произведение вершин графов сомножителей.Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

(g,h)(g′,h){displaystyle (g,;h)(g’,;h)} $(g,;h)(g',;h)$ , где g{displaystyle g} $g$ и g′{displaystyle g’} $g'$ — соединённые ребром вершины графа G{displaystyle G} $G$ , а h{displaystyle h} $h$ — произвольная вершина графа H{displaystyle H} $H$ ;
(g,h)(g,h′){displaystyle (g,;h)(g,;h’)} $(g,;h)(g,;h')$ , где g{displaystyle g} $g$ — произвольная вершина графа G{displaystyle G} $G$ , а h{displaystyle h} $h$ и h′{displaystyle h’} $h'$ — соединённые ребром вершины графа H{displaystyle H} $H$ .

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.

Вариации и обобщения

Идея прямого произведения получила дальнейшее развитие в теории категорий, где она послужила основой для понятия произведения объектов. Неформально, произведение двух объектов A{displaystyle A}

$A$ и B{displaystyle B} $B$ — это наиболее общий объект в данной категории, для которого существуют проекции на A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$ . Во многих категориях (множеств, групп, графов, …) произведением объектов является именно их прямое произведение. Важно, что в большинстве случаев важно не столько конкретное определение прямого произведения, сколько указанное выше свойство универсальности. Различные определения будут давать при этом изоморфные объекты.

См. также

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (14 мая 2011)

{0, 1, 2}3, 33 = 27 элементов
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

{0, 1, 2}3, 33 = 27 элементов
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222