Кольцо (математика)

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо.Эта статья — о структуре с ассоциативным умножением. О более общем определении см. неассоциативное кольцо.

Кольцо́ (также ассоциативное кольцо) в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел (целых, вещественных, комплексных), совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом[1].

Для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой, безотносительно природы элементов, над которыми операции производятся, и было введено понятие кольца[2].

Кольца являются основным объектом изучения теории колец — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в алгебраической геометрии, алгебраической теории чисел, алгебраической K{displaystyle K} $K$ -теории, теории инвариантов.

История

Бурное развитие алгебры как науки началось в XIX веке. Одной из главных задач теории чисел в 60-70-е годы было построение теории делимости в общих полях алгебраических чисел.Решение этой задачи было опубликовано Р. Дедекиндом («X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле», 1871 год). В этой работе было впервые рассмотрено понятие кольца целых числового поля, в этом контексте были определены понятия модуля и идеала [3].

Определение

Кольцо — это множество R{displaystyle R}

$R$ , на котором заданы две бинарные операции: +{displaystyle +} $+$ и ×{displaystyle times } $times$ (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых a,b,c∈R{displaystyle a,b,cin R} $a, b, c in R$ :

a+b=b+a{displaystyle a+b=b+a} $a + b = b + a$ — коммутативность сложения;
a+(b+c)=(a+b)+c{displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} $a + (b + c) = (a + b) + c$ — ассоциативность сложения;
∃0∈R (a+0=0+a=a){displaystyle exists 0in R left(a+0=0+a=aright)} $exists 0 in R left(a + 0 = 0 + a = aright)$ — существование нейтрального элемента относительно сложения;
∀a∈R∃b∈R(a+b=b+a=0){displaystyle forall ain R;exists bin Rleft(a+b=b+a=0right)} $forall ain R;exists bin Rleft(a+b=b+a=0right)$ — существование противоположного элемента относительно сложения;
(a×b)×c=a×(b×c){displaystyle (atimes b)times c=atimes (btimes c)} $(a times b) times c=a times (b times c)$ — ассоциативность умножения;
{a×(b+c)=(a×b)+(a×c)(b+c)×a=(b×a)+(c×a){displaystyle left{{begin{matrix}atimes (b+c)=(atimes b)+(atimes c)(b+c)times a=(btimes a)+(ctimes a)end{matrix}}right.} ${displaystyle left{{begin{matrix}atimes (b+c)=(atimes b)+(atimes c)(b+c)times a=(btimes a)+(ctimes a)end{matrix}}right.}$ — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра (R,+,×){displaystyle left(R,+,times right)}

$left(R,+,times right)$ , являющаяся абелевой группой относительно сложения +{displaystyle +} $+$ , полугруппой относительно умножения ×{displaystyle times } $times$ , и обладающая двусторонней дистрибутивностью ×{displaystyle times } $times$ относительно +{displaystyle +} $+$ .

Кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

наличие единицы: ∃e∈R∀a∈R(a×e=e×a=a){displaystyle exists ein R;forall ain Rleft(atimes e=etimes a=aright)} $exists e in R; forall a in R left(a times e = e times a = aright)$ (кольцо с единицей), обычно единица обозначается 1;
коммутативность умножения: ∀a,b∈R(a×b=b×a){displaystyle forall a,bin Rleft(atimes b=btimes aright)} $forall a, b in R left(a times b = b times aright)$ (коммутативное кольцо);

Иногда под кольцом понимают только кольца с единицей [4], но изучаются также и кольца без единицы (например, кольцо чётных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы[5]).

Вместо символа ×{displaystyle times }

$times$ часто используют символ ⋅{displaystyle cdot } $cdot$ , либо вовсе его опускают.

Простейшие свойства

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

относительно сложения в кольце нейтральный элемент единственнен;
для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственнен;
нейтральный элемент относительно умножения, если он существует, единственнен;
a⋅0=0,{displaystyle acdot 0=0,} $a cdot 0 = 0,$ то есть 0 — поглощающий элемент по умножению;
(−b)=(−1)⋅b,{displaystyle (-b)=(-1)cdot b,} $(-b) = (-1) cdot b,$ где (−b){displaystyle (-b)} $(-b)$ — элемент, обратный к b{displaystyle b} $b$ по сложению;
(−a)⋅b=(−ab);{displaystyle (-a)cdot b=(-ab);} $(-a) cdot b = (-ab);$
(−a)⋅(−b)=(ab).{displaystyle (-a)cdot (-b)=(ab).} $(-a) cdot (-b) = (ab).$ [6][5]

Основные понятия

Виды элементов кольца

Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальным[⇨]). Тогда левый делитель нуля — это ненулевой элемент a{displaystyle a}

$a$ кольца R,{displaystyle R,} $R,$ для которого существует ненулевой элемент b{displaystyle b} $b$ кольца R,{displaystyle R,} $R,$ такой что ab=0.{displaystyle ab=0.} $ab=0.$ Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Пример:рассмотрим кольцо непрерывных функций на интервале (−1,1).{displaystyle (-1,1).} $(-1, 1).$ Положим f(x)=max(0,x),{displaystyle f(x)=max(0,x),} $f(x)=max(0, x),$ g(x)=max(0,−x).{displaystyle g(x)=max(0,-x).} $g(x)=max(0, -x).$ тогда f≠0,g≠0,fg=0,{displaystyle fneq 0,gneq 0,fg=0,} $fne0, gne0, fg=0,$ то есть f,g{displaystyle f,g} $f, g$ являются делителями нуля. Здесь условие f≠0{displaystyle fneq 0} $fne0$ означает, что f{displaystyle f} $f$ является функцией, отличной от нуля, но не означает, что f{displaystyle f} $f$ нигде не принимает значение 0.{displaystyle 0.} $0.$ [7]

Нильпотентный элемент — это элемент a,{displaystyle a,}

$a,$ такой что an=0{displaystyle a^{n}=0} $a^n = 0$ для некоторого n>0.{displaystyle n>0.} $n > 0.$ Пример: матрица (0100).{displaystyle {bigl (}{begin{smallmatrix}0&1&0end{smallmatrix}}{bigr )}.} $bigl(begin{smallmatrix} 0 & 1� & 0 end{smallmatrix}bigr).$ Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля (если только кольцо состоит не из одного нуля), обратное в общем случае неверно[8].

Идемпотентный элемент e{displaystyle e}

$e$ — это такой элемент, что e⋅e=e.{displaystyle ecdot e=e.} $ecdot e=e.$ Например, идемпотентен любой оператор проектирования, в частности, следующий:(1000){displaystyle {bigl (}{begin{smallmatrix}1&0&0end{smallmatrix}}{bigr )}} $bigl(begin{smallmatrix} 1 & 0� & 0 end{smallmatrix}bigr)$ в кольце матриц 2×2.{displaystyle 2times 2.} $2times 2.$ [9]

Если a{displaystyle a}

$a$ — произвольный элемент кольца с единицей R,{displaystyle R,} $R,$ то левым обратным элементом к a{displaystyle a} $a$ называется al−1{displaystyle a_{l}^{-1}} $a^{-1}_{l}$ такой, что al−1a=1.{displaystyle a_{l}^{-1}a=1.} $a^{-1}_{l}a=1.$ Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента a{displaystyle a} $a$ есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что a{displaystyle a} $a$ обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается a−1.{displaystyle a^{-1}.} $a^{-1}.$ Сам элемент называется обратимым элементом.[7]

Подкольцо

Основная статья: Подкольцо

Подмножество A⊂R{displaystyle Asubset R}

$Asubset R$ называется подкольцом R,{displaystyle R,} $R,$ если A{displaystyle A} $A$ само является кольцом относительно операций, определённых в R.{displaystyle R.} $R.$ При этом говорят, что R{displaystyle R} $R$ — расширение кольца A.{displaystyle A.} $A.$ [10] Другими словами, непустое подмножество A⊂R{displaystyle Asubset R} $Asubset R$ является подкольцом, если

A{displaystyle A} $A$ является аддитивной подгруппой кольца R,{displaystyle R,} $R,$ то есть для любых x,y∈A:x+y,−x∈A,{displaystyle x,yin A:x+y,-xin A,} $x, y in A : x+y, -x in A,$
A{displaystyle A} $A$ замкнуто относительно умножения, то есть для любых x,y∈A:xy∈A.{displaystyle x,yin A:xyin A.} $x, y in A : xy in A.$

По определению, подкольцо непусто, поскольку содержит нулевой элемент. Нуль и единица кольца являются нулем и единицей любого его подкольца.[11]

Подкольцо наследует свойство коммутативности.[12]

Пересечение любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество E⊂R{displaystyle Esubset R}

$Esubset R$ называется подкольцом, порождённым E,{displaystyle E,} $E,$ а E{displaystyle E} $E$ — системой образующих для кольца R.{displaystyle R.} $R.$ Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих E,{displaystyle E,} $E,$ удовлетворяет этому определению.[11]

Подкольцо кольца с единицей R,{displaystyle R,}

$R,$ порождённое его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца R.{displaystyle R.} $R.$ Такое подкольцо содержится в любом подкольце кольца R.{displaystyle R.} $R.$ [13]

Идеалы

Основная статья: Идеал (алгебра)

Определение и роль идеала кольца сходны с определением нормальной подгруппы в теории групп [14].

Непустое подмножество I{displaystyle I}

$I$ кольца R{displaystyle R} $R$ называется левым идеалом, если:

I{displaystyle I} $I$ является аддитивной подгруппой кольца, то есть сумма любых двух элементов из I{displaystyle I} $I$ принадлежит I,{displaystyle I,} $I,$ а также a∈I⇒−a∈I.{displaystyle ain IRightarrow -ain I.} $ain IRightarrow -ain I.$

I замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого a∈I,{displaystyle ain I,} $ain I,$ r∈R{displaystyle rin R} $rin R$ верно ra∈I.{displaystyle rain I.} $rain I.$

Из первого свойства следует и замкнутость I относительно умножения внутри себя, так что I является подкольцом.

Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.
Двусторонний идеал (или просто идеал) кольца R{displaystyle R}

$R$ — любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.

Также идеал кольца R{displaystyle R}

$R$ может определяться как ядро некоторого гомоморфизма f:R→R′.{displaystyle f:Rto R’.} ${displaystyle f:Rto R'.}$ [15]

Если x{displaystyle x}

$x$ — элемент кольца R,{displaystyle R,} $R,$ то множество элементов вида Rx{displaystyle Rx} $Rx$ (соответственно, xR{displaystyle xR} $xR$ ) называется левым (соответственно, правым) главным идеалом, порождённым x.{displaystyle x.} $x.$ Если кольцо R{displaystyle R} $R$ коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый x,{displaystyle x,} $x,$ обозначается (x).{displaystyle (x).} $(x).$ Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными[16].

Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется простым, если факторкольцо по этому идеалу не имеет делителей нуля.
Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом и не содержащийся ни в каком большем идеале, не равном кольцу, называется максимальным.[17]

Гомоморфизм

Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм) — это отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца R{displaystyle R}

$R$ в кольцо S{displaystyle S} $S$ — это функция f:R→S,{displaystyle f:Rto S,} ${displaystyle f:Rto S,}$ такая что

f(a+b)=f(a)+f(b),{displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b),} $f(a + b) = f(a) + f(b),$
f(a⋅b)=f(a)⋅f(b), ∀a,b∈ R.{displaystyle f(acdot b)=f(a)cdot f(b),~forall a,bin ~R.} ${displaystyle f(acdot b)=f(a)cdot f(b),~forall a,bin ~R.}$

В случае колец с единицей иногда требуют также условия f(1)=1{displaystyle f(1)=1}

$f(1) = 1$ [18][19].

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм — это гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом.[20]

Если f:R→S{displaystyle f:Rto S}

$f:Rto S$ — гомоморфизм колец, множество элементов R,{displaystyle R,} $R,$ переходящих в ноль, называется ядром f{displaystyle f} $f$ (обозначается kerf{displaystyle mathrm {ker} f} $mathrm{ker} f$ ). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом[21]. С другой стороны, образ f{displaystyle f} $f$ не всегда является идеалом, но является подкольцом S{displaystyle S} $S$ [15] (обозначается imf{displaystyle mathrm {im} f} $mathrm{im} f$ ).

Факторкольцо

Основная статья: Факторкольцо

Определение факторкольца по идеалу аналогично определению факторгруппы. Более точно, факторкольцо кольца R{displaystyle R}

$R$ по двустороннему идеалу I{displaystyle I} $I$ — это множество классов смежности аддитивной группы R{displaystyle R} $R$ по аддитивной подгруппе I{displaystyle I} $I$ со следующими операциями:

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,{displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,} $(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,$
(a+I)(b+I)=(ab)+I.{displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I.} $(a + I)(b + I) = (ab) + I.$

Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм p:R→R/I,{displaystyle p:Rto R/I,}

$p: R to R/I,$ задаваемый как x↦x+I.{displaystyle xmapsto x+I.} $x mapsto x + I.$ Ядром при этом является идеал I.{displaystyle I.} $I.$

Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец:пусть f:R→R′,{displaystyle f:Rto R’,}

${displaystyle f:Rto R',}$ тогда Imf{displaystyle mathrm {Im} f} $mathrm{Im} f$ изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизмаImf≃A/Kerf.{displaystyle mathrm {Im} fsimeq A/mathrm {Ker} f.} $mathrm{Im} f simeq A/mathrm{Ker} f.$ [22]

Некоторые особые классы колец

Кольцо с единицей 1≠0{displaystyle 1neq 0} $1neq 0$ , в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.[23]
Коммутативное тело называется полем[24] Иначе говоря, поле — это коммутативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеалов [8][25].
Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом)[26]Любое поле является областью целостности, но обратное неверно[27].
Целостное кольцо R{displaystyle R} , не являющееся полем, называется евклидовым, если на кольце задана норма N:R→Z+{displaystyle Ncolon Rto Z_{+}} такая, что:
1. для любых ненулевых a,b∈R{displaystyle a,bin R} $a,b in R$ верно, что N(a)≤N(ab){displaystyle N(a)leq N(ab)} ${displaystyle N(a)leq N(ab)}$ ;
2. для любых ненулевых a,b∈R{displaystyle a,bin R} $a,b in R$ существуют q,r∈R{displaystyle q,rin R} $q,r in R$ такие, что a=qb+r{displaystyle a=qb+r} $a = qb + r$ и r=0{displaystyle r=0} $r=0$ или N(r)<N(b){displaystyle N(r)<N(b)} $N( r ) < N(b)$ [26].
Целостное кольцо, в котором всякий идеал является главным, называется кольцом главных идеалов. Всякие евклидово кольцо и всякое поле являются кольцами главных идеалов[12].
Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом. Например, множество чётных чисел является числовым кольцом, но не будет кольцом никакая система отрицательных чисел, так как их произведение положительное[28].

Примеры

{0}{displaystyle {0}} ${ 0}$ — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей[5]. Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения теории категорий, так как при этом в категориях колец возникает терминальный объект.
Z{displaystyle mathbb {Z} } $mathbb {Z}$ — целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над Z{displaystyle mathbb {Z} } $mathbb {Z}$ . Также это начальный объект в категории Ring колец с единицей.[29][30]
Zn{displaystyle mathbb {Z} _{n}} $mathbb {Z} _{n}$ — конечное кольцо вычетов по модулю натурального числа n. Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число n простое.[31] Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p-адических чисел.
Q{displaystyle mathbb {Q} } $mathbb {Q}$ — кольцо рациональных чисел, являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ и p-адических чисел Qp,{displaystyle mathbb {Q} _{p},} $Q_p,$ где p — произвольное простое число[32].
Для произвольного коммутативного кольца R{displaystyle R} $R$ можно построить кольцо многочленов от n переменных R[x1,x2,…,xn]{displaystyle R[x_{1},x_{2},dots ,x_{n}]} $R[x_1,x_2,dots,x_n]$ с коэффициентами в R.{displaystyle R.} $R.$ [11] В частности, R[x][y]=R[x,y].{displaystyle R[x][y]=R[x,y].} $R[x][y]=R[x,y].$ Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение: R[x1,…,xn]=R⊗(Z[x1,…,xn]).{displaystyle R[x_{1},dots ,x_{n}]=Rotimes left(mathbb {Z} [x_{1},dots ,x_{n}]right).} $R[x_1,dots,x_n] = R otimes left(Z[x_1,dots,x_n]right).$
Кольцо подмножеств множества X{displaystyle X} $X$ — это кольцо, элементами которого являются подмножества в X{displaystyle X} $X$ . Операция сложения есть симметрическая разность, а умножение — пересечение множеств:

A+B=AΔB=(A∖B)∪(B∖A),{displaystyle A+B=ADelta B=(Asetminus B)cup (Bsetminus A),}

A + B = A Delta B = (Asetminus B ) cup (B setminus A),

A⋅B=A∩B.{displaystyle Acdot B=Acap B.}

A cdot B = A cap B.

Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё X.{displaystyle X.}

X.

Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть A⋅A=A.{displaystyle Acdot A=A.}

Acdot A = A.

Любой элемент является своим обратным по сложению: A+A=0.{displaystyle A+A=0.}

A+A=0.

Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности в построении теории вероятностей [5].

Конструкции

Прямое произведение

Пусть R и S — кольца. Тогда произведение R×S{displaystyle Rtimes S}

$Rtimes S$ можно снабдить естественной структурой кольца. Операции задаются следующим образом: для любых r1,r2∈R{displaystyle r_{1},r_{2}in R} $r_1,r_2in R$ , s1,s2∈S:{displaystyle s_{1},s_{2}in S:} $s_1,s_2in S:$

(r1,s1)+(r2,s2)=(r1+r2,s1+s2),{displaystyle (r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2}),} $(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),$
(r1,s1)⋅(r2,s2)=(r1r2,s1s2).{displaystyle (r_{1},s_{1})cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}r_{2},s_{1}s_{2}).} $(r_1,s_1)cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).$

Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно).[33]

Пусть R{displaystyle R}

$R$ — коммутативное кольцо и a1,⋯,an{displaystyle {mathfrak {a}}_{1},cdots ,{mathfrak {a}}_{n}} $mathfrak{a}_1, cdots, mathfrak{a}_n$ — попарно взаимно простые идеалы в нём (идеалы называются взаимно простыми, если их сумма равна всему кольцу). Китайская теорема об остатках утверждает, что отображение

R→R/a1×⋯×R/an,x↦(x+a1,…,x+an){displaystyle Rto R/{mathfrak {a}}_{1}times cdots times R/{mathfrak {a}}_{n},quad xmapsto (x+{mathfrak {a}}_{1},ldots ,x+{mathfrak {a}}_{n})}

R to R/ mathfrak{a}_1 times cdots times R/ mathfrak{a}_n, quad x mapsto (x + mathfrak{a}_1, ldots , x + mathfrak{a}_n)

сюръективно, а его ядро — ∏ai=∩ai{displaystyle prod {mathfrak {a}}_{i}=cap {mathfrak {a}}_{i}}

$prod mathfrak{a}_i = cap mathfrak{a}_i$ (см. Произведение идеалов, Пересечение идеалов).[18]

Кольцо эндоморфизмов

Пусть A — абелева группа (групповая операция в дальнейшем записывается аддитивно). Тогда множество гомоморфизмов этой группы в себя (то есть эндоморфизмов) образует кольцо, обозначаемое End(A). Сумма двух гомоморфизмов определяется покомпонентно: (f+g)(x)=f(x)+g(x),{displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),}

$(f+g)(x)=f(x)+g(x),$ а произведение — как композиция гомоморфизмов: (fg)(x)=f(g(x)).{displaystyle (fg)(x)=f(g(x)).} $(fg)(x)=f(g(x)).$ Если A — группа, не являющаяся абелевой, то f+g,{displaystyle f+g,} $f+g,$ вообще говоря, не равно g+f,{displaystyle g+f,} $g+f,$ тогда как сложение в кольце должно быть коммутативным.[34]

Поле частных и кольцо частных

Основная статья: Кольцо частных

Пусть R — целостное кольцо, тогда следующая конструкция позволяет построить наименьшее поле, содержащее его. Поле частных кольца R — это множество классов эквивалентности формальных дробей p/q,p,q∈R{displaystyle p/q,;p,qin R}

$p/q,; p,qin R$ по следующему отношению эквивалентности:

p1q1∼p2q2{displaystyle {p_{1} over q_{1}}sim {p_{2} over q_{2}}}

{p_1 over q_1}sim {p_2 over q_2}

тогда и только тогда, когда p1q2=p2q1,{displaystyle {p_{1}q_{2}}={p_{2}q_{1}},}

{p_1q_2}= {p_2q_1},

с обычными операциями: ab+cd=ad+bcbd,ab⋅cd=acbd.{displaystyle {a over b}+{c over d}={ad+bc over bd},quad {a over b}cdot {c over d}={ac over bd}.}

${displaystyle {a over b}+{c over d}={ad+bc over bd},quad {a over b}cdot {c over d}={ac over bd}.}$

Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходится воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца. А именно, пусть S — мультипликативно замкнутая система в коммутативном кольце R (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит). Тогда кольцо частных S−1R{displaystyle S^{-1}R}

$S^{-1}R$ — это множество классов эквивалентности формальных дробей r/s,r∈R,s∈S{displaystyle r/s,;rin R,sin S} $r/s,; rin R, sin S$ по отношению эквивалентности:

r1s1∼r2s2{displaystyle {r_{1} over s_{1}}sim {r_{2} over s_{2}}}

{r_1 over s_1}sim {r_2 over s_2}

тогда и только тогда, когда существует s′∈S{displaystyle s’in S}

s'in S

, такое что s′r1s2−r2s1=0.{displaystyle s'{r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}}=0.}

s'{r_1s_2-r_2s_1}= 0.

Также эту конструкцию называют локализацией кольца (так как в алгебраической геометрии она позволяет исследовать локальные свойства многообразия в отдельной его точке). Пример: кольцо десятичных дробей — это локализация кольца целых чисел по мультипликативной системеS={10n|n⩾0}.{displaystyle S={10^{n}|ngeqslant 0}.}

$S={10^n|ngeqslant 0}.$

Существует естественное отображение R→S−1R,r↦r/1.{displaystyle Rto S^{-1}R,,rmapsto r/1.}

$R to S^{-1}R, , r mapsto r / 1.$ Его ядро состоит из таких элементов r, для которых существует s ∈ S, такое что rs=0.{displaystyle rs=0.} $rs = 0.$ В частности, для целостного кольца это отображение инъективно [35][36].

Категорное описание

Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют категорию, обычно обозначаемую Ring (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают Rng). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она полна и кополна. Это значит, что в ней существуют все малые пределы и копределы (например, произведения, копроизведения, ядра и коядра). Категория колец с единицей обладает начальным объектом (кольцо Z{displaystyle mathbb {Z} }

$mathbb {Z}$ ) и терминальным объектом (нулевое кольцо).

Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей — это моноид в категории абелевых групп (абелевы группы образуют моноидальную категорию относительно операции тензорного произведения). Действие кольца R на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как моноид по умножению) превращает абелеву группу в R-модуль. Понятие модуля обобщает понятие векторного пространства: грубо говоря, модуль — это «векторное пространство над кольцом».[29][30]

Специальные классы колец

Обобщения — неассоциативное кольцо, полукольцо, почтикольцо.

Структуры над кольцами

Примечания

↑ Винберг, 2011, с. 17—19.
↑ Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.
↑ Erich Reck. Dedekind’s Contributions to the Foundations of Mathematics // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2012-01-01.
↑ Атья, Макдональд, 1972, с. 9.
↑ 1 2 3 4 Винберг, 2011, с. 18—19.
↑ Курош, 1968, с. 273—275.
↑ 1 2 Ван дер Варден, 1975, с. 51—53.
↑ 1 2 Атья, Макдональд, 1972, с. 11.
↑ Ван дер Варден, 1975, с. 359.
↑ Винберг, 2011, с. 407.
↑ 1 2 3 Куликов, 1979, с. 110—111.
↑ 1 2 Винберг, 2011, с. 21.
↑ Куликов, 1979, с. 437.
↑ Ван дер Варден, 1975, с. 64.
↑ 1 2 Фейс, 1977, с. 153.
↑ Куликов, 1979, с. 430—431.
↑ Винберг, 2011, с. 406.
↑ 1 2 Фейс, 1979, с. 10.
↑ Винберг, 2011, с. 388.
↑ Куликов, 1979, с. 107—108.
↑ Куликов, 1979, с. 432.
↑ Винберг, 2011, с. 387—390.
↑ Винберг, 2011, с. 523.
↑ Фейс, 1977, с. 152.
↑ Куликов, 1979, с. 430.
↑ 1 2 Винберг, 2011, с. 118.
↑ Атья, Макдональд, 1972.
↑ Курош, 1968, с. 266.
↑ 1 2 Фейс, 1977.
↑ 1 2 Фейс, 1979.
↑ Винберг, 2011, с. 28—34.
↑ Ван дер Варден, 1975, с. 509—512.
↑ Ван дер Варден, 1975, с. 33.
↑ Ван дер Варден, 1975, с. 173.
↑ Ван дер Варден, 1975, с. 450—452.
↑ Курош, 1968, с. 305—311.

Литература

М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1975. — 623 с.
Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое издание, перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с.
Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X класс. Пособие для учителей — Новое издание, перераб. и доп.. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
Колмогоров А. Н.,Юшкевич А. П.(ред.). Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — 255 с.
Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры.. — М.: Наука, 1968. — 431 с.
Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории.. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории.. — М.: Мир, 1979. — Т. 2. — 464 с.
Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972. — 190 с.