Преобразование Фурье

Разделы:

Преобразование Фурье (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, вообще говоря, комплексной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде суммы музыкальных звуков, которые его составляют).

Преобразование Фурье функции f{displaystyle f} $f$ вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

f^(ω)=12π∫−∞∞f(x)e−ixωdx.{displaystyle {hat {f}}(omega )={frac {1}{sqrt {2pi }}}int limits _{-infty }^{infty }f(x)e^{-ixomega },dx.}

{hat {f}}(omega )={frac {1}{{sqrt {2pi }}}}int limits _{{-infty }}^{{infty }}f(x)e^{{-ixomega }},dx.

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором множителя перед интегралом (так называемого нормировочного множителя, который относится к вопросу о нормировке преобразования Фурье), а также знака «−» в показателе экспоненты. Но вне зависимости от таких вариаций все свойства будут сохранять свою силу, хотя вид некоторых формул может измениться.

Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия (см. ниже).

Содержание

1 Свойства
2 Применения
3 Разновидности
4 Интерпретация в терминах времени и частоты
5 Важные формулы
6 См. также
7 Литература
8 Ссылки

Свойства

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса L1(R){displaystyle L_{1}(mathbb {R} )}

$L_{1}(mathbb{R} )$ , преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

Преобразование Фурье является линейным оператором:

(αf+βg)^=αf^+βg^.{displaystyle {widehat {(alpha f+beta g)}}=alpha {hat {f}}+beta {hat {g}}.}

widehat {(alpha f+beta g)}=alpha {hat {f}}+beta {hat {g}}.

Справедливо равенство Парсеваля: если f∈L1(R)∩L2(R){displaystyle fin L_{1}(mathbb {R} )cap L_{2}(mathbb {R} )} $fin L_{1}(mathbb{R} )cap L_{2}(mathbb{R} )$ , то преобразование Фурье сохраняет L2{displaystyle L_{2}} $L_{2}$ -норму:

∫−∞∞|f(x)|2dx=∫−∞∞|f^(w)|2dω.{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }|f(x)|^{2},dx=int limits _{-infty }^{infty }|{{hat {f}}(w)}|^{2},domega .}

{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }|f(x)|^{2},dx=int limits _{-infty }^{infty }|{{hat {f}}(w)}|^{2},domega .}

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство L2(R){displaystyle L_{2}(mathbb {R} )}

$L_{2}(mathbb{R} )$ . Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех f∈L2(R){displaystyle fin L_{2}(mathbb {R} )} $fin L_{2}(mathbb{R} )$ .

Формула обращения:

f(x)=12π∫−∞∞f^(ω)eixωdω{displaystyle f(x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int limits _{-infty }^{infty }{hat {f}}(omega )e^{ixomega },domega }

{displaystyle f(x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int limits _{-infty }^{infty }{hat {f}}(omega )e^{ixomega },domega }

справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция f{displaystyle f}

$f$ является достаточно гладкой. Если f∈L2(R){displaystyle fin L_{2}(mathbb {R} )} $fin L_{2}(mathbb{R} )$ , то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний eiωx{displaystyle e^{iomega x}}

$e^{{iomega x}}$ с частотами ω{displaystyle omega } $omega$ , амплитудами 12π|f^(ω)|{displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}|{hat {f}}(omega )|} ${frac {1}{{sqrt {2pi }}}}|{hat {f}}(omega )|$ и фазовыми сдвигами arg⁡f^(ω){displaystyle arg {hat {f}}(omega )} $arg {hat {f}}(omega )$ соответственно.

Теорема о свёртке: если f,g∈L1(R){displaystyle f,;gin L_{1}(mathbb {R} )} $f,;gin L_{1}(mathbb{R} )$ , тогда

(f∗g)^=2πf^g^{displaystyle {widehat {(fast g)}}={sqrt {2pi }}{widehat {f}}{widehat {g}}}

widehat {(fast g)}={sqrt {2pi }}widehat {f}widehat {g}

, где

(f∗g)(t)=∫−∞∞f(t−s)g(s)ds.{displaystyle (fast g)(t)=int limits _{-infty }^{infty }f(t-s)g(s),ds.}

(fast g)(t)=int limits _{{-infty }}^{{infty }}f(t-s)g(s),ds.

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

Преобразование Фурье и дифференцирование. Если f,f′∈L1(R){displaystyle f,;f’in L_{1}(mathbb {R} )} $f,;f'in L_{1}(mathbb{R} )$ , то

(f′)^=iωf^.{displaystyle {widehat {(f’)}}=iomega {widehat {f}}.}

widehat {(f')}=iomega widehat {f}.

Из этой формулы легко выводится формула для n{displaystyle n}

$n$ -й производной:

(f(n))^=(iω)nf^.{displaystyle {widehat {(f^{(n)})}}=(iomega )^{n}{widehat {f}}.}

widehat {(f^{{(n)}})}=(iomega )^{n}widehat {f}.

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

Преобразование Фурье и сдвиг.

f(x−x0)^=e−iωx0f^(ω).{displaystyle {widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-iomega x_{0}}{hat {f}}(omega ).}

{displaystyle {widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-iomega x_{0}}{hat {f}}(omega ).}

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией δ(x−x0){displaystyle delta (x-x_{0})}

$delta (x-x_{0})$ , а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

Преобразование Фурье и растяжение.

f(ax)^=|a|−1f^(ω/a).{displaystyle {widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{hat {f}}(omega /a).}

{displaystyle {widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{hat {f}}(omega /a).}

Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

S(R):={φ∈C∞(R):∀n,m∈Nxnφ(m)(x)→x→∞0}.{displaystyle S(mathbb {R} ):=left{varphi in C^{infty }(mathbb {R} ):forall n,;min mathbb {N} ;x^{n}varphi ^{(m)}(x){xrightarrow {xto infty }}0right}.}

S({mathbb R}):=left{varphi in C^{{infty }}({mathbb R}):forall n,;min mathbb{N} ;x^{n}varphi ^{{(m)}}(x){xrightarrow {xto infty }}0right}.

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство S∗(R){displaystyle S^{*}(mathbb {R} )}

$S^{*}(mathbb{R} )$ . Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции f∈S∗(R){displaystyle fin S^{*}(mathbb {R} )} $fin S^{*}(mathbb{R} )$ её преобразованием Фурье называется обобщённая функция f^∈S∗(R){displaystyle {hat {f}}in S^{*}(mathbb {R} )} ${hat {f}}in S^{*}(mathbb{R} )$ , действующая на основные функции по правилу

⟨f^,φ⟩=⟨f,φ^⟩.{displaystyle langle {hat {f}},;varphi rangle =langle f,;{hat {varphi }}rangle .}

langle {hat {f}},;varphi rangle =langle f,;{hat {varphi }}rangle .

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:

⟨δ^,φ⟩=⟨δ,φ^⟩=⟨δ,12π∫−∞∞φ(x)e−iωxdx⟩=12π∫−∞∞φ(x)⋅1dx=⟨12π,φ⟩.{displaystyle langle {hat {delta }},;varphi rangle =langle delta ,;{hat {varphi }}rangle =leftlangle delta ,;{frac {1}{sqrt {2pi }}}int limits _{-infty }^{infty }varphi (x)e^{-iomega x},dxrightrangle ={frac {1}{sqrt {2pi }}}int limits _{-infty }^{infty }varphi (x)cdot 1,dx=leftlangle {frac {1}{sqrt {2pi }}},;varphi rightrangle .}

langle {hat {delta }},;varphi rangle =langle delta ,;{hat {varphi }}rangle =leftlangle delta ,;{frac {1}{{sqrt {2pi }}}}int limits _{{-infty }}^{{infty }}varphi (x)e^{{-iomega x}},dxrightrangle ={frac {1}{{sqrt {2pi }}}}int limits _{{-infty }}^{{infty }}varphi (x)cdot 1,dx=leftlangle {frac {1}{{sqrt {2pi }}}},;varphi rightrangle .

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа 12π{displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}}

${frac {1}{{sqrt {2pi }}}}$ .

Применения

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства (time domain) в частотное пространство (frequency domain). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина).
Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо).
По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).

Разновидности

Многомерное преобразование

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

$mathbb {R} ^{n}$ , определяется формулой

f^(ω)=1(2π)n/2∫Rnf(x)e−ix⋅ωdx.{displaystyle {hat {f}}(omega )={frac {1}{(2pi )^{n/2}}}int limits _{mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-ixcdot omega },dx.}

{hat {f}}(omega )={frac {1}{(2pi )^{{n/2}}}}int limits _{{mathbb{R} ^{n}}}f(x)e^{{-ixcdot omega }},dx.

Здесь ω{displaystyle omega }

$omega$ и x{displaystyle x} $x$ — векторы пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ , x⋅ω{displaystyle xcdot omega } $xcdot omega$ — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задается формулой

f(x)=1(2π)n/2∫Rnf^(ω)eix⋅ωdω.{displaystyle f(x)={frac {1}{(2pi )^{n/2}}}int limits _{mathbb {R} ^{n}}{hat {f}}(omega )e^{ixcdot omega },domega .}

f(x)={frac {1}{(2pi )^{{n/2}}}}int limits _{{mathbb{R} ^{n}}}{hat {f}}(omega )e^{{ixcdot omega }},domega .

Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции f{displaystyle f}

$f$ в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида eix⋅ω{displaystyle e^{ixcdot omega }} $e^{{ixcdot omega }}$ с амплитудами 1(2π)n/2|f^(ω)|{displaystyle {frac {1}{(2pi )^{n/2}}}|{hat {f}}(omega )|} ${frac {1}{(2pi )^{{n/2}}}}|{hat {f}}(omega )|$ , частотами ω{displaystyle omega } $omega$ и фазовыми сдвигами arg⁡f^(ω){displaystyle arg {hat {f}}(omega )} $arg {hat {f}}(omega )$ соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

∂f∂xk^=iωkf^(ω).{displaystyle {widehat {frac {partial f}{partial x_{k}}}}=iomega _{k}{hat {f}}(omega ).}

widehat {{frac {partial f}{partial x_{k}}}}=iomega _{k}{hat {f}}(omega ).

Изменяется константа в теореме о свёртке:

(f∗g)^=(2π)n/2f^g^.{displaystyle {widehat {(fast g)}}=(2pi )^{n/2}{hat {f}}{hat {g}}.}

widehat {(fast g)}=(2pi )^{{n/2}}{hat {f}}{hat {g}}.

Преобразование Фурье и сжатие координат:

(f(x|a|))^=|a|nf^(ω|a|).{displaystyle {widehat {left(fleft({frac {x}{|a|}}right)right)}}=|a|^{n}{hat {f}}(omega |a|).}

widehat {left(fleft({frac {x}{|a|}}right)right)}=|a|^{n}{hat {f}}(omega |a|).

Более общо, если A:Rn→Rn{displaystyle Acolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}} ${displaystyle Acolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}$ — обратимое линейное отображение, то

(f(Ax))^=|det(A)|−1f^((AT)−1ω).{displaystyle {widehat {left(f(Ax)right)}}=|det(A)|^{-1}{hat {f}}((A^{T})^{-1}omega ).}

{displaystyle {widehat {left(f(Ax)right)}}=|det(A)|^{-1}{hat {f}}((A^{T})^{-1}omega ).}

Ряды Фурье

Основная статья: Ряд Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для 2π{displaystyle 2pi }

$2pi$ -периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

f(x)=∑n=−∞∞f^neinx.{displaystyle f(x)=sum _{n=-infty }^{infty }{hat {f}}_{n},e^{inx}.}

f(x)=sum _{{n=-infty }}^{{infty }}{hat {f}}_{n},e^{{inx}}.

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой 2π{displaystyle 2pi }

$2pi$ -периодической функции имеем

f^(ω)=2π∑n=−∞∞f^nδ(ω−n).{displaystyle {hat {f}}(omega )={sqrt {2pi }}sum _{n=-infty }^{infty }{hat {f}}_{n}delta (omega -n).}

{hat {f}}(omega )={sqrt {2pi }}sum _{{n=-infty }}^{{infty }}{hat {f}}_{n}delta (omega -n).

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках, и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование

Основная статья: Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть x0,x1,…,xn−1{displaystyle x_{0},;x_{1},;ldots ,;x_{n-1}}

$x_{0},;x_{1},;ldots ,;x_{{n-1}}$ — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен f(t)=x0+x1t+x2t2+…+xn−1tn−1{displaystyle f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+ldots +x_{n-1}t^{n-1}} $f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+ldots +x_{{n-1}}t^{{n-1}}$ . Выберем какие-нибудь n{displaystyle n} $n$ точек на комплексной плоскости z0,z1,…,zn−1{displaystyle z_{0},;z_{1},;ldots ,;z_{n-1}} $z_{0},;z_{1},;ldots ,;z_{{n-1}}$ . Теперь многочлену f(t){displaystyle f(t)} $f(t)$ мы можем сопоставить новый набор из n{displaystyle n} $n$ чисел: f0:=f(z0),f1:=f(z1),…,fn−1:=f(zn−1){displaystyle f_{0}:=f(z_{0}),;f_{1}:=f(z_{1}),;ldots ,;f_{n-1}:=f(z_{n-1})} $f_{0}:=f(z_{0}),;f_{1}:=f(z_{1}),;ldots ,;f_{{n-1}}:=f(z_{{n-1}})$ . Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел f0,f1,…,fn−1{displaystyle f_{0},;f_{1},;ldots ,;f_{n-1}} $f_{0},;f_{1},;ldots ,;f_{{n-1}}$ существует единственный многочлен f(t){displaystyle f(t)} $f(t)$ степени не выше n−1{displaystyle n-1} $n-1$ с такими значениями в z0,…,zn−1{displaystyle z_{0},;ldots ,;z_{n-1}} $z_{0},;ldots ,;z_{{n-1}}$ соответственно (см. Интерполяция).

Набор {fk}{displaystyle {f_{k}}}

${f_{k}}$ и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора {xk}{displaystyle {x_{k}}} ${x_{k}}$ . В качестве точек zk{displaystyle z_{k}} $z_{k}$ обычно выбирают корни n{displaystyle n} $n$ -й степени из единицы:

zk=e2πikn{displaystyle z_{k}=e^{frac {2pi ik}{n}}}

z_{k}=e^{{frac {2pi ik}{n}}}

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины n{displaystyle n}

$n$ напрямую требует порядка n2{displaystyle n^{2}} $n^{2}$ операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за O(nlog⁡n){displaystyle O(nlog n)} $O(nlog n)$ операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка n{displaystyle n} $n$ операций.

Оконное преобразование

Основная статья: Оконное преобразование Фурье

F(t,ω)=∫−∞∞f(τ)W(τ−t)e−iωτdτ,{displaystyle F(t,;omega )=int limits _{-infty }^{infty }f(tau )W(tau -t)e^{-iomega tau },dtau ,}

F(t,;omega )=int limits _{{-infty }}^{infty }f(tau )W(tau -t)e^{{-iomega tau }},dtau ,

где F(t,ω){displaystyle F(t,;omega )}

$F(t,;omega )$ даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала f(t){displaystyle f(t)} $f(t)$ в окрестности времени t{displaystyle t} $t$ .

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию W{displaystyle W}

$W$ , эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов окон. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Keysight Technologies (США), Rohde & Schwarz (Германия), Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.

Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором xk{displaystyle x_{k}}

$x_k$ определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.

Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где ω{displaystyle omega }

$omega$ — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция f{displaystyle f}

$f$ является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции F{displaystyle F} $F$ представляет амплитуды соответствующих частот (ω{displaystyle omega } $omega$ ), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Важные формулы

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье. F(ω){displaystyle F(omega )}

$F(omega )$ и G(ω){displaystyle G(omega )} $G(omega )$ обозначают Фурье компоненты функций f(t){displaystyle f(t)} $f(t)$ и g(t){displaystyle g(t)} $g(t)$ , соответственно. f{displaystyle f} $f$ и g{displaystyle g} $g$ должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Соотношения в этой таблице и в особенности множители, такие как 2π{displaystyle {sqrt {2pi }}}

${sqrt {2pi }}$ , зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

	Функция	Образ	Примечания
1	af(t)+bg(t){displaystyle af(t)+bg(t)} ${displaystyle af(t)+bg(t)}$	aF(ω)+bG(ω){displaystyle aF(omega )+bG(omega )} ${displaystyle aF(omega )+bG(omega )}$	Линейность
2	f(t−a){displaystyle f(t-a)} ${displaystyle f(t-a)}$	e−iωaF(ω){displaystyle e^{-iomega a}F(omega )} ${displaystyle e^{-iomega a}F(omega )}$	Запаздывание
3	eiatf(t){displaystyle e^{iat}f(t)} ${displaystyle e^{iat}f(t)}$	F(ω−a){displaystyle F(omega -a)} ${displaystyle F(omega -a)}$	Частотный сдвиг
4	f(at){displaystyle f(at)} $f(at)$	\|a\|−1F(ωa){displaystyle \|a\|^{-1}Fleft({frac {omega }{a}}right)} $\|a\|^{{-1}}Fleft({frac {omega }{a}}right)$	Если a{displaystyle a} $a$ большое, то f(at){displaystyle f(at)} $f(at)$ сосредоточена около 0 и \|a\|−1F(ωa){displaystyle \|a\|^{-1}Fleft({frac {omega }{a}}right)} $\|a\|^{{-1}}Fleft({frac {omega }{a}}right)$ становится плоским
5	dnf(t)dtn{displaystyle {frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}} ${displaystyle {frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}}$	(iω)nF(ω){displaystyle (iomega )^{n}F(omega )} ${displaystyle (iomega )^{n}F(omega )}$	Свойство преобразования Фурье от n{displaystyle n} $n$ -й производной
6	tnf(t){displaystyle t^{n}f(t)} ${displaystyle t^{n}f(t)}$	indnF(ω)dωn{displaystyle i^{n}{frac {d^{n}F(omega )}{domega ^{n}}}} ${displaystyle i^{n}{frac {d^{n}F(omega )}{domega ^{n}}}}$	Это обращение правила 5
7	(f∗g)(t){displaystyle (fg)(t)} ${displaystyle (fg)(t)}$	2πF(ω)G(ω){displaystyle {sqrt {2pi }}F(omega )G(omega )} ${displaystyle {sqrt {2pi }}F(omega )G(omega )}$	Запись f∗g{displaystyle fg} $fg$ означает свёртку f{displaystyle f} $f$ и g{displaystyle g} $g$ . Это правило — теорема о свёртке
8	f(t)g(t){displaystyle f(t)g(t)} ${displaystyle f(t)g(t)}$	(F∗G)(ω)2π{displaystyle {frac {(FG)(omega )}{sqrt {2pi }}}} ${displaystyle {frac {(FG)(omega )}{sqrt {2pi }}}}$	Это обращение 7
9	δ(t){displaystyle delta (t)} $delta (t)$	12π{displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}} ${frac {1}{{sqrt {2pi }}}}$	δ(t){displaystyle delta (t)} $delta (t)$ означает дельта-функцию Дирака
10	1{displaystyle 1} $1$	2πδ(ω){displaystyle {sqrt {2pi }}delta (omega )} ${displaystyle {sqrt {2pi }}delta (omega )}$	Обращение 9.
11	tn{displaystyle t^{n}} $t^{n}$	in2πδ(n)(ω){displaystyle i^{n}{sqrt {2pi }}delta ^{(n)}(omega )} ${displaystyle i^{n}{sqrt {2pi }}delta ^{(n)}(omega )}$	Здесь, n{displaystyle n} $n$ — натуральное число, δ(n)(ω){displaystyle delta ^{(n)}(omega )} $delta ^{{(n)}}(omega )$ — n{displaystyle n} $n$ -я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12	eiat{displaystyle e^{iat}} ${displaystyle e^{iat}}$	2πδ(ω−a){displaystyle {sqrt {2pi }}delta (omega -a)} ${displaystyle {sqrt {2pi }}delta (omega -a)}$	Следствие 3 и 10
13	cos⁡(at){displaystyle cos(at)} ${displaystyle cos(at)}$	2πδ(ω−a)+δ(ω+a)2{displaystyle {sqrt {2pi }}{frac {delta (omega -a)+delta (omega +a)}{2}}} ${displaystyle {sqrt {2pi }}{frac {delta (omega -a)+delta (omega +a)}{2}}}$	Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера cos⁡(at)=12(eiat+e−iat){displaystyle cos(at)={frac {1}{2}}left(e^{iat}+e^{-iat}right)} ${displaystyle cos(at)={frac {1}{2}}left(e^{iat}+e^{-iat}right)}$
14	sin⁡(at){displaystyle sin(at)} ${displaystyle sin(at)}$	2πδ(ω−a)−δ(ω+a)2i{displaystyle {sqrt {2pi }}{frac {delta (omega -a)-delta (omega +a)}{2i}}} ${displaystyle {sqrt {2pi }}{frac {delta (omega -a)-delta (omega +a)}{2i}}}$	Также из 1 и 12
15	exp⁡(−at2){displaystyle exp(-at^{2})} ${displaystyle exp(-at^{2})}$	12aexp⁡(−ω24a){displaystyle {frac {1}{sqrt {2a}}}exp left({frac {-omega ^{2}}{4a}}right)} ${displaystyle {frac {1}{sqrt {2a}}}exp left({frac {-omega ^{2}}{4a}}right)}$	Показывает, что функция Гаусса exp⁡(−t2/2){displaystyle exp(-t^{2}/2)} $exp(-t^{2}/2)$ совпадает со своим изображением
16	W2πsinc(Wt){displaystyle W{sqrt {frac {2}{pi }}}mathrm {sinc} (Wt)} ${displaystyle W{sqrt {frac {2}{pi }}}mathrm {sinc} (Wt)}$	rect(ω2W){displaystyle mathrm {rect} left({frac {omega }{2W}}right)} ${displaystyle mathrm {rect} left({frac {omega }{2W}}right)}$	Прямоугольная функция — идеальный фильтр нижних частот и функция sinc(x) — её временной эквивалент
17	1t{displaystyle {frac {1}{t}}} ${displaystyle {frac {1}{t}}}$	−iπ2sgn⁡(ω){displaystyle -i{sqrt {frac {pi }{2}}}operatorname {sgn}(omega )} ${displaystyle -i{sqrt {frac {pi }{2}}}operatorname {sgn}(omega )}$	Здесь sgn⁡(ω){displaystyle operatorname {sgn}(omega )} ${displaystyle operatorname {sgn}(omega )}$ — функция sgn. Это правило согласуется с 6 и 10
18	1tn{displaystyle {frac {1}{t^{n}}}} ${displaystyle {frac {1}{t^{n}}}}$	−iπ2(−iω)n−1(n−1)!sgn⁡(ω){displaystyle -i{sqrt {frac {pi }{2}}}{frac {(-iomega )^{n-1}}{(n-1)!}}operatorname {sgn}(omega )} ${displaystyle -i{sqrt {frac {pi }{2}}}{frac {(-iomega )^{n-1}}{(n-1)!}}operatorname {sgn}(omega )}$	Обобщение 17
19	sgn⁡(t){displaystyle operatorname {sgn}(t)} ${displaystyle operatorname {sgn}(t)}$	2π(iω)−1{displaystyle {sqrt {frac {2}{pi }}}(iomega )^{-1}} ${displaystyle {sqrt {frac {2}{pi }}}(iomega )^{-1}}$	Обращение 17
20	2πθ(t){displaystyle {sqrt {2pi }}theta (t)} ${displaystyle {sqrt {2pi }}theta (t)}$	1iω+πδ(ω){displaystyle {frac {1}{iomega }}+pi delta (omega )} ${displaystyle {frac {1}{iomega }}+pi delta (omega )}$	Здесь θ(t){displaystyle theta (t)} $theta (t)$ — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

См. также

Литература

Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. — М.: СОЛОН-Пресс, 2005. — С. 576. — ISBN 5-980-03206-1.
Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-983-40121-1.

Ссылки

Интегральные преобразования EqWorld: Мир математических уравнений
Online Computation of the transform or inverse transform
«Преобразование Фурье» — перевод статьи An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained (англ.)
Рональд Н. Брейсуэлл. Преобразование Фурье. Scientific American. В мире науки. № 8, 1989, стр. 48–56

Для улучшения этой статьи желательно:

Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Проставить сноски, внести более точные указания на источники.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.