Анализ функций многих переменных

Разделы:

Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является расширением исчисления функций одной переменной в исчисление функций нескольких переменных: функции, которые дифференцируются и интегрируются, затрагивая несколько переменных, а не одну.

Содержание

1 Типичные операции
2 Применение
3 См. также
4 Литература
5 Ссылки

Типичные операции

Пределы и непрерывность

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция

f(x,y)=x2yx4+y2{displaystyle f(x,y)={frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}

f(x,y) = frac{x^2y}{x^4+y^2}

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы y = x2, предел = 0.5. С тех пор как разные пути к одной и той же точке дают различные значения предела, предела не существует.

Функция f(x1,…,xn){displaystyle ~f(x_{1},ldots ,x_{n})}

$~f(x_1,ldots,x_n)$ имеет пределом число A при стремлении переменных x1,…,xn{displaystyle ~x_{1},ldots ,x_{n}} $~x_1,ldots,x_n$ , соответственно, к a1,…,an{displaystyle ~a_{1},ldots ,a_{n}} $~a_1,ldots,a_n$ , если для каждого число ε>0{displaystyle ~varepsilon >0} $~varepsilon >0$ найдется такое числа δ>0{displaystyle ~delta >0} $~delta > 0$ , что |f(x1,…,xn)−A)|<ε{displaystyle ~|f(x_{1},ldots ,x_{n})-A)|<varepsilon } $~|f(x_1,ldots,x_n)-A)|<varepsilon$ , то есть |x1−a1|<δ,…,|xn−an|<δ{displaystyle ~|x_{1}-a_{1}|<delta ,ldots ,|x_{n}-a_{n}|<delta } $~|x_1-a_1|<delta,ldots,|x_n-a_n|<delta$ .

Функция u=f(M){displaystyle ~u=f(M)}

$~u=f(M)$ называется непрерывной в точке A{displaystyle A} $A$ , если предельное значение этой функции в точке A{displaystyle A} $A$ существует и равно частному значению f(A){displaystyle ~f(A)} $~f(A)$ .

Функция u=f(M){displaystyle ~u=f(M)}

$~u=f(M)$ называется непрерывной на множестве M{displaystyle {M}} ${M}$ , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Нахождение частной производной

Основная статья: Частная производная

Частная производная обобщает понятие производной в более высоких измерениях. Частная производная многомерной функции – это производная относительно одной переменной, все другие переменные считаются константами.

Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.

Пусть в некоторой области D{displaystyle D}

$D$ имеем функцию u=f(x,y,z){displaystyle ~u=f(x,y,z)} ${displaystyle ~u=f(x,y,z)}$ ; возьмем точку M0(x0,y0,z0){displaystyle ~M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})} ${displaystyle ~M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ в этой области. Если мы припишем y{displaystyle y} $y$ и z{displaystyle z} $z$ постоянные значения y0{displaystyle y_{0}} $y_0$ и z0{displaystyle z_{0}} $z_{0}$ и будем менять x{displaystyle x} $x$ , то u{displaystyle u} $u$ будет функцией от одной переменной x{displaystyle x} $x$ (в окрестности x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ ); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке x=x0{displaystyle ~x=x_{0}} ${displaystyle ~x=x_{0}}$ . Придадим этому значению x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ приращение Δx{displaystyle Delta x} $Delta x$ , тогда функция получит приращение Δxu=Δxf(x0,y0,z0)=f(x0+Δx,y0,z0)−f(x0,y0,z0){displaystyle ~Delta _{x}u=Delta _{x}f(x_{0},y_{0},z_{0})=f(x_{0}+Delta x,y_{0},z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})} ${displaystyle ~Delta _{x}u=Delta _{x}f(x_{0},y_{0},z_{0})=f(x_{0}+Delta x,y_{0},z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}$ , которое можно было бы назвать ее частным приращением (по x{displaystyle x} $x$ ), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел limΔx→0ΔxuΔx=limΔx→0f(x0+Δx,y0,z0)−f(x0,y0,z0)Δx{displaystyle ~lim _{Delta xto 0}{frac {Delta _{x}u}{Delta x}}=lim _{Delta xto 0}{frac {f(x_{0}+Delta x,y_{0},z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{Delta x}}} ${displaystyle ~lim _{Delta xto 0}{frac {Delta _{x}u}{Delta x}}=lim _{Delta xto 0}{frac {f(x_{0}+Delta x,y_{0},z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{Delta x}}}$ .Эта производная называется частной производной функции f(x,y,z){displaystyle ~f(x,y,z)} ${displaystyle ~f(x,y,z)}$ по x{displaystyle x} $x$ в точке (x0,y0,z0){displaystyle ~(x_{0},y_{0},z_{0})} $~(x_{0},y_{0},z_{0})$ .

Аналогично определяются и частные производные функции f(x,y,z){displaystyle ~f(x,y,z)}

${displaystyle ~f(x,y,z)}$ по y{displaystyle y} $y$ и z{displaystyle z} $z$ в точке (x0,y0,z0){displaystyle ~(x_{0},y_{0},z_{0})} $~(x_{0},y_{0},z_{0})$ .Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной.

Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла (∇{displaystyle nabla }

$nabla$ ) используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции(отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

Кратное интегрирование

Основная статья: Кратный интеграл

Интеграл ∫⋯∫⏟Xf(x1,…,xn)dx1…dxn{displaystyle ~underbrace {int {cdots }int } _{X}f(x_{1},ldots ,x_{n})dx_{1}ldots dx_{n}}

$~underbrace{int{cdots}int}_{X}f(x_1,ldots,x_n)dx_1 ldots dx_n$ называется кратным интегралом, если n>1{displaystyle ~n>1} $~n>1$ . В случае n=2{displaystyle ~n=2} $~n=2$ он называется двойным, в случае n=3{displaystyle ~n=3} $~n=3$ — тройным интегралом, а в случае произвольного n∈N{displaystyle ~nin N} $~nin N$ — n-кратным. Его обозначают также ∫Xf(x)dx{displaystyle ~int limits _{X}f(x)dx} $~intlimits_{X}f(x)dx$ . При такой записи под символом x{displaystyle x} $x$ следует понимать точку x=(x1,x2,…,xn){displaystyle ~x=(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})} $~x = (x_1,x_2,ldots,x_n)$ пространства En{displaystyle ~E^{n}} $~E^n$ , под символом dx{displaystyle dx} $dx$ — произведение dx=dx1dx2…dxn{displaystyle ~dx=dx_{1}dx_{2}ldots dx_{n}} $~dx=dx_1 dx_2 ldots dx_n$ , а под знаком ∫D{displaystyle ~int limits _{D}} $~intlimits_{D}$ — n-кратный интеграл по n-мерной области D{displaystyle D} $D$ .

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла к функциям многих переменных. Двойные и тройные интегралы могут использоваться для вычисления площадей и объемов областей в плоскости и в пространстве. Теорема Тонелли — Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл.

Поверхностный интеграл и криволинейный интеграл используются для интегрирования по многообразиям, таким как поверхности и кривые.

Фундаментальная теорема анализа функций многих переменных

В математическом анализе функций одной переменной фундаментальная теорема устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в анализе функций многих переменных воплощена в известных теоремах интегрирования векторного анализа:

При более углубленном изучении многомерного математического анализа видно, что эти четыре теоремы — частные случаи более общей теоремы, теоремы Стокса об интегрировании дифференциальных форм.

Применение

Методы многомерного математического анализа используются для изучения многих объектов в физическом мире.

	Область	Применимые методы
Кривые	f:R→Rn{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} ^{n}} $f: mathbb{R} to mathbb{R}^n$	Длины кривых, Криволинейные интегралы, и кривизна.
Поверхности	f:R2→Rn{displaystyle f:mathbb {R} ^{2}to mathbb {R} ^{n}} $f: mathbb{R}^2 to mathbb{R}^n$	Площади поверхностей, поверхностные интегралы, поток через поверхности, и кривизна.
Скалярные поля	f:Rn→R{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} } $f: mathbb{R}^n to mathbb{R}$	Максимумы и минимумы, множители Лагранжа, производные по направлениям.
Векторные поля	f:Rn→Rn{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}} $f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}$	Любая из операций векторного анализа включая градиент, дивергенцию, и ротор.

Многомерный математический анализ может быть применен для анализа детерминированных систем, которые имеют многочисленные степени свободы. Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, и многомерный математический анализ обеспечивает средства для того, чтобы охарактеризовать системную динамику.

Многомерный математический анализ используется во многих областях естествознания, социологии и инженерии для моделирования и изучения высоко-размерных систем, которые показывают детерминированное поведение. Недетерминированные, или стохастические(случайные) системы могут быть изучены, используя другой вид математики, такой как стохастическое исчисление.

См. также

Литература

Фихтенгольц, Г. М. Глава пятая. Функции нескольких переменных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Т. 1.
Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).
Кудрявцев, Л. Д. Главы 4, 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление функций многих переменных // Краткий курс математического анализа. — Т. 2.
Выгодский М.Я. Дифференциирование и интегрирований функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике.