Предел функции

Разделы:

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

x{displaystyle x} $x$	sin⁡xx{displaystyle {frac {sin x}{x}}} $frac{sin x}{x}$
1	0.841471
0.1	0.998334
0.01	0.999983

Хотя функция sin⁡xx{displaystyle {frac {sin x}{x}}} $frac{sin x}{x}$ в нуле не определена, когда x{displaystyle x} $x$ приближается к нулю, то её значение становится сколь угодно близко к 1 в окрестности нуля, иными словами — предел функции в нуле равен 1.

У этого термина существуют и другие значения, см. Предел. График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L{displaystyle L} $L$ .

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т. н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений существует окрестность этого значения такая, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Содержание

1 Определения
2 Вариации и обобщения
3 Обозначения
4 Свойства пределов числовых функций
5 Примеры
6 См. также
7 Примечания
8 Литература
9 Ссылки

Определения

Рассмотрим функцию f(x){displaystyle fleft(xright)}

$f left( x right)$ , определённую на некотором множестве X{displaystyle X} $X$ , которое имеет предельную точку x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение A{displaystyle A}

$A$ называется пределом (предельным значением) функции f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , если для любой последовательности точек {xn}n=1∞{displaystyle left{x_{n}right}_{n=1}^{infty }} $left{ x_n right}_{n=1}^{infty}$ , сходящейся к x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , но не содержащей x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ ), последовательность значений функции {f(xn)}n=1∞{displaystyle left{fleft(x_{n}right)right}_{n=1}^{infty }} $left{ f left( x_n right) right}_{n=1}^{infty}$ сходится к A{displaystyle A} $A$ [1].

Предел функции по Коши

Значение A{displaystyle A}

$A$ называется пределом (предельным значением) функции f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , если для любого наперёд взятого положительного числа ε{displaystyle varepsilon } $varepsilon$ найдётся отвечающее ему положительное число δ=δ(ε){displaystyle delta =delta left(varepsilon right)} $delta = delta left( varepsilon right)$ такое, что для всех аргументов x{displaystyle x} $x$ , удовлетворяющих условию 0<|x−x0|<δ{displaystyle 0<left|x-x_{0}right|<delta } $0 < left| x - x_0 right| < delta$ , выполняется неравенство: |f(x)−A|<ε{displaystyle left|fleft(xright)-Aright|<varepsilon } $left| f left( x right) - A right| < varepsilon$ [1].

limx→x0f(x)=A⇔∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 : ∀x 0<|x−x0|<δ⇒|f(x)−A|<ε{displaystyle lim _{xto x_{0}}fleft(xright)=ALeftrightarrow forall varepsilon >0~exists delta =delta left(varepsilon right)>0~colon ~forall x~0<left|x-x_{0}right|<delta Rightarrow left|fleft(xright)-Aright|<varepsilon }

{displaystyle lim _{xto x_{0}}fleft(xright)=ALeftrightarrow forall varepsilon >0~exists delta =delta left(varepsilon right)>0~colon ~forall x~0<left|x-x_{0}right|<delta Rightarrow left|fleft(xright)-Aright|<varepsilon }

Окрестностное определение предела по Коши

Значение A{displaystyle A}

$A$ называется пределом (предельным значением) функции f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , если для любой окрестности O(A){displaystyle Oleft(Aright)} $O left( A right)$ точки A{displaystyle A} $A$ существует проколотая окрестность O˙⁡(x0){displaystyle mathop {dot {O}} left(x_{0}right)} ${displaystyle mathop {dot {O}} left(x_{0}right)}$ точки x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ такая, что образ этой окрестности f(O˙(x0)){displaystyle fleft({mathop {dot {O}} }left(x_{0}right)right)} ${displaystyle fleft({mathop {dot {O}} }left(x_{0}right)right)}$ лежит в O(A){displaystyle Oleft(Aright)} $O left( A right)$ . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

limx→x0f(x)=A⇔∀O(A) ∃O˙(x0):f(O˙(x0))⊂O(A){displaystyle lim _{xto x_{0}}fleft(xright)=ALeftrightarrow forall Oleft(Aright)~exists {mathop {dot {O}} }left(x_{0}right)colon fleft({mathop {dot {O}} }left(x_{0}right)right)subset Oleft(Aright)}

{displaystyle lim _{xto x_{0}}fleft(xright)=ALeftrightarrow forall Oleft(Aright)~exists {mathop {dot {O}} }left(x_{0}right)colon fleft({mathop {dot {O}} }left(x_{0}right)right)subset Oleft(Aright)}

Предел по базе множеств

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).

Пусть B{displaystyle {mathcal {B}}}

${mathcal {B}}$ — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

число A{displaystyle A} $A$ называется пределом функции по (при) базе B{displaystyle {mathcal {B}}} ${mathcal {B}}$ , если для всякого ε>0{displaystyle varepsilon >0} $varepsilon >0$ найдётся такой элемент B{displaystyle B} $B$ базы, что для любого x∈B{displaystyle xin B} $xin B$ выполнено |f(x)−A|<ε{displaystyle |f(x)-A|<varepsilon } $|f(x)-A|<varepsilon$ .

Если a{displaystyle a}

$a$ — предельная точка множества E{displaystyle E} $E$ , то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве E{displaystyle E} $E$ не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке a{displaystyle a} $a$ . Эта база имеет специальное обозначение «x→a,x∈E{displaystyle xto a,xin E} $xto a, xin E$ » и читается «при x{displaystyle x} $x$ , стремящемся к a{displaystyle a} $a$ по множеству E{displaystyle E} $E$ ». Если область определения функции f{displaystyle f} $f$ совпадает с R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто «x→a{displaystyle xto a} $xto a$ » и читается «при x{displaystyle x} $x$ , стремящемся к a{displaystyle a} $a$ ».

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

Ea−=E∩Ra−{displaystyle E_{a}^{-}=Ecap mathbb {R} _{a}^{-}} $E_{a}^{-}=Ecapmathbb{R}_{a}^{-}$ , где Ra−={x∈R:x<a}{displaystyle mathbb {R} _{a}^{-}={xin mathbb {R} colon x<a}} $mathbb{R}_{a}^{-}={xinmathbb{R}colon x<a}$ ;
Ea+=E∩Ra+{displaystyle E_{a}^{+}=Ecap mathbb {R} _{a}^{+}} $E_{a}^{+}=Ecapmathbb{R}_{a}^{+}$ , где Ra+={x∈R:x>a}{displaystyle mathbb {R} _{a}^{+}={xin mathbb {R} colon x>a}} $mathbb{R}_{a}^{+}={xinmathbb{R}colon x>a}$ .

Соответственно этому вводятся две базы:

«x→a,x∈Ea−{displaystyle xto a,xin E_{a}^{-}} $xto a, xin E_{a}^{-}$ », которая коротко обозначается в виде «x→a−,x∈E{displaystyle xto a-,xin E} $xto a-, xin E$ » или ещё проще «x→a−{displaystyle xto a-} $xto a-$ »;
«x→a,x∈Ea+{displaystyle xto a,xin E_{a}^{+}} $xto a, xin E_{a}^{+}$ », которая коротко обозначается в виде «x→a+,x∈E{displaystyle xto a+,xin E} $xto a+, xin E$ » или ещё проще «x→a+{displaystyle xto a+} $xto a+$ ».

Эквивалентность определений

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.[1] Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.

Вариации и обобщения

Односторонний предел

Основная статья: Односторонний предел

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Предел вдоль фильтра

Основная статья: Предел вдоль фильтра

Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Предел на бесконечности по Гейне

Пусть числовая функция f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ задана на множестве X{displaystyle X} $X$ , в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного δ{displaystyle delta } $delta$ в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка [−δ,+δ]{displaystyle left[-delta ,+delta right]} $left[ -delta, +delta right]$ . В этом случае число A{displaystyle A} $A$ называется пределом функции f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ на бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности точек {xn}n=1∞{displaystyle left{x_{n}right}_{n=1}^{infty }} $left{ x_n right}_{n = 1}^{infty}$ соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках {f(xn)}n=1∞{displaystyle left{fleft(x_{n}right)right}_{n=1}^{infty }} $left{ f left( x_n right) right}_{n = 1}^{infty}$ сходится к числу A{displaystyle A} $A$ .

limx→∞f(x)=A⇔∀{xn}n=1∞:limn→∞xn=∞⇒limn→∞f(xn)=A{displaystyle lim _{xto infty }fleft(xright)=ALeftrightarrow forall left{x_{n}right}_{n=1}^{infty }colon lim _{nto infty }x_{n}=infty Rightarrow lim _{nto infty }fleft(x_{n}right)=A} $lim_{x to infty} f left( x right) = A Leftrightarrow forall left{ x_n right}_{n = 1}^{infty} colon lim_{n to infty} x_n = infty Rightarrow lim_{n to infty} f left( x_n right) = A$
Пусть числовая функция f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ задана на множестве X{displaystyle X} $X$ , в котором для любого числа δ{displaystyle delta } $delta$ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число A{displaystyle A} $A$ называется пределом функции f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ на плюс бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности положительных точек {xn}n=1∞{displaystyle left{x_{n}right}_{n=1}^{infty }} $left{ x_n right}_{n = 1}^{infty}$ соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках {f(xn)}n=1∞{displaystyle left{fleft(x_{n}right)right}_{n=1}^{infty }} $left{ f left( x_n right) right}_{n = 1}^{infty}$ сходится к числу A{displaystyle A} $A$ .

limx→+∞f(x)=A⇔∀{xn}n=1∞:(∀k∈N:xk>0)∧limn→∞xn=∞⇒limn→∞f(xn)=A{displaystyle lim _{xto +infty }fleft(xright)=ALeftrightarrow forall left{x_{n}right}_{n=1}^{infty }colon left(forall kin mathbb {N} colon x_{k}>0right)land lim _{nto infty }x_{n}=infty Rightarrow lim _{nto infty }fleft(x_{n}right)=A} $lim_{x to +infty} f left( x right) = A Leftrightarrow forall left{ x_n right}_{n = 1}^{infty} colon left( forall k in N colon x_k > 0 right) land lim_{n to infty} x_n = infty Rightarrow lim_{n to infty} f left( x_n right) = A$
Пусть числовая функция f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ задана на множестве X{displaystyle X} $X$ , в котором для любого числа δ{displaystyle delta } $delta$ найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число A{displaystyle A} $A$ называется пределом функции f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ на минус бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек {xn}n=1∞{displaystyle left{x_{n}right}_{n=1}^{infty }} $left{ x_n right}_{n = 1}^{infty}$ соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках {f(xn)}n=1∞{displaystyle left{fleft(x_{n}right)right}_{n=1}^{infty }} $left{ f left( x_n right) right}_{n = 1}^{infty}$ сходится к числу A{displaystyle A} $A$ .

limx→−∞f(x)=A⇔∀{xn}n=1∞:(∀k∈N:xk<0)∧limn→∞xn=∞⇒limn→∞f(xn)=A{displaystyle lim _{xto -infty }fleft(xright)=ALeftrightarrow forall left{x_{n}right}_{n=1}^{infty }colon left(forall kin mathbb {N} colon x_{k}<0right)land lim _{nto infty }x_{n}=infty Rightarrow lim _{nto infty }fleft(x_{n}right)=A} $lim_{x to -infty} f left( x right) = A Leftrightarrow forall left{ x_n right}_{n = 1}^{infty} colon left( forall k in N colon x_k < 0 right) land lim_{n to infty} x_n = infty Rightarrow lim_{n to infty} f left( x_n right) = A$

Предел на бесконечности по Коши

Пусть числовая функция f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ задана на множестве X{displaystyle X} $X$ , в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного δ{displaystyle delta } $delta$ в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка [−δ,+δ]{displaystyle left[-delta ,+delta right]} $left[ -delta, +delta right]$ . В этом случае число A{displaystyle A} $A$ называется пределом функции f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ на бесконечности, если для произвольного положительного числа ε{displaystyle varepsilon } $varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число δ{displaystyle delta } $delta$ такое, что для всех точек, превышающих δ{displaystyle delta } $delta$ по абсолютному значению, справедливо неравенство |f(x)−A|<ε{displaystyle left|fleft(xright)-Aright|<varepsilon } $left| f left( x right) - A right| < varepsilon$ .

limx→∞f(x)=A⇔∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 ∀x∈X:|x|>δ⇒|f(x)−A|<ε{displaystyle lim _{xto infty }fleft(xright)=ALeftrightarrow forall varepsilon >0~exists delta =delta left(varepsilon right)>0~forall xin Xcolon left|xright|>delta Rightarrow left|fleft(xright)-Aright|<varepsilon } $lim_{x to infty} f left( x right) = A Leftrightarrow forall varepsilon > 0 ~ exists delta = delta left( varepsilon right) > 0 ~ forall x in X colon left| x right| > delta Rightarrow left| f left( x right) - A right| < varepsilon$
Пусть числовая функция f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ задана на множестве X{displaystyle X} $X$ , в котором для любого числа δ{displaystyle delta } $delta$ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число A{displaystyle A} $A$ называется пределом функции f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа ε{displaystyle varepsilon } $varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число δ{displaystyle delta } $delta$ такое, что для всех точек, лежащих правее δ{displaystyle delta } $delta$ , справедливо неравенство |f(x)−A|<ε{displaystyle left|fleft(xright)-Aright|<varepsilon } $left| f left( x right) - A right| < varepsilon$ .

limx→+∞f(x)=A⇔∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 ∀x∈X:x>δ⇒|f(x)−A|<ε{displaystyle lim _{xto +infty }fleft(xright)=ALeftrightarrow forall varepsilon >0~exists delta =delta left(varepsilon right)>0~forall xin Xcolon x>delta Rightarrow left|fleft(xright)-Aright|<varepsilon } $lim_{x to +infty} f left( x right) = A Leftrightarrow forall varepsilon > 0 ~ exists delta = delta left( varepsilon right) > 0 ~ forall x in X colon x > delta Rightarrow left| f left( x right) - A right| < varepsilon$
Пусть числовая функция f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ задана на множестве X{displaystyle X} $X$ , в котором для любого числа δ{displaystyle delta } $delta$ найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число A{displaystyle A} $A$ называется пределом функции f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа ε{displaystyle varepsilon } $varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число δ{displaystyle delta } $delta$ такое, что для всех точек, лежащих левее (−δ){displaystyle left(-delta right)} ${displaystyle left(-delta right)}$ , справедливо неравенство |f(x)−A|<ε{displaystyle left|fleft(xright)-Aright|<varepsilon } $left| f left( x right) - A right| < varepsilon$ .

limx→−∞f(x)=A⇔∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 ∀x∈X:x<−δ⇒|f(x)−A|<ε{displaystyle lim _{xto -infty }fleft(xright)=ALeftrightarrow forall varepsilon >0~exists delta =delta left(varepsilon right)>0~forall xin Xcolon x<-delta Rightarrow left|fleft(xright)-Aright|<varepsilon } $lim_{x to -infty} f left( x right) = A Leftrightarrow forall varepsilon > 0 ~ exists delta = delta left( varepsilon right) > 0 ~ forall x in X colon x < -delta Rightarrow left| f left( x right) - A right| < varepsilon$

Окрестностное определение по Коши

Пусть функция f(x){displaystyle fleft(xright)}

$f left( x right)$ определена на множестве X{displaystyle X} $X$ , имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка A{displaystyle A} $A$ называется пределом функции f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся достаточно большая окрестность нуля, что значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки A{displaystyle A} $A$ .

limx→∞f(x)=A⇔∀O(A) ∃O(0):f(X∖O(0))⊂O(A){displaystyle lim _{xto infty }fleft(xright)=ALeftrightarrow forall Oleft(Aright)~exists Oleft(0right)colon fleft(Xsetminus Oleft(0right)right)subset Oleft(Aright)}

lim_{x to infty} f left( x right) = A Leftrightarrow forall O left( A right) ~ exists O left( 0 right) colon f left( X setminus O left( 0 right) right) subset O left( A right)

Частичный предел

Для функции, как и для последовательности, можно ввести понятие частичного предела. Число l{displaystyle l}

$l$ называется частичным пределом функции f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , если для какой-либо последовательности xn→x0,xn≠x0{displaystyle x_{n}to x_{0},x_{n}neq x_{0}} ${displaystyle x_{n}to x_{0},x_{n}neq x_{0}}$ справедливо равенство limn→∞f(xn)=l{displaystyle lim _{nto infty }f(x_{n})=l} ${displaystyle lim _{nto infty }f(x_{n})=l}$ . Наибольший из частичных пределов называется верхним пределом функции f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ и обозначается lim¯xn→x0⁡f(x){displaystyle varlimsup _{x_{n}to x_{0}}f(x)} ${displaystyle varlimsup _{x_{n}to x_{0}}f(x)}$ , наименьший из частичных пределов называется нижним пределом функции f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ и обозначается lim_xn→x0⁡f(x){displaystyle varliminf _{x_{n}to x_{0}}f(x)} ${displaystyle varliminf _{x_{n}to x_{0}}f(x)}$ . Для существования предела функции в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ необходимо и достаточно, чтобы lim_xn→x0⁡f(x)=lim¯xn→x0⁡f(x){displaystyle varliminf _{x_{n}to x_{0}}f(x)=varlimsup _{x_{n}to x_{0}}f(x)} ${displaystyle varliminf _{x_{n}to x_{0}}f(x)=varlimsup _{x_{n}to x_{0}}f(x)}$ [2].

Обозначения

Если в точке x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ у функции f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ существует предел, равный A{displaystyle A} $A$ , то говорят, что функция f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ стремится к A{displaystyle A} $A$ при стремлении x{displaystyle x} $x$ к x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , и пишут одним из следующих способов:

limx→x0f(x)=A{displaystyle lim _{xto x_{0}}fleft(xright)=A} $lim_{x to x_0} f left( x right) = A$ , или
f(x)→x→x0A{displaystyle fleft(xright){xrightarrow[{xto x_{0}}]{}}A} $f left( x right) xrightarrow[x to x_0]{} A$ .

Если у функции f(x){displaystyle fleft(xright)}

$f left( x right)$ существует предел на бесконечности, равный A{displaystyle A} $A$ , то говорят, что функция f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ стремится к A{displaystyle A} $A$ при стремлении x{displaystyle x} $x$ к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

limx→∞f(x)=A{displaystyle lim _{xto infty }fleft(xright)=A} $lim_{x to infty} f left( x right) = A$ , или
f(x)→x→∞A{displaystyle fleft(xright){xrightarrow[{xto infty }]{}}A} $f left( x right) xrightarrow[x to infty]{} A$ .

Если у функции f(x){displaystyle fleft(xright)}

$f left( x right)$ существует предел на плюс бесконечности, равный A{displaystyle A} $A$ , то говорят, что функция f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ стремится к A{displaystyle A} $A$ при стремлении x{displaystyle x} $x$ к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

limx→+∞f(x)=A{displaystyle lim _{xto +infty }fleft(xright)=A} $lim_{x to +infty} f left( x right) = A$ , или
f(x)→x→+∞A{displaystyle fleft(xright){xrightarrow[{xto +infty }]{}}A} $f left( x right) xrightarrow[x to +infty]{} A$ .

Если у функции f(x){displaystyle fleft(xright)}

$f left( x right)$ существует предел на минус бесконечности, равный A{displaystyle A} $A$ , то говорят, что функция f(x){displaystyle fleft(xright)} $f left( x right)$ стремится к A{displaystyle A} $A$ при стремлении x{displaystyle x} $x$ к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

limx→−∞f(x)=A{displaystyle lim _{xto -infty }fleft(xright)=A} $lim_{x to -infty} f left( x right) = A$ , или
f(x)→x→−∞A{displaystyle fleft(xright){xrightarrow[{xto -infty }]{}}A} $f left( x right) xrightarrow[x to -infty]{} A$ .

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны числовые функции f,g:M⊂R→R,{displaystyle f,g:Msubset mathbb {R} to mathbb {R} ,}

$f,g:Msubset R to R,$ и a∈M′.{displaystyle ain M’.} $a in M'.$ .

Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

(limx→af(x)=A1)∧(limx→af(x)=A2)⇒(A1=A2){displaystyle left(lim _{xto a}fleft(xright)=A_{1}right)land left(lim _{xto a}fleft(xright)=A_{2}right)Rightarrow (A_{1}=A_{2})} $left( lim_{x to a} f left( x right) = A_1 right) land left( lim_{x to a} f left( x right) = A_2 right) Rightarrow (A_1 = A_2)$

Доказательство

◂{displaystyle blacktriangleleft }

$blacktriangleleft$ Доказательство методом от противного. Пусть существует limx→af(x)=A1{displaystyle lim limits _{xto a}f(x)=A_{1}} $limlimits_{x to a} f(x) = A_1$ и limx→af(x)=A2{displaystyle lim limits _{xto a}f(x)=A_{2}} $limlimits_{x to a} f(x) = A_2$ и A1≠A2{displaystyle A_{1}not =A_{2}} $A_1not= A_2$ .

Предположим A1<A2{displaystyle A_{1}<A_{2}}

$A_1<A_2$ . Возьмём ε=A2−A12>0{displaystyle varepsilon ={frac {A_{2}-A_{1}}{2}}>0} $varepsilon = frac{A_2-A_1}{2} >0$ и запишем определения:

limx→af(x)=A1⇒∃δ1=δ1(ε)>0∀x∈U˙δ1(a)∩M⇒|f(x)−A1|<ε{displaystyle lim limits _{xto a}f(x)=A_{1}Rightarrow exists delta _{1}=delta _{1}(varepsilon )>0;forall xin {dot {U}}_{delta _{1}}(a)cap MRightarrow |f(x)-A_{1}|<varepsilon }

$limlimits_{x to a} f(x) = A_1 Rightarrow exists delta_1 = delta_1(varepsilon) > 0; forall x in dot{U}_{delta_1}(a) cap M Rightarrow |f(x) - A_1| < varepsilon$ .

limx→af(x)=A2⇒∃δ2=δ2(ε)>0∀x∈U˙δ2(a)∩M⇒|f(x)−A2|<ε{displaystyle lim limits _{xto a}f(x)=A_{2}Rightarrow exists delta _{2}=delta _{2}(varepsilon )>0;forall xin {dot {U}}_{delta _{2}}(a)cap MRightarrow |f(x)-A_{2}|<varepsilon }

$limlimits_{x to a} f(x) = A_2 Rightarrow exists delta_2 = delta_2(varepsilon) > 0; forall x in dot{U}_{delta_2}(a) cap M Rightarrow |f(x) - A_2| < varepsilon$ .

Пускай δ=min(δ1,δ2)>0{displaystyle delta =min(delta _{1},delta _{2})>0}

$delta=min(delta_1,delta_2) >0$ , тогда ∀x∈U˙δ(a)∩M{displaystyle forall xin {dot {U}}_{delta }(a)cap M} $forall x in dot{U}_{delta}(a) cap M$ : |f(x)−A1|<ε{displaystyle |f(x)-A_{1}|<varepsilon } $|f(x) - A_1| < varepsilon$ и |f(x)−A2|<ε{displaystyle |f(x)-A_{2}|<varepsilon } $|f(x) - A_2| < varepsilon$

но тогда |A2−A1|=|(A2−f(x))+(f(x)−A1)|≤|A2−f(x)|+|f(x)−A1|<2ε=A2−A1{displaystyle |A_{2}-A_{1}|=|(A_{2}-f(x))+(f(x)-A_{1})|leq |A_{2}-f(x)|+|f(x)-A_{1}|<2varepsilon =A_{2}-A_{1}}

$|A_2 - A_1| = |(A_2 - f(x)) + (f(x) - A_1)| le |A_2 - f(x)| + |f(x) - A_1|< 2varepsilon = A_2 - A_1$

то есть |A2−A1|<A2−A1⇒{displaystyle |A_{2}-A_{1}|<A_{2}-A_{1}Rightarrow }

$|A_2 - A_1| < A_2 - A_1 Rightarrow$ Противоречие. Значит предел единственный. ▸{displaystyle blacktriangleright } $blacktriangleright$

Сходящаяся функция локально и никак иначе сохраняет знак. Более обще,

(limx→af(x)=A)∧(A>B)⇒(∃ϵ>0∀x∈U˙ϵ(a)∩Mf(x)>B),{displaystyle left(lim limits _{xto a}f(x)=Aright)wedge (A>B)Rightarrow left(exists epsilon >0;forall xin {dot {U}}_{epsilon }(a)cap Mquad f(x)>Bright),} $left( limlimits_{x to a} f(x) = A right) wedge ( A > B ) Rightarrow left( exists epsilon >0; forall x in dot{U}_{epsilon}(a) cap M quad f(x) > Bright),$

где U˙ϵ(a){displaystyle {dot {U}}_{epsilon }(a)}

dot{U}_{epsilon}(a)

— проколотая окрестность точки a{displaystyle a}

a

В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

(limx→af(x)=A>0)⇒(∃ε>0∀x∈U˙ϵ(a)∩Mf(x)>0);{displaystyle left(lim limits _{xto a}f(x)=A>0right)Rightarrow left(exists varepsilon >0;forall xin {dot {U}}_{epsilon }(a)cap Mquad f(x)>0right);} $left(lim limits _{{xto a}}f(x)=A>0right)Rightarrow left(exists varepsilon >0;forall xin {dot {U}}_{{epsilon }}(a)cap Mquad f(x)>0right);$

Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

(limx→af(x)=A)⇒(∃ε>0∃K>0∀x∈U˙ϵ(a)∩M|f(x)|⩽K);{displaystyle left(lim limits _{xto a}f(x)=Aright)Rightarrow left(exists varepsilon >0;exists K>0;forall xin {dot {U}}_{epsilon }(a)cap Mquad |f(x)|leqslant Kright);} $left(lim limits _{{xto a}}f(x)=Aright)Rightarrow left(exists varepsilon >0;exists K>0;forall xin {dot {U}}_{{epsilon }}(a)cap Mquad |f(x)|leqslant Kright);$

Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.

∃limx→af(x)=A≠0⇒∃δ>0: ∀x∈U˙δ(a)|f(x)|⩾A2{displaystyle exists lim limits _{xto a}f(x)=Aneq 0Rightarrow exists delta >0: forall xin {dot {U}}_{delta }(a)quad |f(x)|geqslant {frac {A}{2}}} $exists lim limits _{{xto a}}f(x)=Aneq 0Rightarrow exists delta >0: forall xin {dot {U}}_{{delta }}(a)quad |f(x)|geqslant {frac {A}{2}}$

Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

(∃ε>0∀x∈U˙ε(a)f(x)⩽g(x))∧(limx→af(x)=A)∧(limx→ag(x)=B)⇒(A⩽B);{displaystyle left(exists varepsilon >0;forall xin {dot {U}}_{varepsilon }(a)quad f(x)leqslant g(x)right)wedge left(lim limits _{xto a}f(x)=Aright)wedge left(lim limits _{xto a}g(x)=Bright)Rightarrow (Aleqslant B);} $left(exists varepsilon >0;forall xin {dot {U}}_{{varepsilon }}(a)quad f(x)leqslant g(x)right)wedge left(lim limits _{{xto a}}f(x)=Aright)wedge left(lim limits _{{xto a}}g(x)=Bright)Rightarrow (Aleqslant B);$

Правило двух милиционеров

Предел суммы равен сумме пределов:

(limx→af(x)=A)∧(limx→ag(x)=B)⇒(limx→a[f(x)+g(x)]=A+B);{displaystyle left(lim limits _{xto a}f(x)=Aright)wedge left(lim limits _{xto a}g(x)=Bright)Rightarrow left(lim limits _{xto a}{bigl [}f(x)+g(x){bigr ]}=A+Bright);} $left( limlimits_{x to a} f(x) = A right) wedge left( limlimits_{x to a} g(x) = B right) Rightarrow left( limlimits_{x to a} bigl[f(x)+g(x)bigr] = A+B right);$

Предел разности равен разности пределов:

(limx→af(x)=A)∧(limx→ag(x)=B)⇒(limx→a[f(x)−g(x)]=A−B);{displaystyle left(lim limits _{xto a}f(x)=Aright)wedge left(lim limits _{xto a}g(x)=Bright)Rightarrow left(lim limits _{xto a}{bigl [}f(x)-g(x){bigr ]}=A-Bright);} $left( limlimits_{x to a} f(x) = A right) wedge left( limlimits_{x to a} g(x) = B right) Rightarrow left( limlimits_{x to a} bigl[f(x)-g(x)bigr] = A-B right);$

Предел произведения равен произведению пределов:

(limx→af(x)=A)∧(limx→ag(x)=B)⇒(limx→a[f(x)⋅g(x)]=A⋅B);{displaystyle left(lim limits _{xto a}f(x)=Aright)wedge left(lim limits _{xto a}g(x)=Bright)Rightarrow left(lim limits _{xto a}{bigl [}f(x)cdot g(x){bigr ]}=Acdot Bright);} $left( limlimits_{x to a} f(x) = A right) wedge left( limlimits_{x to a} g(x) = B right) Rightarrow left( limlimits_{x to a} bigl[f(x)cdot g(x)bigr] = Acdot B right);$

Предел частного равен частному пределов.

(limx→af(x)=A)∧(limx→ag(x)=B≠0)⇒(limx→a[f(x)g(x)]=AB).{displaystyle left(lim limits _{xto a}f(x)=Aright)wedge left(lim limits _{xto a}g(x)=Bneq 0right)Rightarrow left(lim limits _{xto a}left[{frac {f(x)}{g(x)}}right]={frac {A}{B}}right).} $left( limlimits_{x to a} f(x) = A right) wedge left( limlimits_{x to a} g(x) = B neq 0 right) Rightarrow left( limlimits_{x to a} left[frac{f(x)}{g(x)}right] = frac{A}{B}right).$

Примеры

Функция, возвращающая константу, имеет предел в любой точке, в которой определена. Он равен этой константе.

∀x0∈R:limx→x0c=c{displaystyle forall x_{0}in mathbb {R} colon lim _{xto x_{0}}c=c} $forall x_0 in R colon lim_{x to x_0} c = c$
Тождественная функция в любой точке, в которой определена, имеет предел равный этой точке.

∀x0∈R:limx→x0x=x0{displaystyle forall x_{0}in mathbb {R} colon lim _{xto x_{0}}x=x_{0}} $forall x_0 in R colon lim_{x to x_0} x = x_0$
Функция Дирихле не имеет предела ни в какой точке числовой прямой.

∀x0∈R ∄limx→x0D(x){displaystyle forall x_{0}in mathbb {R} ~not exists lim _{xto x_{0}}Dleft(xright)} $forall x_0 in R ~ notexists lim_{x to x_0} D left( x right)$
Функция 1/x{displaystyle 1/x} $1/x$ имеет предел на бесконечности, равный нулю.

limx→+∞1x=limx→−∞1x=limx→∞1x=0{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {1}{x}}=lim _{xto -infty }{frac {1}{x}}=lim _{xto infty }{frac {1}{x}}=0} $lim_{x to +infty} frac{1}{x} = lim_{x to -infty} frac{1}{x} = lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
Функция арктангенс имеет на плюс и минус бесконечности пределы плюс и минус пи пополам соответственно и, следовательно, не имеет предела на бесконечности.

limx→+∞arctg⁡ x=+π2{displaystyle lim _{xto +infty }operatorname {arctg} ~x=+{frac {pi }{2}}} $lim_{x to +infty} operatorname{arctg} ~ x = +frac{pi}{2}$

limx→−∞arctg⁡ x=−π2{displaystyle lim _{xto -infty }operatorname {arctg} ~x=-{frac {pi }{2}}} $lim_{x to -infty} operatorname{arctg} ~ x = -frac{pi}{2}$

∄limx→∞arctg⁡ x{displaystyle not exists lim _{xto infty }operatorname {arctg} ~x} $not exists lim_{x to infty} operatorname{arctg} ~ x$

См. также

Примечания

↑ 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
↑ Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — С. 47.

Литература

Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
Зорич В. А. Математический анализ. — М..

Ссылки

Предел функции в точке. Теоретическая справка