Обратные тригонометрические функции

Разделы:

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

арксинус (обозначение: arcsin⁡x;{displaystyle arcsin x;} ${displaystyle arcsin x;}$ угол, синус которого равен x{displaystyle x} $x$ )
арккосинус (обозначение: arccos⁡x;{displaystyle arccos x;} ${displaystyle arccos x;}$ угол, косинус которого равен x{displaystyle x} $x$ и т. д.)
арктангенс (обозначение: arctg⁡x{displaystyle operatorname {arctg} x} ${displaystyle operatorname {arctg} x}$ ; в иностранной литературе arctan⁡x{displaystyle arctan x} ${displaystyle arctan x}$ )
арккотангенс (обозначение: arcctg⁡x{displaystyle operatorname {arcctg} x} ${displaystyle operatorname {arcctg} x}$ ; в иностранной литературе arccot⁡x{displaystyle operatorname {arccot} x} ${displaystyle operatorname {arccot} x}$ или arccotan⁡x{displaystyle operatorname {arccotan} x} ${displaystyle operatorname {arccotan} x}$ )
арксеканс (обозначение: arcsec⁡x{displaystyle operatorname {arcsec} x} ${displaystyle operatorname {arcsec} x}$ )
арккосеканс (обозначение: arccosec⁡x{displaystyle operatorname {arccosec} x} ${displaystyle operatorname {arccosec} x}$ ; в иностранной литературе arccsc⁡x{displaystyle operatorname {arccsc} x} ${displaystyle operatorname {arccsc} x}$ )

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика Карла Шерфера (нем. Karl Scherffer; 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: sin−1,1sin,{displaystyle sin ^{-1},{frac {1}{sin }},} ${displaystyle sin ^{-1},{frac {1}{sin }},}$ но они не прижились[1].Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin−1, cos−1 для арксинуса, арккосинуса и т. п.[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, arcsin⁡1/2{displaystyle arcsin 1/2} $arcsin 1/2$ означает множество углов (π6,5π6,13π6,17π6… (30∘,150∘,390∘,510∘…)){displaystyle left({frac {pi }{6}},{frac {5pi }{6}},{frac {13pi }{6}},{frac {17pi }{6}}dots ~(30^{circ },150^{circ },390^{circ },510^{circ }dots )right)} $left ( frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}, frac{13 pi}{6}, frac{17 pi}{6} dots ~ (30^circ, 150^circ, 390^circ, 510^circ dots) right )$ , синус которых равен 1/2{displaystyle 1/2} $1/2$ . Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии −1⩽α⩽1{displaystyle -1leqslant alpha leqslant 1} $-1leqslant alpha leqslant 1$ все решения уравнения sin⁡x=α{displaystyle sin x=alpha } $sin x=alpha$ можно представить в виде x=(−1)narcsin⁡α+πn, n=0,±1,±2,… .{displaystyle x=(-1)^{n}arcsin alpha +pi n,~n=0,pm 1,pm 2,dots ~.} $x=(-1)^{n}arcsin alpha +pi n,~n=0,pm 1,pm 2,dots ~.$ [3]

Содержание

1 Основное соотношение
2 Функция arcsin
- 2.1 Свойства функции arcsin
- 2.2 Получение функции arcsin
3 Функция arccos
- 3.1 Свойства функции arccos
- 3.2 Получение функции arccos
4 Функция arctg
- 4.1 Свойства функции arctg
- 4.2 Получение функции arctg
5 Функция arcctg
- 5.1 Свойства функции arcctg
- 5.2 Получение функции arcctg
6 Функция arcsec
- 6.1 Свойства функции arcsec
7 Функция arccosec
- 7.1 Свойства функции arccosec
8 Разложение в ряды
9 Производные от обратных тригонометрических функций
10 Интегралы от обратных тригонометрических функций
- 10.1 Неопределённые интегралы
11 Использование в геометрии
12 Связь с натуральным логарифмом
13 Примечания
14 Ссылки
15 См. также

Основное соотношение

arcsin⁡x+arccos⁡x=π2{displaystyle arcsin x+arccos x={frac {pi }{2}}}

arcsin x+arccos x={frac {pi }{2}}

arctgx+arcctgx=π2{displaystyle operatorname {arctg} ,x+operatorname {arcctg} ,x={frac {pi }{2}}}

operatorname {arctg},x+operatorname {arcctg},x={frac {pi }{2}}

Функция arcsin

График функции y=arcsin⁡x{displaystyle y=arcsin x} $y=arcsin x$

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого sin⁡y=x,−π2⩽y⩽π2,|x|⩽1.{displaystyle sin y=x,quad -{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},quad |x|leqslant 1.}

${displaystyle sin y=x,quad -{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},quad |x|leqslant 1.}$

Функция y=arcsin⁡x{displaystyle y=arcsin x}

$y=arcsin x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

sin⁡(arcsin⁡x)=x{displaystyle sin(arcsin x)=xqquad } $sin(arcsin x)=xqquad$ при −1⩽x⩽1,{displaystyle -1leqslant xleqslant 1,} $-1leqslant xleqslant 1,$
arcsin⁡(sin⁡y)=y{displaystyle arcsin(sin y)=yqquad } $arcsin(sin y)=yqquad$ при −π2⩽y⩽π2,{displaystyle -{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},} $-{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},$
D(arcsin⁡x)=[−1;1]{displaystyle D(arcsin x)=[-1;1]qquad } $D(arcsin x)=[-1;1]qquad$ (область определения),
E(arcsin⁡x)=[−π2;π2]{displaystyle E(arcsin x)=left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]qquad } $E(arcsin x)=left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]qquad$ (область значений).

Свойства функции arcsin

arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x{displaystyle arcsin(-x)=-arcsin xqquad } $arcsin(-x)=-arcsin xqquad$ (функция является нечётной).
arcsin⁡x>0{displaystyle arcsin x>0} ${displaystyle arcsin x>0}$ при 0<x⩽1{displaystyle 0<xleqslant 1} $0<xleqslant 1$ .
arcsin⁡x=0{displaystyle arcsin x=0} ${displaystyle arcsin x=0}$ при x=0.{displaystyle x=0.} $x=0.$
arcsin⁡x<0{displaystyle arcsin x<0} ${displaystyle arcsin x<0}$ при −1⩽x<0.{displaystyle -1leqslant x<0.} $-1leqslant x<0.$
arcsin⁡x={arccos⁡1−x2,0⩽x⩽1−arccos⁡1−x2,−1⩽x<0{displaystyle arcsin x=left{{begin{matrix}arccos {sqrt {1-x^{2}}},qquad 0leqslant xleqslant 1-arccos {sqrt {1-x^{2}}},qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.} $arcsin x=left{{begin{matrix}arccos {sqrt {1-x^{2}}},qquad 0leqslant xleqslant 1-arccos {sqrt {1-x^{2}}},qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.$
arcsin⁡x=arctg⁡x1−x2{displaystyle arcsin x=operatorname {arctg} {frac {x}{sqrt {1-x^{2}}}}} $arcsin x=operatorname {arctg}{frac {x}{{sqrt {1-x^{2}}}}}$
arcsin⁡x={arcctg1−x2x,0<x⩽1arcctg1−x2x−π,−1⩽x<0{displaystyle arcsin x=left{{begin{matrix}operatorname {arcctg} ,{frac {sqrt {1-x^{2}}}{x}},qquad 0<xleqslant 1operatorname {arcctg} ,{frac {sqrt {1-x^{2}}}{x}}-pi ,qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.} $arcsin x=left{{begin{matrix}operatorname {arcctg},{frac {{sqrt {1-x^{2}}}}{x}},qquad 0<xleqslant 1operatorname {arcctg},{frac {{sqrt {1-x^{2}}}}{x}}-pi ,qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.$

Получение функции arcsin

Дана функция y=sin⁡x.{displaystyle y=sin x.}

$y=sin x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=arcsin⁡x{displaystyle y=arcsin x} $y=arcsin x$ функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — [−π2;π2]{displaystyle left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]} $left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]$ . Так как для функции y=sin⁡x{displaystyle y=sin x} $y=sin x$ на интервале [−π2;π2]{displaystyle left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]} $left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]$ каждое значение функции достигается при единственном значении аргумента, то на этом отрезке существует обратная функция y=arcsin⁡x,{displaystyle y=arcsin x,} $y=arcsin x,$ график которой симметричен графику функции y=sin⁡x{displaystyle y=sin x} $y=sin x$ на отрезке [−π2;π2]{displaystyle left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]} $left[-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right]$ относительно прямой y=x.{displaystyle y=x.} $y=x.$ (графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов координатной плоскости Oxy{displaystyle Oxy} $Oxy$ )

Функция arccos

График функции y=arccos⁡x{displaystyle y=arccos x} $y=arccos x$

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого cos⁡y=x,0⩽y⩽π,|x|⩽1.{displaystyle cos y=x,qquad 0leqslant yleqslant pi ,|x|leqslant 1.}

${displaystyle cos y=x,qquad 0leqslant yleqslant pi ,|x|leqslant 1.}$

Функция y=arccos⁡x{displaystyle y=arccos x}

$y=arccos x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

cos⁡(arccos⁡x)=x{displaystyle cos(arccos x)=x} $cos(arccos x)=x$ при −1⩽x⩽1,{displaystyle -1leqslant xleqslant 1,} $-1leqslant xleqslant 1,$
arccos⁡(cos⁡y)=y{displaystyle arccos(cos y)=y} $arccos(cos y)=y$ при 0⩽y⩽π.{displaystyle 0leqslant yleqslant pi .} $0leqslant yleqslant pi .$
D(arccos⁡x)=[−1;1]{displaystyle D(arccos x)=[-1;1]} ${displaystyle D(arccos x)=[-1;1]}$ (область определения),
E(arccos⁡x)=[0;π]{displaystyle E(arccos x)=[0;pi ]} ${displaystyle E(arccos x)=[0;pi ]}$ (область значений).

Свойства функции arccos

arccos⁡(−x)=π−arccos⁡x.{displaystyle arccos(-x)=pi -arccos x.} ${displaystyle arccos(-x)=pi -arccos x.}$ Функция центрально-симметрична относительно точки (0;π2),{displaystyle left(0;{frac {pi }{2}}right),} ${displaystyle left(0;{frac {pi }{2}}right),}$ является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
arccos⁡x>0{displaystyle arccos x>0} ${displaystyle arccos x>0}$ при −1⩽x<1.{displaystyle -1leqslant x<1.} $-1leqslant x<1.$
arccos⁡x=0{displaystyle arccos x=0} ${displaystyle arccos x=0}$ при x=1.{displaystyle x=1.} ${displaystyle x=1.}$
arccos⁡x=π2−arcsin⁡x.{displaystyle arccos x={frac {pi }{2}}-arcsin x.} $arccos x={frac {pi }{2}}-arcsin x.$
arccos⁡x={arcsin⁡1−x2,0⩽x⩽1π−arcsin⁡1−x2,−1⩽x<0{displaystyle arccos x=left{{begin{matrix}arcsin {sqrt {1-x^{2}}},qquad 0leqslant xleqslant 1pi -arcsin {sqrt {1-x^{2}}},qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.} $arccos x=left{{begin{matrix}arcsin {sqrt {1-x^{2}}},qquad 0leqslant xleqslant 1pi -arcsin {sqrt {1-x^{2}}},qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.$
arccos⁡x={arctg1−x2x,0<x⩽1π+arctg1−x2x,−1⩽x<0{displaystyle arccos x=left{{begin{matrix}operatorname {arctg} ,{frac {sqrt {1-x^{2}}}{x}},qquad 0<xleqslant 1pi +operatorname {arctg} ,{frac {sqrt {1-x^{2}}}{x}},qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.} $arccos x=left{{begin{matrix}operatorname {arctg},{frac {{sqrt {1-x^{2}}}}{x}},qquad 0<xleqslant 1pi +operatorname {arctg},{frac {{sqrt {1-x^{2}}}}{x}},qquad -1leqslant x<0end{matrix}}right.$
arccos⁡x=2arcsin⁡1−x2{displaystyle arccos x=2arcsin {sqrt {frac {1-x}{2}}}} $arccos x=2arcsin {sqrt {frac {1-x}{2}}}$
arccos⁡x=2arccos⁡1+x2{displaystyle arccos x=2arccos {sqrt {frac {1+x}{2}}}} $arccos x=2arccos {sqrt {frac {1+x}{2}}}$
arccos⁡x=2arctg⁡1−x1+x{displaystyle arccos x=2operatorname {arctg} {sqrt {frac {1-x}{1+x}}}} $arccos x=2operatorname {arctg}{sqrt {frac {1-x}{1+x}}}$

Получение функции arccos

Дана функция y=cos⁡x.{displaystyle y=cos x.}

$y=cos x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=arccos⁡x{displaystyle y=arccos x} $y=arccos x$ функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — [0;π].{displaystyle [0;pi ].} $[0;pi ].$ На этом отрезке y=cos⁡x{displaystyle y=cos x} $y=cos x$ строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0;π]{displaystyle [0;pi ]} $[0;pi ]$ существует обратная функция y=arccos⁡x,{displaystyle y=arccos x,} $y=arccos x,$ график которой симметричен графику y=cos⁡x{displaystyle y=cos x} $y=cos x$ на отрезке [0;π]{displaystyle [0;pi ]} $[0;pi ]$ относительно прямой y=x.{displaystyle y=x.} $y=x.$

Функция arctg

График функции y=arctgx{displaystyle y=operatorname {arctg} ,x} $y=operatorname {arctg},x$

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла y,{displaystyle y,}

${displaystyle y,}$ выраженное в радианах, для которого tg⁡y=x,−π2<y<π2.{displaystyle operatorname {tg} y=x,quad -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}.} ${displaystyle operatorname {tg} y=x,quad -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}.}$

Функция y=arctg⁡x{displaystyle y=operatorname {arctg} x}

$y=operatorname {arctg}x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

tg(arctgx)=x{displaystyle operatorname {tg} ,(operatorname {arctg} ,x)=x} $operatorname {tg},(operatorname {arctg},x)=x$ при x∈R,{displaystyle xin mathbb {R} ,} $xin {mathbb R},$
arctg(tgy)=y{displaystyle operatorname {arctg} ,(operatorname {tg} ,y)=y} $operatorname {arctg},(operatorname {tg},y)=y$ при −π2<y<π2,{displaystyle -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}},} $-{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}},$
D(arctgx)=(−∞;∞){displaystyle D(operatorname {arctg} ,x)=(-infty ;infty )} ${displaystyle D(operatorname {arctg} ,x)=(-infty ;infty )}$ (область определения),
E(arctgx)=(−π2;π2){displaystyle E(operatorname {arctg} ,x)=left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right)} $E(operatorname {arctg},x)=left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right)$ (область значений).

Свойства функции arctg

arctg⁡(−x)=−arctg⁡x{displaystyle operatorname {arctg} (-x)=-operatorname {arctg} xqquad } $operatorname {arctg}(-x)=-operatorname {arctg}xqquad$ (функция является нечётной).
arctg⁡x=arcsin⁡x1+x2.{displaystyle operatorname {arctg} x=arcsin {frac {x}{sqrt {1+x^{2}}}}.} ${displaystyle operatorname {arctg} x=arcsin {frac {x}{sqrt {1+x^{2}}}}.}$
arctg⁡x=arccos⁡11+x2{displaystyle operatorname {arctg} x=arccos {frac {1}{sqrt {1+x^{2}}}}} $operatorname {arctg}x=arccos {frac {1}{{sqrt {1+x^{2}}}}}$ , при x > 0.
arctg⁡x=arcctg⁡1x.{displaystyle operatorname {arctg} x=operatorname {arcctg} {frac {1}{x}}.} ${displaystyle operatorname {arctg} x=operatorname {arcctg} {frac {1}{x}}.}$
arctg⁡x=−iarth⁡ix{displaystyle operatorname {arctg} x=-ioperatorname {arth} {ix}} ${displaystyle operatorname {arctg} x=-ioperatorname {arth} {ix}}$ , где arth{displaystyle operatorname {arth} } ${displaystyle operatorname {arth} }$ — гиперболический арктангенс.
arth⁡x=iarctg⁡ix.{displaystyle operatorname {arth} x=ioperatorname {arctg} {ix}.} ${displaystyle operatorname {arth} x=ioperatorname {arctg} {ix}.}$

Получение функции arctg

Дана функция y=tgx.{displaystyle y=operatorname {tg} ,x.}

$y=operatorname {tg},x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=arctgx{displaystyle y=operatorname {arctg} ,x} $y=operatorname {arctg},x$ функцией не является (так как нарушается требование однозначности). Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — (−π2;π2).{displaystyle left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right).} $left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right).$ На этом отрезке y=tgx{displaystyle y=operatorname {tg} ,x} $y=operatorname {tg},x$ строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (−π2;π2){displaystyle left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right)} $left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right)$ существует обратная y=arctgx{displaystyle y=operatorname {arctg} ,x} $y=operatorname {arctg},x$ , график которой симметричен графику y=tgx{displaystyle y=operatorname {tg} ,x} $y=operatorname {tg},x$ на отрезке (−π2;π2){displaystyle left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right)} $left(-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}}right)$ относительно прямой y=x.{displaystyle y=x.} $y=x.$

Функция arcctg

График функции y=arcctg⁡x{displaystyle y=operatorname {arcctg} x} ${displaystyle y=operatorname {arcctg} x}$

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого ctgy=x,0<y<π.{displaystyle operatorname {ctg} ,y=x,quad 0<y<pi .}

${displaystyle operatorname {ctg} ,y=x,quad 0<y<pi .}$

Функция y=arcctgx{displaystyle y=operatorname {arcctg} ,x}

$y=operatorname {arcctg},x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

ctg⁡(arcctgx)=x{displaystyle operatorname {ctg} (operatorname {arcctg} ,x)=x} ${displaystyle operatorname {ctg} (operatorname {arcctg} ,x)=x}$ при x∈R,{displaystyle xin mathbb {R} ,} $xin {mathbb R},$
arcctg⁡(ctgy)=y{displaystyle operatorname {arcctg} (operatorname {ctg} ,y)=y} ${displaystyle operatorname {arcctg} (operatorname {ctg} ,y)=y}$ при 0<y<π,{displaystyle 0<y<pi ,} $0<y<pi ,$
D(arcctg⁡x)=(−∞;∞),{displaystyle D(operatorname {arcctg} x)=(-infty ;infty ),} ${displaystyle D(operatorname {arcctg} x)=(-infty ;infty ),}$
E(arcctg⁡x)=(0;π).{displaystyle E(operatorname {arcctg} x)=(0;pi ).} ${displaystyle E(operatorname {arcctg} x)=(0;pi ).}$

Свойства функции arcctg

arcctg⁡(−x)=π−arcctg⁡x.{displaystyle operatorname {arcctg} (-x)=pi -operatorname {arcctg} x.} ${displaystyle operatorname {arcctg} (-x)=pi -operatorname {arcctg} x.}$ График функции центрально-симметричен относительно точки (0;π2).{displaystyle left(0;{frac {pi }{2}}right).} $left(0;{frac {pi }{2}}right).$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
arcctg⁡x>0{displaystyle operatorname {arcctg} x>0} ${displaystyle operatorname {arcctg} x>0}$ при любых x.{displaystyle x.} $x.$
arcctg⁡x={arcsin⁡11+x2,x⩾0π−arcsin⁡11+x2,x<0{displaystyle operatorname {arcctg} x=left{{begin{matrix}arcsin {frac {1}{sqrt {1+x^{2}}}},qquad xgeqslant 0pi -arcsin {frac {1}{sqrt {1+x^{2}}}},qquad x<0end{matrix}}right.} ${displaystyle operatorname {arcctg} x=left{{begin{matrix}arcsin {frac {1}{sqrt {1+x^{2}}}},qquad xgeqslant 0pi -arcsin {frac {1}{sqrt {1+x^{2}}}},qquad x<0end{matrix}}right.}$
arcctg⁡x=π/2−arctg⁡x.{displaystyle operatorname {arcctg} x=pi /2-operatorname {arctg} x.} $operatorname{arcctg} x = pi/2-operatorname{arctg} x.$

Получение функции arcctg

Дана функция y=ctgx{displaystyle y=operatorname {ctg} ,x}

$y=operatorname {ctg},x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=arcctgx{displaystyle y=operatorname {arcctg} ,x} $y=operatorname {arcctg},x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим промежуток, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз — (0;π){displaystyle (0;pi )} $(0;pi )$ . На этом отрезке y=ctgx{displaystyle y=operatorname {ctg} ,x} $y=operatorname {ctg},x$ строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (0;π){displaystyle (0;pi )} $(0;pi )$ существует обратная функция y=arcctgx{displaystyle y=operatorname {arcctg} ,x} $y=operatorname {arcctg},x$ , график которой симметричен графику y=ctgx{displaystyle y=operatorname {ctg} ,x} $y=operatorname {ctg},x$ на отрезке (0;π){displaystyle (0;pi )} $(0;pi )$ относительно прямой y=x.{displaystyle y=x.} $y=x.$

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, x→−x{displaystyle xrightarrow -x}

$xrightarrow -x$ ) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы arcctg⁡x=arctg⁡(−x)+π/2.{displaystyle operatorname {arcctg} x=operatorname {arctg} (-x)+pi /2.} $operatorname {arcctg}x=operatorname {arctg}(-x)+pi /2.$

Функция arcsec

График функции y=arcsec⁡x{displaystyle y=operatorname {arcsec} x} ${displaystyle y=operatorname {arcsec} x}$

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого sec⁡y=x,|x|⩾1,0⩽y⩽π.{displaystyle sec y=x,qquad |x|geqslant 1,quad 0leqslant yleqslant pi .}

${displaystyle sec y=x,qquad |x|geqslant 1,quad 0leqslant yleqslant pi .}$

Функция y=arcsec⁡x{displaystyle y=operatorname {arcsec} x}

${displaystyle y=operatorname {arcsec} x}$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

sec⁡(arcsec⁡x)=x{displaystyle sec(operatorname {arcsec} x)=x} ${displaystyle sec(operatorname {arcsec} x)=x}$ при |x|⩾1,{displaystyle |x|geqslant 1,} ${displaystyle |x|geqslant 1,}$
arcsec⁡(sec⁡y)=y{displaystyle operatorname {arcsec}(sec y)=y} ${displaystyle operatorname {arcsec}(sec y)=y}$ при 0⩽y⩽π.{displaystyle 0leqslant yleqslant pi .} $0leqslant yleqslant pi .$
D(arcsec⁡x)=(−∞;−1]∪[1,∞){displaystyle D(operatorname {arcsec} x)=(-infty ;-1]cup [1,infty )} ${displaystyle D(operatorname {arcsec} x)=(-infty ;-1]cup [1,infty )}$ (область определения),
E(arcsec⁡x)=[0;π2)∪(π2;π]{displaystyle E(operatorname {arcsec} x)=[0;{frac {pi }{2}})cup ({frac {pi }{2}};pi ]} ${displaystyle E(operatorname {arcsec} x)=[0;{frac {pi }{2}})cup ({frac {pi }{2}};pi ]}$ (область значений).

Свойства функции arcsec

arcsec⁡(−x)=π−arcsec⁡x.{displaystyle operatorname {arcsec}(-x)=pi -operatorname {arcsec} x.} ${displaystyle operatorname {arcsec}(-x)=pi -operatorname {arcsec} x.}$ График функции центрально-симметричен относительно точки (0;π2).{displaystyle left(0;{frac {pi }{2}}right).} $left(0;{frac {pi }{2}}right).$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
arcsec⁡x⩾0{displaystyle operatorname {arcsec} xgeqslant 0} ${displaystyle operatorname {arcsec} xgeqslant 0}$ при любых x.{displaystyle x.} $x.$
arcsec⁡x={arcsin⁡x2−1x,x⩾1π+arcsin⁡x2−1x,x⩽−1{displaystyle operatorname {arcsec} x=left{{begin{matrix}arcsin {frac {sqrt {x^{2}-1}}{x}},qquad xgeqslant 1pi +arcsin {frac {sqrt {x^{2}-1}}{x}},qquad xleqslant -1end{matrix}}right.} ${displaystyle operatorname {arcsec} x=left{{begin{matrix}arcsin {frac {sqrt {x^{2}-1}}{x}},qquad xgeqslant 1pi +arcsin {frac {sqrt {x^{2}-1}}{x}},qquad xleqslant -1end{matrix}}right.}$
arcsec⁡x=π2−arccosec⁡x.{displaystyle operatorname {arcsec} x={frac {pi }{2}}-operatorname {arccosec} x.} ${displaystyle operatorname {arcsec} x={frac {pi }{2}}-operatorname {arccosec} x.}$
arcsec⁡x=arccos⁡1x.{displaystyle operatorname {arcsec} x=arccos {frac {1}{x}}.} ${displaystyle operatorname {arcsec} x=arccos {frac {1}{x}}.}$

Функция arccosec

График функции y=arccosec⁡x{displaystyle y=operatorname {arccosec} x} ${displaystyle y=operatorname {arccosec} x}$

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого cosec⁡y=x,|x|⩾1,−π/2⩽y⩽π/2.{displaystyle operatorname {cosec} y=x,qquad |x|geqslant 1,quad -pi /2leqslant yleqslant pi /2.}

${displaystyle operatorname {cosec} y=x,qquad |x|geqslant 1,quad -pi /2leqslant yleqslant pi /2.}$

Функция y=arccosec⁡x{displaystyle y=operatorname {arccosec} x}

${displaystyle y=operatorname {arccosec} x}$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

cosec⁡(arccosec⁡x)=x{displaystyle operatorname {cosec} (operatorname {arccosec} x)=x} ${displaystyle operatorname {cosec} (operatorname {arccosec} x)=x}$ при |x|⩾1,{displaystyle |x|geqslant 1,} ${displaystyle |x|geqslant 1,}$
arccosec⁡(cosec⁡y)=y{displaystyle operatorname {arccosec} (operatorname {cosec} y)=y} ${displaystyle operatorname {arccosec} (operatorname {cosec} y)=y}$ при −π/2⩽y⩽π/2.{displaystyle -pi /2leqslant yleqslant pi /2.} ${displaystyle -pi /2leqslant yleqslant pi /2.}$
D(arccosec⁡x)=(−∞;−1]∪[1,∞){displaystyle D(operatorname {arccosec} x)=(-infty ;-1]cup [1,infty )} ${displaystyle D(operatorname {arccosec} x)=(-infty ;-1]cup [1,infty )}$ (область определения),
E(arccosec⁡x)=[−π2;0)∪(0;π2]{displaystyle E(operatorname {arccosec} x)=[-{frac {pi }{2}};0)cup (0;{frac {pi }{2}}]} ${displaystyle E(operatorname {arccosec} x)=[-{frac {pi }{2}};0)cup (0;{frac {pi }{2}}]}$ (область значений).

Свойства функции arccosec

arccosec⁡(−x)=−arccosec⁡x{displaystyle operatorname {arccosec} (-x)=-operatorname {arccosec} x} ${displaystyle operatorname {arccosec} (-x)=-operatorname {arccosec} x}$ (функция является нечётной).
arccosecx=arctg⁡sgn⁡xx2−1={arctg⁡1×2−1,x>1−arctg⁡1×2−1,x<−1{displaystyle operatorname {arccosec} ,x=operatorname {arctg} {frac {operatorname {sgn} x}{sqrt {x^{2}-1}}}=left{{begin{matrix}operatorname {arctg} {frac {1}{sqrt {x^{2}-1}}},qquad x>1-operatorname {arctg} {frac {1}{sqrt {x^{2}-1}}},qquad x<-1end{matrix}}right.} ${displaystyle operatorname {arccosec} ,x=operatorname {arctg} {frac {operatorname {sgn} x}{sqrt {x^{2}-1}}}=left{{begin{matrix}operatorname {arctg} {frac {1}{sqrt {x^{2}-1}}},qquad x>1-operatorname {arctg} {frac {1}{sqrt {x^{2}-1}}},qquad x<-1end{matrix}}right.}$
arccosec⁡x=π/2−arcsec⁡x.{displaystyle operatorname {arccosec} x=pi /2-operatorname {arcsec} x.} ${displaystyle operatorname {arccosec} x=pi /2-operatorname {arcsec} x.}$
arccosec⁡x=arcsin⁡1x.{displaystyle operatorname {arccosec} x=arcsin {frac {1}{x}}.} ${displaystyle operatorname {arccosec} x=arcsin {frac {1}{x}}.}$

Разложение в ряды

arcsin⁡x=x+x36+3×540+⋯ =∑n=0∞(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1{displaystyle displaystyle arcsin x=x+{frac {x^{3}}{6}}+{frac {3x^{5}}{40}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}} $displaystyle arcsin x=x+{frac {x^{3}}{6}}+{frac {3x^{5}}{40}}+cdots =sum _{{n=0}}^{{infty }}{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ для всех |x|≤1{displaystyle left|xright|leq 1} $left|xright|leq 1$ [4]
arccos⁡x=π2−arcsin⁡x=π2−∑n=0∞(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1{displaystyle displaystyle arccos x={pi over 2}-arcsin x={pi over 2}-sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}} $displaystyle arccos x={pi over 2}-arcsin x={pi over 2}-sum _{{n=0}}^{{infty }}{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ для всех |x|≤1{displaystyle left|xright|leq 1} $left|xright|leq 1$
arctg⁡ x=x−x33+x55−⋯ =∑n=1∞(−1)n−12n−1x2n−1{displaystyle displaystyle operatorname {arctg} x=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}-cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}} ${displaystyle displaystyle operatorname {arctg} x=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}-cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}}$ для всех |x|≤1{displaystyle left|xright|leq 1} ${displaystyle left|xright|leq 1}$

Производные от обратных тригонометрических функций

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

(arcsin⁡x)′=11−x2.{displaystyle (arcsin x)’={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}.}

$(arcsin x)'={frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}.$
(arccos⁡x)′=−11−x2.{displaystyle (arccos x)’=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}.} $(arccos x)' = -frac{1}{sqrt{1-x^2}}.$
(arctgx)′=1 1+x2.{displaystyle (operatorname {arctg} ,x)’={frac {1}{ 1+x^{2}}}.} $(operatorname {arctg},x)'={frac {1}{ 1+x^{2}}}.$
(arcctgx)′=−1 1+x2.{displaystyle (operatorname {arcctg} ,x)’=-{frac {1}{ 1+x^{2}}}.} $(operatorname {arcctg},x)'=-{frac {1}{ 1+x^{2}}}.$
(arcsec⁡x)′=1|x|x2−1.{displaystyle (operatorname {arcsec} x)’={1 over |x|{sqrt {x^{2}-1}}}.} ${displaystyle (operatorname {arcsec} x)'={1 over |x|{sqrt {x^{2}-1}}}.}$
(arccosecx)′=−1|x|x2−1.{displaystyle (operatorname {arccosec} ,x)’=-{1 over |x|{sqrt {x^{2}-1}}}.} ${displaystyle (operatorname {arccosec} ,x)'=-{1 over |x|{sqrt {x^{2}-1}}}.}$

Интегралы от обратных тригонометрических функций

Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных x:

∫arcsin⁡xdx=xarcsin⁡x+1−x2+C,∫arccos⁡xdx=xarccos⁡x−1−x2+C,∫arctgxdx=xarctgx−12ln⁡(1+x2)+C,∫arcctgxdx=xarcctgx+12ln⁡(1+x2)+C,∫arcsec⁡xdx=xarcsec⁡x−ln⁡(x(1+x2−1×2))+C,∫arccosecxdx=xarccosecx+ln⁡(x(1+x2−1×2))+C.{displaystyle {begin{aligned}int arcsin x,dx&{}=x,arcsin x+{sqrt {1-x^{2}}}+C,int arccos x,dx&{}=x,arccos x-{sqrt {1-x^{2}}}+C,int operatorname {arctg} ,x,dx&{}=x,operatorname {arctg} ,x-{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,int operatorname {arcctg} ,x,dx&{}=x,operatorname {arcctg} ,x+{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,int operatorname {arcsec} x,dx&{}=x,operatorname {arcsec} x-ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C,int operatorname {arccosec} ,x,dx&{}=x,operatorname {arccosec} ,x+ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C.end{aligned}}}

{begin{aligned}int arcsin x,dx&{}=x,arcsin x+{sqrt {1-x^{2}}}+C,int arccos x,dx&{}=x,arccos x-{sqrt {1-x^{2}}}+C,int operatorname {arctg},x,dx&{}=x,operatorname {arctg},x-{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,int operatorname {arcctg},x,dx&{}=x,operatorname {arcctg},x+{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C,int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(xleft(1+{sqrt {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C.end{aligned}}

Для действительных x ≥ 1:

∫arcsec⁡xdx=xarcsec⁡x−ln⁡(x+x2−1)+C,∫arccosecxdx=xarccosecx+ln⁡(x+x2−1)+C.{displaystyle {begin{aligned}int operatorname {arcsec} x,dx&{}=x,operatorname {arcsec} x-ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C,int operatorname {arccosec} ,x,dx&{}=x,operatorname {arccosec} ,x+ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C.end{aligned}}}

{begin{aligned}int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C,int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)+C.end{aligned}}

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии

Прямоугольный треугольник ABC

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол.Так, если катет длины a{displaystyle a}

$a$ является противолежащим для угла α{displaystyle alpha } $alpha$ , то

α=arcsin⁡(a/c)=arccos⁡(b/c)=arctg⁡(a/b)=arccosec⁡(c/a)=arcsec⁡(c/b)=arcctg⁡(b/a).{displaystyle alpha =arcsin(a/c)=arccos(b/c)=operatorname {arctg} (a/b)=operatorname {arccosec} (c/a)=operatorname {arcsec}(c/b)=operatorname {arcctg} (b/a).}

${displaystyle alpha =arcsin(a/c)=arccos(b/c)=operatorname {arctg} (a/b)=operatorname {arccosec} (c/a)=operatorname {arcsec}(c/b)=operatorname {arcctg} (b/a).}$

Связь с натуральным логарифмом

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

arcsin⁡z=−iln⁡(iz+1−z2)=π2−iln⁡(z+z2−1),{displaystyle {begin{aligned}arcsin z&{}=-iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})={frac {pi }{2}}-iln(z+{sqrt {z^{2}-1}}),end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}arcsin z&{}=-iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})={frac {pi }{2}}-iln(z+{sqrt {z^{2}-1}}),end{aligned}}}

arccos⁡z=π2+iln⁡(iz+1−z2),{displaystyle {begin{aligned}arccos z&{}={dfrac {pi }{2}}+iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}}),end{aligned}}}

{begin{aligned}arccos z&{}={dfrac {pi }{2}}+iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}}),end{aligned}}

arctgz=i2(ln⁡(1−iz)−ln⁡(1+iz)),{displaystyle {begin{aligned}operatorname {arctg} ,z&{}={dfrac {i}{2}}(ln(1-iz)-ln(1+iz)),end{aligned}}}

{begin{aligned}operatorname {arctg},z&{}={dfrac {i}{2}}(ln(1-iz)-ln(1+iz)),end{aligned}}

arcctgz=i2(ln⁡(z−iz)−ln⁡(z+iz)),{displaystyle {begin{aligned}operatorname {arcctg} ,z&{}={dfrac {i}{2}}left(ln left({dfrac {z-i}{z}}right)-ln left({dfrac {z+i}{z}}right)right),end{aligned}}}

{begin{aligned}operatorname {arcctg},z&{}={dfrac {i}{2}}left(ln left({dfrac {z-i}{z}}right)-ln left({dfrac {z+i}{z}}right)right),end{aligned}}

arcsec⁡z=arccos⁡(z−1)=π2+iln⁡(1−1z2+iz),{displaystyle {begin{aligned}operatorname {arcsec} z&{}=arccos left(z^{-1}right)={dfrac {pi }{2}}+iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right),end{aligned}}}

{begin{aligned}operatorname{arcsec} z&{}=arccos left(z^{{-1}}right)={dfrac {pi }{2}}+iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right),end{aligned}}

arccosecz=arcsin⁡(z−1)=−iln⁡(1−1z2+iz).{displaystyle {begin{aligned}operatorname {arccosec} ,z&{}=arcsin left(z^{-1}right)=-iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right).end{aligned}}}

{begin{aligned}operatorname {arccosec},z&{}=arcsin left(z^{{-1}}right)=-iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right).end{aligned}}

Примечания

↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ Здесь знак −1 определяет функцию x = f−1 (y), обратную функции y = f (x)
↑ Энциклопедический словарь, 1985, с. 220.
↑ При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой arcsin⁡x=arccos⁡1−x2,{displaystyle arcsin x=arccos {sqrt {1-x^{2}}},} $arcsin x = arccos sqrt{1-x^2},$ где arccos⁡x=π2−arcsin⁡x{displaystyle arccos x={pi over 2}-arcsin x} $arccos x = {piover 2}-arcsin x$

Ссылки

Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — Т. 3. — с. 1135.
Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220–221. — 352 с.
Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции