Локально тривиальное расслоение

• Разделы:
  • Связанные определения
  • Примеры
  • Свойства
  • Вариации и обобщения
  • Литература

Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Связанные определения
• 3 Примеры
• 4 Свойства
• 5 Вариации и обобщения
• 6 Литература

Определение

Локально тривиальным расслоение пространства E{displaystyle E}

  над базой B{displaystyle B}  со слоем F{displaystyle F}  называется непрерывное сюръективное отображение π:E→B{displaystyle pi :Eto B} , такое что для всякой точки базы x∈B{displaystyle xin B}  существует окрестность U{displaystyle U} , над которой расслоение устроено как тривиальное, то есть существует гомеоморфизм φ{displaystyle varphi }  открытого множества π−1(U){displaystyle pi ^{-1}(U)}  на пространство U×F{displaystyle Utimes F} , преобразующее отображение π{displaystyle pi }  в проекцию proj1:U×F→U{displaystyle mathrm {proj_{1}} :,Utimes Fto U} , так что коммутативна диаграмма

• Пространство E{displaystyle E}  называется (тотальным) пространством расслоения или расслоенным пространством,
• Пространство B{displaystyle B}  называется базой расслоения,
• Множество Fx=π−1{x}{displaystyle F_{x}=pi ^{-1}{x}}  называется слоем расслоения π{displaystyle pi }  над точкой x∈B{displaystyle xin B} . Каждый слой гомеоморфен пространству F{displaystyle F} , поэтому пространство F{displaystyle F}  называется общим (или модельным) слоем расслоения π{displaystyle pi } ,
• Гомеоморфизм φ{displaystyle varphi } , отождествляющий ограничение расслоения π{displaystyle pi }  над окрестностью точки x{displaystyle x}  с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения π{displaystyle pi }  над окрестностью точки x{displaystyle x} .
• Если {Uα}{displaystyle {U_{alpha }}}  — покрытие базы B{displaystyle B}  открытыми множествами, и φα:π−1(Uα)→Uα×F{displaystyle varphi _{alpha }:pi ^{-1}(U_{alpha })to U_{alpha }times F}  — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство {(Uα,φα)}{displaystyle {(U_{alpha },varphi _{alpha })}}  называется тривиализующим атласом расслоения π:E→B{displaystyle pi :Eto B} .
• Предположим локально тривиальное расслоение π:E→B{displaystyle pi :Eto B}  снабжено покрытием {Uα}{displaystyle {U_{alpha }}}  базы B{displaystyle B}  с выделенной тривиализацией ϕα:Uα×F→π−1(Uα){displaystyle phi _{alpha }:U_{alpha }times Fto pi ^{-1}(U_{alpha })}  и сужение любого отображения сличения ϕα−1∘ϕβ{displaystyle phi _{alpha }^{-1}circ phi _{beta }}  на слой принадлежит некоторой подгруппе G{displaystyle G}  группы всех гомеоморфизмов F{displaystyle F} . Тогда π{displaystyle pi }  называется локально тривиальным расслоением со структурной группой G{displaystyle G} .

Примеры

• Тривиальное расслоение, то есть проекция на фактор B×F→B{displaystyle Btimes Fto B} 
• Накрытие
• Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
• Лист Мёбиуса — пространство не тривиального расслоения над окружностью.
• Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство B{displaystyle B} ), общий слой (пространство F{displaystyle F} ) и отображения перехода (1-коцикл Чеха {uαβ:Uα→AutF}{displaystyle {u_{alpha beta }:U_{alpha }to mathrm {Aut} ,F}} ) для какого-нибудь открытого покрытия пространства B{displaystyle B} . Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида {(α,x,fα):x∈Uα,fα∈F}{displaystyle {(alpha ,x,f_{alpha }):,xin U_{alpha },,f_{alpha }in F}}  с правилом отождествления:

(α,x,fα)=(β,x,fβ){displaystyle (alpha ,x,f_{alpha })=(beta ,x,f_{beta })} , если fβ=uβαfα{displaystyle f_{beta }=u_{beta alpha }f_{alpha }} 

• Если на пространстве E{displaystyle E}  задано непрерывное свободное действие группы G{displaystyle G} , то естественное отображение E→E/G{displaystyle Eto E/G}  является локально тривиальным расслоением. Расслоения такого типа называются главными.

Свойства

• Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:

Если x∈Uα∩Uβ∩Uγ{displaystyle xin U_{alpha }cap U_{beta }cap U_{gamma }} , то uβα(x)=uβγ(x)∘uγα(x){displaystyle u_{beta alpha }(x)=u_{beta gamma }(x)circ u_{gamma alpha }(x)} .

• Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны, тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа AutF{displaystyle mathrm {Aut} ,F}  некоммутативна, одномерные когомологии H1(B,AutF){displaystyle H^{1}(B,mathrm {Aut} ,F)}  не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха C0(B,AutF){displaystyle C^{0}(B,mathrm {Aut} ,F)} :

  uαβ′(x)=fα(x)∘uαβ(x)∘fβ(x)−1{displaystyle u_{alpha beta }'(x)=f_{alpha }(x)circ u_{alpha beta }(x)circ f_{beta }(x)^{-1}} ,

где {fα:Uα→AutF}{displaystyle {f_{alpha }:U_{alpha }to mathrm {Aut} ,F}}  — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха {uαβ:Uα∩Uβ→AutF}{displaystyle {u_{alpha beta }:U_{alpha }cap U_{beta }to mathrm {Aut} ,F}} . 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)

• Для любого локально тривиального расслоения π:X→B{displaystyle pi :Xto B}  и непрерывного отображения f:B′→B{displaystyle f:B’to B}  индуцированное расслоение f∗(π){displaystyle f^{*}(pi )}  является локально тривиальным.

Вариации и обобщения

• Локально тривиальные расслоения являются частным случаем
  • расслоений Гуревича и
  • расслоений Серра.

• Если пространства E,B,F{displaystyle E,B,F}  — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение π{displaystyle pi }  — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким.
• Расслоение называется голоморфным, если пространства E,B,F{displaystyle E,B,F}  — комплексные многообразия, отображение π{displaystyle pi }  — голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.