Метрический тензор

Разделы:

Метри́ческий те́нзор или ме́трика — это симметричное тензорное поле ранга 2 на гладком многообразии, посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве, длины кривых, углы между кривыми и т. д.

В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой.

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырехмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

(Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу).

Содержание

1 Способы задания
2 Типы метрических тензоров
3 Связанные определения
4 Свойства
5 Метрика и объём
6 Примеры
7 Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством
8 Примечания
9 См. также
10 Ссылки

Способы задания

Координатное представление

Метрический тензор в локальных координатах x1,x2,…,xn{displaystyle x^{1},x^{2},dots ,x^{n}}

$x^{1},x^{2},dots ,x^{n}$ , обычно задаётся как ковариантное тензорное поле gij {displaystyle g_{ij} } $g_{ij}$ .Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей ∂i=∂∂xi{displaystyle partial _{i}={frac {partial }{partial x^{i}}}} $partial _{i}={frac {partial }{partial x^{i}}}$ :

⟨∂i,∂j⟩=gij.{displaystyle leftlangle partial _{i},partial _{j}rightrangle =g_{ij}.}

leftlangle partial _{i},partial _{j}rightrangle =g_{{ij}}.

А для любых векторных полей, скалярное произведение вычисляется по формуле

⟨v,w⟩=gijviwj{displaystyle leftlangle v,wrightrangle =g_{ij}v^{i}w^{j}}

leftlangle v,wrightrangle =g_{{ij}}v^{i}w^{j}

где v=vi∂i ,w=wi∂i{displaystyle v=v^{i}partial _{i} ,w=w^{i}partial _{i}}

$v=v^{i}partial _{i} ,w=w^{i}partial _{i}$ — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора gij{displaystyle g^{ij}}

$g^{ij}$ .

В случае невырожденных метрик

gijgjk=δki,{displaystyle g^{ij}g_{jk}=delta _{k}^{i},}

g^{{ij}}g_{{jk}}=delta _{k}^{i},

где δki{displaystyle delta _{k}^{i}}

$delta _{k}^{i}$ — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор gij{displaystyle g^{ij}}

$g^{ij}$ , но тензор gij{displaystyle g_{ij}} $g_{ij}$ для неё неопределён.

Представление в поле реперов

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля {ei(p)}{displaystyle ~{e_{i}(p)}}

$~{e_{i}(p)}$ и матрицы gik(p)=⟨ei(p),ek(p)⟩{displaystyle g_{ik}(p)=langle e_{i}(p),e_{k}(p)rangle } $g_{{ik}}(p)=langle e_{i}(p),e_{k}(p)rangle$ .

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов[1].

Индуцированная метрика

Метрика, которая индуцируется гладким вложением r{displaystyle r}

$r$ многообразия M{displaystyle M} $M$ в евклидово пространство E{displaystyle E} $E$ , может быть посчитана по формуле:

g=JrTJr,{displaystyle g=J_{r}^{T}J_{r},}

g=J_{r}^{T}J_{r},

где Jr{displaystyle J_{r}}

$J_{r}$ означает матрицу Якоби вложения r{displaystyle r} $r$ и JrT{displaystyle J_{r}^{T}} $J_{r}^{T}$ — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства ∂∂xi{displaystyle {frac {partial }{partial x_{i}}}} ${frac {partial }{partial x_{i}}}$ , которые в этом случае можно отождествить с ∂r∂xi{displaystyle {frac {partial r}{partial x_{i}}}} ${frac {partial r}{partial x_{i}}}$ , определяются как

gij=g(∂∂xi,∂∂xj)=⟨∂r∂xi,∂r∂xj⟩,{displaystyle g_{ij}=gleft({frac {partial }{partial x_{i}}},{frac {partial }{partial x_{j}}}right)=leftlangle {frac {partial r}{partial x_{i}}},{frac {partial r}{partial x_{j}}}rightrangle ,}

g_{{ij}}=gleft({frac partial {partial x_{i}}},{frac partial {partial x_{j}}}right)=leftlangle {frac {partial r}{partial x_{i}}},{frac {partial r}{partial x_{j}}}rightrangle ,

где ⟨∗,∗⟩{displaystyle langle *,*rangle }

$langle *,*rangle$ обозначает скалярное произведение в E{displaystyle E} $E$ .

Более обобщенно

Пусть (N,h){displaystyle (N,h)}

$(N,h)$ многообразие с метрикой и r:M→N{displaystyle r:Mto N} $r:Mto N$ гладкое вложение.Тогда метрика g{displaystyle g} $g$ на M{displaystyle M} $M$ , определённая равенством

g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y)){displaystyle g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))}

g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))

называется индуцированной метрикой.Здесь dr{displaystyle dr}

$dr$ обозначает дифференциал отображения r{displaystyle r} $r$ .

Типы метрических тензоров

Совокупность метрических тензоров g{displaystyle g}

$g$ подразделяется на два класса:

невырожденные или псевдоримановы метрики, когда det(gij)≠0{displaystyle det(g_{ij})neq 0} во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
- Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
- Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым.
  - К этому классу относится метрика Лоренца.
Вырожденные метрики, когда det(gij)=0{displaystyle det(g_{ij})=0} либо det(gij)=0{displaystyle det(g^{ij})=0} в некоторых точках.
- Многообразие Mn {displaystyle M^{n} } $M^{n}$ , метрика которого является вырожденной в любой точке, называется изотропным (например, световой конус в пространстве Минковского).
- Субримановы метрики.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определения

Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием.
Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

Свойства

Риманов метрический тензор может быть введен на любом паракомпактном гладком многообразии.

Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства

Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на ее основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. Топология Александрова), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объём

Определитель матрицы метрического тензора |det{gij}|{displaystyle |det{g_{ij}}|}

$|det{g_{{ij}}}|$ дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина |det{gij}|{displaystyle {sqrt {|det{g_{ij}}|}}}

${sqrt {|det{g_{{ij}}}|}}$ играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, |det{gij}|{displaystyle {sqrt {|det{g_{ij}}|}}} ${sqrt {|det{g_{{ij}}}|}}$ входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

S=∫s(x)dΩ=∫s(x)|det{gij}|dx1dx2…dxn,{displaystyle S=int s(x),dOmega =int s(x){sqrt {|det{g_{ij}}|}},dx^{1},dx^{2},ldots ,dx^{n},}

S=int s(x),dOmega =int s(x){sqrt {|det{g_{{ij}}}|}},dx^{1},dx^{2},ldots ,dx^{n},

где dΩ{displaystyle dOmega }

$dOmega$ — это элемент n{displaystyle n} $n$ -мерного объема, а dxi{displaystyle dx^{i}} $dx^{i}$ — дифференциалы координат.

Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

Примеры

Метрический тензор на евклидовой плоскости:
- В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
  
  g=[1001], gij=δij{displaystyle g={begin{bmatrix}1&0&1end{bmatrix}}, g_{ij}=delta _{ij}} $g={begin{bmatrix}1&0�&1end{bmatrix}}, g_{{ij}}=delta _{{ij}}$
- В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
- В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
- В полярных координатах: (r,θ){displaystyle (r,theta )} $(r,theta )$
  
  g=[100r2] {displaystyle g={begin{bmatrix}1&0&r^{2}end{bmatrix}} } $g={begin{bmatrix}1&0�&r^{2}end{bmatrix}}$
Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса R{displaystyle R} $R$ , вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических коордиранах (θ,φ){displaystyle (theta ,varphi )} $(theta ,varphi )$ метрика принимает вид:

g=[R200R2sin2⁡θ].{displaystyle g={begin{bmatrix}R^{2}&0&R^{2}sin ^{2}theta end{bmatrix}}.} $g={begin{bmatrix}R^{2}&0�&R^{2}sin ^{2}theta end{bmatrix}}.$

Метрический тензор для трехмерного евклидова пространства:
- В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)
  
  g=[100010001], gij=δij{displaystyle g={begin{bmatrix}1&0&0&1&0&0&1end{bmatrix}}, g_{ij}=delta _{ij}} $g={begin{bmatrix}1&0&0�&1&0�&0&1end{bmatrix}}, g_{{ij}}=delta _{{ij}}$
- В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
- В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
- В сферических координатах: (r,θ,ϕ){displaystyle (r,theta ,phi )} $(r,theta ,phi )$ :
  
  g=[1000r2000r2sin2⁡θ].{displaystyle g={begin{bmatrix}1&0&0&r^{2}&0&0&r^{2}sin ^{2}theta end{bmatrix}}.} $g={begin{bmatrix}1&0&0�&r^{2}&0�&0&r^{2}sin ^{2}theta end{bmatrix}}.$

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть v∈TpM{displaystyle vin T_{p}M}

$vin T_{p}M$ — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора g{displaystyle g} $g$ на M{displaystyle M} $M$ , мы получаем, что g(v,⋅){displaystyle g(v,cdot )} $g(v,cdot )$ , то есть отображение, которое переводит другой вектор w∈TpM{displaystyle win T_{p}M} $win T_{p}M$ в число g(v,w){displaystyle g(v,w)} $g(v,w)$ , является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) Tp∗M{displaystyle T_{p}^{*}M} $T_{p}^{*}M$ . Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что g{displaystyle g} $g$ сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей, это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»).В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

gijvj=vi{displaystyle g_{ij}v^{j}=v_{i}}

g_{{ij}}v^{j}=v_{i}

— опускание индекса для вектора,

gijvj=vi{displaystyle g^{ij}v_{j}=v^{i}}

g^{{ij}}v_{j}=v^{i}

— поднятие индекса для вектора,

gijgmnTj pq nrs=T m pqi rs{displaystyle g^{ij}g_{mn}T_{j pq}^{ nrs}=T_{ m pq}^{i rs}}

g^{{ij}}g_{{mn}}T_{{j pq}}^{{ nrs}}=T_{{ m pq}}^{{i rs}}

— пример одновременного поднятия индекса j{displaystyle j}

j

и опускания индекса n{displaystyle n}

n

для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

Примечания

↑ См., например,
- Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
- Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. — М.: изд-во МГУ, [1930]1963