Прямоугольная система координат

Разделы:

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.

Связанные термины: декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям (названной так по имени Рене Декарта), а общей декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не прямоугольную)[1].

Содержание

1 Прямоугольная система координат на плоскости
2 Прямоугольная система координат в пространстве
3 Прямоугольная система координат в многомерном пространстве
4 Прямоугольные координаты вектора
5 Орты
6 История
7 См. также
8 Примечания
9 Ссылки

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X′X{displaystyle X’X}

$X'X$ и Y′Y{displaystyle Y’Y} $Y'Y$ . Оси координат пересекаются в точке O{displaystyle O} $O$ , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. Рис. 1

Положение точки A{displaystyle A}

$A$ на плоскости определяется двумя координатами x{displaystyle x} $x$ и y{displaystyle y} $y$ . Координата x{displaystyle x} $x$ равна длине отрезка OB{displaystyle OB} $OB$ , координата y{displaystyle y} $y$ — длине отрезка OC{displaystyle OC} $OC$ в выбранных единицах измерения. Отрезки OB{displaystyle OB} $OB$ и OC{displaystyle OC} $OC$ определяются линиями, проведёнными из точки A{displaystyle A} $A$ параллельно осям Y′Y{displaystyle Y’Y} $Y'Y$ и X′X{displaystyle X’X} $X'X$ соответственно.

При этом координате x{displaystyle x}

$x$ приписывается знак минус, если точка B{displaystyle B} $B$ лежит на луче OX′{displaystyle OX’} $OX'$ (а не на луче OX{displaystyle OX} $OX$ , как на рисунке). Координате y{displaystyle y} $y$ приписывается знак минус, если точка C{displaystyle C} $C$ лежит на луче OY′{displaystyle OY’} $OY'$ . Таким образом,OX′{displaystyle OX’} $OX'$ и OY′{displaystyle OY’} $OY'$ являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).

Ось x{displaystyle x}

$x$ называется осью абсцисс, а ось y{displaystyle y} $y$ — осью ординат. Координата x{displaystyle x} $x$ называется абсциссой точки A{displaystyle A} $A$ , координата y{displaystyle y} $y$ — ординатой точки A{displaystyle A} $A$ .

Символически это записывают так:

A(x,y){displaystyle A(x,;y)}

A(x,;y)

или

A=(x,y){displaystyle A=(x,;y)}

A = (x,;y)

или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

xA,xB{displaystyle x_{A},x_{B}}

x_A, x_B

и т. д.

В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y′Y{displaystyle Y’Y} $Y'Y$ вверх, ось X′X{displaystyle X’X} $X'X$ смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).
Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X′X{displaystyle X’X} и Y′Y{displaystyle Y’Y} , называются координатными углами, четвертями или квадрантами <плоскости> (см. рис. 1).
- Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.
- Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.
- Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты
- Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX{displaystyle OX}

$OX$ , OY{displaystyle OY} $OY$ и OZ{displaystyle OZ} $OZ$ . Оси координат пересекаются в точке O{displaystyle O} $O$ , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно[2]) одинаковы для всех осей. OX{displaystyle OX} $OX$ — ось абсцисс, OY{displaystyle OY} $OY$ — ось ординат, OZ{displaystyle OZ} $OZ$ — ось аппликат. Рис. 2

Положение точки A{displaystyle A}

$A$ в пространстве определяется тремя координатами x{displaystyle x} $x$ , y{displaystyle y} $y$ и z{displaystyle z} $z$ . Координата x{displaystyle x} $x$ равна длине отрезка OB{displaystyle OB} $OB$ , координата y{displaystyle y} $y$ — длине отрезка OC{displaystyle OC} $OC$ , координата z{displaystyle z} $z$ — длине отрезка OD{displaystyle OD} $OD$ в выбранных единицах измерения. Отрезки OB{displaystyle OB} $OB$ , OC{displaystyle OC} $OC$ и OD{displaystyle OD} $OD$ определяются плоскостями, проведёнными из точки A{displaystyle A} $A$ параллельно плоскостям YOZ{displaystyle YOZ} $YOZ$ , XOZ{displaystyle XOZ} $XOZ$ и XOY{displaystyle XOY} $XOY$ соответственно.

Координата x{displaystyle x}

x

называется абсциссой точки A{displaystyle A}

A

координата y{displaystyle y}

y

— ординатой точки A{displaystyle A}

A

координата z{displaystyle z}

z

— аппликатой точки A{displaystyle A}

A

Символически это записывают так:

A(x,y,z){displaystyle A(x,;y,;z)}

A(x,;y,;z)

или

A=(x,y,z){displaystyle A=(x,;y,;z)}

A = (x,;y,;z)

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

xA,yA,zA{displaystyle x_{A},;y_{A},;z_{A}}

x_A,;y_A,;z_A

и т. п.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B{displaystyle B}

$B$ лежала не как на рисунке — на луче OX{displaystyle OX} $OX$ , а на его продолжении в обратную сторону от точки O{displaystyle O} $O$ (на отрицательной части оси OX{displaystyle OX} $OX$ ), то абсцисса x{displaystyle x} $x$ точки A{displaystyle A} $A$ была бы отрицательной (минус расстоянию OB{displaystyle OB} $OB$ ). Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении еще и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами[3] совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX{displaystyle OX}

$OX$ против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY{displaystyle OY} $OY$ , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ{displaystyle OZ} $OZ$ ).

Любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями называться октант.

Прямоугольная система координат в многомерном пространстве

Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать её n{displaystyle n}

$n$ ).

Для обозначения координат обычно[4] применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

x1,x2,x3,…xn.{displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},dots x_{n}.}

x_1, x_2, x_3,dots x_n.

Для обозначения произвольной i{displaystyle i}

$i$ -й координаты из этого набора используют буквенный индекс:

xi,{displaystyle x_{i},}

x_{i},

а нередко обозначение xi,{displaystyle x_{i},}

$x_{i},$ используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений: i=1,2,3,…n{displaystyle i=1,2,3,dots n} $i = 1, 2, 3, dots n$ .

В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Для многомерных пространств какую-то одну из координатных систем произвольно (условно) называют правой, а остальные оказываются правыми или левыми в зависимости от того, той же они ориентации или нет[5].

Обобщение понятий двумерного квадранта и трёхмерного октанта для n{displaystyle n}

$n$ -мерного евклидова пространства — ортант или гипероктант.

Прямоугольные координаты вектора

Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца[6].

Таким образом, например, координаты (x,y) на рис.1 являются координатами вектора OA→{displaystyle {vec {OA}}} $vec{OA}$ .

Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:

Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесенного так, что его начало совпадает с началом координат, — это координаты его конца.
Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.

Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции вектора на направление соответствующей координатной оси.

В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

Сложение и умножение на скаляр:

a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3,…,an+bn){displaystyle mathbf {a} +mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},dots ,a_{n}+b_{n})}

mathbf a + mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, dots, a_n + b_n)

или

(a+b)i=ai+bi,{displaystyle (mathbf {a} +mathbf {b} )_{i}=a_{i}+b_{i},}

(mathbf a + mathbf b)_i = a_i + b_i,

c a=(c a1,c a2,c a3,…,c an){displaystyle c mathbf {a} =(c a_{1},c a_{2},c a_{3},dots ,c a_{n})}

c mathbf a = (c a_1, c a_2, c a_3, dots, c a_n)

или

(c a)i=c ai.{displaystyle (c mathbf {a} )_{i}=c a_{i}.}

(c mathbf a)_i = c a_i.

а отсюда и вычитание и деление:

a−b=(a1−b1,a2−b2,a3−b3,…,an−bn){displaystyle mathbf {a} -mathbf {b} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3},dots ,a_{n}-b_{n})}

mathbf a - mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, dots, a_n - b_n)

или

(a−b)i=ai−bi,{displaystyle (mathbf {a} -mathbf {b} )_{i}=a_{i}-b_{i},}

(mathbf a - mathbf b)_i = a_i - b_i,

aλ=(a1λ,a2λ,a3λ,…,anλ){displaystyle {frac {mathbf {a} }{lambda }}={Big (}{frac {a_{1}}{lambda }},{frac {a_{2}}{lambda }},{frac {a_{3}}{lambda }},dots ,{frac {a_{n}}{lambda }}{Big )}}

frac{mathbf a}{lambda} = Big(frac{a_1}{lambda}, frac{a_2}{lambda}, frac{a_3}{lambda}, dots, frac{a_n}{lambda}Big)

или

(aλ)i=aiλ.{displaystyle {Big (}{frac {mathbf {a} }{lambda }}{Big )}_{i}={frac {a_{i}}{lambda }}.}

Big(frac{mathbf a}{lambda}Big)_i = frac{a_i}{lambda}.

(Это верно для любой размерности n и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).

Скалярное произведение:

a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+dots +a_{n}b_{n}}

mathbf a cdot mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + dots + a_n b_n

или

a⋅b=∑i=1naibi,{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =sum limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}

mathbf a cdot mathbf b = sumlimits_{i=1}^n a_i b_i,

(Только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).

Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора

|a|=a⋅a{displaystyle |mathbf {a} |={sqrt {mathbf {a} cdot mathbf {a} }}}

|mathbf a| = sqrt{mathbf acdotmathbf a}

и угол между векторами

∠(a,b)=arccosa⋅b|a|⋅|b|{displaystyle angle {(mathbf {a} ,mathbf {b} )}=mathrm {arccos} {frac {mathbf {a} cdot mathbf {b} }{|mathbf {a} |cdot |mathbf {b} |}}}

angle{(mathbf a, mathbf b)} = mathrm{arccos}frac{mathbf acdotmathbf b}{|mathbf a|cdot|mathbf b|}

Внешнее произведение:

(a∧b)ij=aibj−ajbi{displaystyle (mathbf {a} land mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}}

(mathbf a and mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i

для любой размерности пространства,

Векторное произведение (только для трехмерного же пространства, на котором оно и определено):

(a×b)x=aybz−azby{displaystyle (mathbf {a} times mathbf {b} )_{x}=a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}}

(mathbf a times mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y

(a×b)y=azbx−axbz{displaystyle (mathbf {a} times mathbf {b} )_{y}=a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}}

(mathbf a times mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z

(a×b)z=axby−aybx{displaystyle (mathbf {a} times mathbf {b} )_{z}=a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}}

(mathbf a times mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x

Очевидно, всё это позволяет, если надо, свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.

Орты

Прямоугольная система координат[7] (любой размерности) также описывается[8] набором ортов (единичных векторов), сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты составляют базис, притом ортонормированный [9].

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются

i{displaystyle mathbf {i} }

mathbf{i}

, j{displaystyle mathbf {j} }

mathbf {j}

и k{displaystyle mathbf {k} }

mathbf {k}

или

ex{displaystyle mathbf {e} _{x}}

mathbf{e}_x

, ey{displaystyle mathbf {e} _{y}}

mathbf{e}_y

и ez{displaystyle mathbf {e} _{z}}

mathbf{e}_z

Могут также применяться обозначения со стрелками (i→{displaystyle {vec {i}}}

$vec{i}$ , j→{displaystyle {vec {j}}} $vec{j}$ и k→{displaystyle {vec {k}}} $vec{k}$ или e→x{displaystyle {vec {e}}_{x}} $vec{e}_x$ , e→y{displaystyle {vec {e}}_{y}} $vec{e}_y$ и e→z{displaystyle {vec {e}}_{z}} $vec{e}_z$ ) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе.

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

[i,j]=k;{displaystyle [mathbf {i} ,,mathbf {j} ]=mathbf {k} ;} $[mathbf{i},,mathbf{j}]=mathbf{k};$
[j,k]=i;{displaystyle [mathbf {j} ,,mathbf {k} ]=mathbf {i} ;} $[mathbf{j},,mathbf{k}]=mathbf{i};$
[k,i]=j.{displaystyle [mathbf {k} ,,mathbf {i} ]=mathbf {j} .} $[mathbf{k},,mathbf{i}]=mathbf{j}.$

Для более высоких, чем 3, размерностей (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто[10] это

e1,e2,e3,…en,{displaystyle mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},mathbf {e} _{3},dots mathbf {e} _{n},}

mathbf{e}_1, mathbf{e}_2, mathbf{e}_3,dots mathbf{e}_n,

где n — размерность пространства.

Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

a=a1e1+a2e2+a3e3+⋯+anen{displaystyle mathbf {a} =a_{1}mathbf {e} _{1}+a_{2}mathbf {e} _{2}+a_{3}mathbf {e} _{3}+dots +a_{n}mathbf {e} _{n}}

mathbf a = a_1mathbf e_1 + a_2mathbf e_2 + a_3mathbf e_3 + dots + a_nmathbf e_n

или

a=∑i=1naiei,{displaystyle mathbf {a} =sum limits _{i=1}^{n}a_{i}mathbf {e} _{i},}

mathbf a = sumlimits_{i=1}^n a_imathbf e_i,

а для ортонормированного базиса координаты еще и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:

ai=a⋅ei.{displaystyle a_{i}=mathbf {a} cdot mathbf {e} _{i}.}

a_i = mathbf a cdot mathbf e_i.

История

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Геометрия» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке. Использование ортов восходит, по-видимому, к Гамильтону и Максвеллу.

См. также

Примечания

↑ http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/83196/Декартова Большая Советская Энциклопедия. Сам же Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости (и, вообще, — косоугольную).
↑ Иногда это просто принципиально невозможно, если по осям откладываются величины разной физической размерности; впрочем, с геометрической точки зрения это замечание не слишком существенно, т.к. можно тогда считать масштабы по осям равными условно (например масштабы так, чтобы единицы совпадали при изображая на геометрической плоскости).
↑ Можно превратить правую координатную систему в левую и наоборот с помощью зеркального отражения.
↑ Но не обязательно: вопрос обозначений в конечном итоге определяется конкретным приложением.
↑ Это можно выяснить, исходя из того, можно ли какими-то вращениями (и переносами, если не совпадают начала координат) совместить данную координатную систему с той, ориентация которой правая по определению. Если да, то данная система считается правой, если нет, то левой. Еще проще технически это выяснить через знак определителя матрицы преобразования от правого базиса к данному.
↑ Конец направленного отрезка — точка; прямоугольные координаты точки рассмотрены в статье выше.
↑ В этом параграфе будем подразумевать обычную декартову систему координат, то есть прямоугольную систему координат с одинаковым масштабом по всем осям; рассмотрение систем координат с разным масштабом по разным осям внесло бы здесь неоправданные формальные усложнения при довольно малом выигрыше содержательном отношении.
↑ Это описание очевидно полностью эквивалентно обычному заданию осей координат, надо только еще задать начало координат (последнее нередко очевидно по умолчанию).
↑ При отказе от условия равномасштабности координатных осей — просто ортогональный базис.
↑ Впрочем, вместо буквы e нередко могут быть использованы и другие буквы. Как правило, это явно оговорено.

Ссылки

В. И. Гервидс. Модель декартовой системы координат (неопр.) (flash). НИЯУ МИФИ (10 марта 2011). Дата обращения: 3 мая 2011.