Метрическое пространство

Разделы:

Не следует путать с метрическим тензором — квадратичной формой, которая задает скалярное произведение.У этого термина существуют и другие значения, см. Метрика.У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство.

Метри́ческим простра́нством называется непустое множество, в котором между любой парой элементов, обладающих определенными свойствами, определено расстояние, называемое ме́трикой.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Замечания
2 Обозначения
3 Связанные определения
4 Примеры
5 Конструкции
6 Свойства
7 Вариации и обобщения
8 История
9 Примечания
10 Литература
11 Ссылки

Определения

Метрическое пространство есть пара (X,d){displaystyle (X,;d)}

$(X,;d)$ , где X{displaystyle X} $X$ — множество, а d{displaystyle d} $d$ — числовая функция, которая определена на декартовом произведении X×X{displaystyle Xtimes X} $Xtimes X$ , принимает значения в множестве неотрицательных вещественных чисел, и такова, что

d(x,y)=0⇔x=y{displaystyle d(x,;y)=0Leftrightarrow x=y} $d(x,;y)=0Leftrightarrow x=y$ (аксиома тождества).
d(x,y)=d(y,x){displaystyle d(x,;y)=d(y,;x)} $d(x,;y)=d(y,;x)$ (аксиома симметрии).
d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,;z)leqslant d(x,;y)+d(y,;z)} $d(x,;z)leqslant d(x,;y)+d(y,;z)$ (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

При этом

множество X{displaystyle X} $X$ называется подлежащим множеством метрического пространства.
элементы множества X{displaystyle X} $X$ называются точками метрического пространства.
функция d{displaystyle d} $d$ называется метрикой.

Замечания

Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку

0=d(x,x)⩽d(x,y)+d(y,x)=2⋅d(x,y){displaystyle 0=d(x,;x)leqslant d(x,;y)+d(y,;x)=2{cdot }d(x,;y)} $0=d(x,;x)leqslant d(x,;y)+d(y,;x)=2{cdot }d(x,;y)$ .
Если неравенство треугольника представить в виде

d(x,y)⩽d(x,z)+d(y,z){displaystyle d(x,y)leqslant d(x,z)+d(y,z)} $d(x,y)leqslant d(x,z)+d(y,z)$ для всех x,y{displaystyle x,y} $x,y$ и z{displaystyle z} $z$ ,

тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.

Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от x до y то же самое, что и расстояние от y до x. Неравенство треугольника означает, что расстояние от x до z через y не меньше чем прямо от x до z.

Обозначения

Обычно расстояние между точками x{displaystyle x}

$x$ и y{displaystyle y} $y$ в метрическом пространстве M{displaystyle M} $M$ обозначается d(x,y){displaystyle d(x,;y)} $d(x,;y)$ или ρ(x,y){displaystyle rho (x,;y)} $rho (x,;y)$ .

В метрической геометрии принято обозначение |xy|{displaystyle |xy|} $|xy|$ или |xy|M{displaystyle |xy|_{M}} $|xy|_{M}$ , если необходимо подчеркнуть что речь идет о M{displaystyle M} $M$ . Также употребляются обозначения |x−y|{displaystyle |x-y|} $|x-y|$ и |x−y|M{displaystyle |x-y|_{M}} $|x-y|_{M}$ (несмотря на то, что выражение x−y{displaystyle x-y} $x-y$ для точек x{displaystyle x} $x$ и y{displaystyle y} $y$ не имеет смысла).
В классической геометрии приняты обозначения XY{displaystyle XY} $XY$ или |XY|{displaystyle |XY|} $|XY|$ (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения

Биекция между различными метрическими пространствами (X,dX){displaystyle (X,;d_{X})} и (Y,dY){displaystyle (Y,;d_{Y})} , сохраняющая расстояния, называется изометрией;
- В этом случае пространства (X,dX){displaystyle (X,;d_{X})} $(X,;d_{X})$ и (Y,dY){displaystyle (Y,;d_{Y})} $(Y,;d_{Y})$ называются изометричными.
Если M{displaystyle M} $M$ подмножество множества X{displaystyle X} $X$ , то, рассматривая сужение dM=dX|M{displaystyle d_{M}=d_{X}{Big |}_{M}} $d_{M}=d_{X}{Big |}_{M}$ метрики dX{displaystyle d_{X}} $d_{X}$ на множество M{displaystyle M} $M$ , можно получить метрическое пространство (M,dM){displaystyle (M,;d_{M})} $(M,;d_{M})$ , которое называется подпространством пространства (X,d){displaystyle (X,;d)} $(X,;d)$ .
Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

Метрика d{displaystyle d} на M{displaystyle M} называется внутренней, если любые две точки x{displaystyle x} и y{displaystyle y} в M{displaystyle M} можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x,y){displaystyle d(x,;y)} .
- Пространство называется геодезическим если любые две точки x{displaystyle x} $x$ и y{displaystyle y} $y$ в M{displaystyle M} $M$ можно соединить кривой с длиной равной d(x,y){displaystyle d(x,;y)} $d(x,;y)$ .
Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

B(x;r)={y∈M∣d(x,y)<r},{displaystyle B(x;;r)={yin Mmid d(x,;y)<r},}

B(x;;r)={yin Mmid d(x,;y)<r},

где x{displaystyle x}

x

есть точка в M{displaystyle M}

M

и r{displaystyle r}

r

— положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O{displaystyle O}

O

является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
Расстояние d(x,S){displaystyle d(x,;S)} $d(x,;S)$ от точки x{displaystyle x} $x$ до подмножества S{displaystyle S} $S$ в M{displaystyle M} $M$ определяется по формуле:

d(x,S)=inf{d(x,s)∣s∈S}.{displaystyle d(x,;S)=inf{d(x,;s)mid sin S}.}

d(x,;S)=inf{d(x,;s)mid sin S}.

Тогда d(x,S)=0{displaystyle d(x,;S)=0}

d(x,;S)=0

, только если x{displaystyle x}

x

принадлежит замыканию S{displaystyle S}

S

Примеры

Дискретная метрика: d(x,y)=0{displaystyle d(x,;y)=0} $d(x,;y)=0$ , если x=y{displaystyle x=y} $x=y$ , и d(x,y)=1{displaystyle d(x,;y)=1} $d(x,;y)=1$ во всех остальных случаях.
Вещественные числа с функцией расстояния d(x,y)=|y−x|{displaystyle d(x,;y)=|y-x|} $d(x,;y)=|y-x|$ и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
Расстояние городских кварталов: d(p,q)=‖p−q‖=∑i=1n|pi−qi|{displaystyle d(mathbf {p} ,mathbf {q} )=|mathbf {p} -mathbf {q} |=sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|} $d({mathbf {p}},{mathbf {q}})=|{mathbf {p}}-{mathbf {q}}|=sum _{{i=1}}^{n}|p_{i}-q_{i}|$ , где p=(p1,p2,…,pn){displaystyle mathbf {p} =(p_{1},p_{2},dots ,p_{n})} $mathbf {p} =(p_{1},p_{2},dots ,p_{n})$ , q=(q1,q2,…,qn){displaystyle mathbf {q} =(q_{1},q_{2},dots ,q_{n})} ${mathbf {q}}=(q_{1},q_{2},dots ,q_{n})$ — векторы.
Пусть F(X,Y){displaystyle F(X,;Y)} $F(X,;Y)$ — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства X{displaystyle X} $X$ в метрическое пространство Y{displaystyle Y} $Y$ . Расстояние между двумя отображениями f1{displaystyle f_{1}} $f_1$ и f2{displaystyle f_{2}} $f_{2}$ из этого пространства определяется как

dF(f1,f2)=sup{dY(f1(x),f2(x)):x∈X}.{displaystyle d_{F}(f_{1},;f_{2})=sup{d_{Y}(f_{1}(x),;f_{2}(x))colon xin X}.} $d_{F}(f_{1},;f_{2})=sup{d_{Y}(f_{1}(x),;f_{2}(x))colon xin X}.$

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве X{displaystyle X}

X

В частном случае, когда X{displaystyle X}

X

— компактное пространство, Y{displaystyle Y}

Y

— числовая прямая, получается пространство C(X){displaystyle C(X)}

C(X)

всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.

Пусть L[a,b]{displaystyle L[a,;b]} $L[a,;b]$ , R[a,b]{displaystyle R[a,;b]} $R[a,;b]$ , C[a,b]{displaystyle C[a,;b]} $C[a,;b]$ — пространства функций на отрезке [a,b]{displaystyle [a,;b]} $[a,;b]$ , соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

d(f1,f2)=∫ab|f1(x)−f2(x)|dx.{displaystyle d(f_{1},;f_{2})=int limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|,dx.} $d(f_{1},;f_{2})=int limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|,dx.$

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций Ck[a,b]{displaystyle C^{k}[a,;b]} $C^{k}[a,;b]$ метрика вводится по формуле:

dk(f1,f2)=max{d0(f1,f2),d0(f1′,f2′),…,d0(f1(k),f2(k))},{displaystyle d_{k}(f_{1},;f_{2})=max{d_{0}(f_{1},;f_{2}),;d_{0}(f’_{1},;f’_{2}),;ldots ,;d_{0}(f_{1}^{(k)},;f_{2}^{(k)})},} $d_{k}(f_{1},;f_{2})=max{d_{0}(f_{1},;f_{2}),;d_{0}(f'_{1},;f'_{2}),;ldots ,;d_{0}(f_{1}^{{(k)}},;f_{2}^{{(k)}})},$

где d0{displaystyle d_{0}}

d_{0}

— метрика равномерной сходимости на C[a,b]{displaystyle C[a,;b]}

C[a,;b]

(см. выше).

Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

d(x,y)=‖y−x‖{displaystyle d(x,;y)=|y-x|} $d(x,;y)=|y-x|$ .
- Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
- В случае размерности, равной двум — плоскостью Минковского.

Если (pn)n∈N{displaystyle (p_{n})_{nin N}} ${displaystyle (p_{n})_{nin N}}$ является последовательностью полунорм, определяющих (локально выпуклое) топологическое векторное пространство E, то

d(x,y)=∑n=1∞12npn(x−y)1+pn(x−y){displaystyle d(x,y)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2^{n}}}{frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}

{displaystyle d(x,y)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2^{n}}}{frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}

является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить 12n{displaystyle {frac {1}{2^{n}}}}

{displaystyle {frac {1}{2^{n}}}}

на любую суммируемую последовательность (an){displaystyle (a_{n})}

(a_{n})

строго положительных чисел.)

Любое связное риманово многообразие M{displaystyle M} $M$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

Множество вершин любого связного графа G{displaystyle G} можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
- Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
Расстояние редактирования графа определяет функцию расстояния между графами.

Расстояние Хэмминга в теории кодирования.
Строковые метрики [en], такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования текста определяют расстояние над строками.

Множество компактных подмножеств K(M){displaystyle K(M)} $K(M)$ любого метрического пространства M{displaystyle M} $M$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

D(X,Y)=inf{r|∀x∈X∃y∈Y:d(x,y)<r∀y∈Y∃x∈X:d(x,y)<r}.{displaystyle D(X,;Y)=inf left{r;left|;{begin{matrix}forall xin X;exists yin Ycolon d(x,;y)<rforall yin Y;exists xin Xcolon d(x,;y)<rend{matrix}}right.right}.}

D(X,;Y)=inf left{r;left|;{begin{matrix}forall xin X;exists yin Ycolon d(x,;y)<rforall yin Y;exists xin Xcolon d(x,;y)<rend{matrix}}right.right}.

Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.
Метрика Васерштейна определяет расстояние между двумя распределениями вероятностей.

Конструкции

Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
1. dX×Y((x1,y1),(x2,y2))=dX(x1,x2)+dY(y1,y2);{displaystyle d_{Xtimes Y}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))=d_{X}(x_{1},;x_{2})+d_{Y}(y_{1},;y_{2});} $d_{{Xtimes Y}}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))=d_{X}(x_{1},;x_{2})+d_{Y}(y_{1},;y_{2});$
2. dX×Y((x1,y1),(x2,y2))=dX(x1,x2)2+dY(y1,y2)2;{displaystyle d_{Xtimes Y}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))={sqrt {d_{X}(x_{1},;x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},;y_{2})^{2}}};} $d_{{Xtimes Y}}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))={sqrt {d_{X}(x_{1},;x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},;y_{2})^{2}}};$
3. dX×Y((x1,y1),(x2,y2))=max{dX(x1,x2),dY(y1,y2)}.{displaystyle d_{Xtimes Y}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))=max{d_{X}(x_{1},;x_{2}),;d_{Y}(y_{1},;y_{2})}.} $d_{{Xtimes Y}}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))=max{d_{X}(x_{1},;x_{2}),;d_{Y}(y_{1},;y_{2})}.$

Эти метрики эквивалентны друг другу.

Свойства

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
- Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
- Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
метрические пространства с короткие отображениями образуют категорию, обычно обозначаемую Met.

Вариации и обобщения

Для данного множества M{displaystyle M} , функция d:M×M→R{displaystyle dcolon Mtimes Mto mathbb {R} } называется псевдометрикой или полуметрикой на M{displaystyle M} если для любых точек x,y,z{displaystyle x,;y,;z} из M{displaystyle M} она удовлетворяет следующим условиям:
1. d(x,x)=0;{displaystyle d(x,;x)=0;} $d(x,;x)=0;$
2. d(x,y)=d(y,x){displaystyle d(x,;y)=d(y,;x)} $d(x,;y)=d(y,;x)$ (симметрия);
3. d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,;z)leqslant d(x,;y)+d(y,;z)} $d(x,;z)leqslant d(x,;y)+d(y,;z)$ (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в M{displaystyle M}

M

могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве M/∼{displaystyle M/!sim }

M/!sim

, где x∼y⇔d(x,y)=0{displaystyle xsim yLeftrightarrow d(x,;y)=0}

xsim yLeftrightarrow d(x,;y)=0

Для данного множества M{displaystyle M} , функция d:M×M→R{displaystyle dcolon Mtimes Mto mathbb {R} } называется квазиметрикой если для любых точек x,y,z{displaystyle x,;y,;z} из M{displaystyle M} она удовлетворяет следующим условиям:
1. d(x,x)=0;{displaystyle d(x,;x)=0;} $d(x,;x)=0;$
2. d(x,y)⩽c⋅d(y,x){displaystyle d(x,;y)leqslant ccdot d(y,;x)} $d(x,;y)leqslant ccdot d(y,;x)$ (квазисимметрия);
3. d(x,z)⩽c⋅(d(x,y)+d(y,z)){displaystyle d(x,;z)leqslant ccdot (d(x,;y)+d(y,;z))} $d(x,;z)leqslant ccdot (d(x,;y)+d(y,;z))$ (обобщённое неравенство треугольника).
Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех x{displaystyle x} $x$ , y{displaystyle y} $y$ и z{displaystyle z} $z$ в M{displaystyle M} $M$ d(x,z)⩽max(d(x,y),d(y,z)){displaystyle d(x,;z)leqslant max(d(x,;y),;d(y,;z))} $d(x,;z)leqslant max(d(x,;y),;d(y,;z))$ .

Иногда удобно рассматривать ∞{displaystyle infty } $infty$ -метрики, то есть метрики со значениями [0;∞]{displaystyle [0;;infty ]} $[0;;infty ]$ . Для любой ∞{displaystyle infty } $infty$ -метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например

d′(x,y)=d(x,y)1+d(x,y){displaystyle d'(x,;y)={frac {d(x,;y)}{1+d(x,;y)}}} $d'(x,;y)={frac {d(x,;y)}{1+d(x,;y)}}$ или d″(x,y)=min(1,d(x,y)).{displaystyle d»(x,;y)=min {(1,;d(x,;y))}.} $d''(x,;y)=min {(1,;d(x,;y))}.$

Также, для любой точки x{displaystyle x}

x

такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство называемое метрической компонентой x{displaystyle x}

x

. В частности, любое пространство с ∞{displaystyle infty }

infty

-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным ∞{displaystyle infty }

infty

Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии[1][2]. Название этого обобщения не вполне устоялось[3]. В своей книге Смит[2] называет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.
1. d(x,y)⩾0{displaystyle d(x,y)geqslant 0} ${displaystyle d(x,y)geqslant 0}$ (положительность)
2. d(x,y)=0⟺x=y{displaystyle d(x,y)=0iff x=y} ${displaystyle d(x,y)=0iff x=y}$ (положительная определённость)
3. d(x, y)=d(y, x) (симметрия вычеркнута)
4. d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)} ${displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ (неравенство треугольника)

Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество X горных сёл, время прогулки между элементами X образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки A в точку B состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из B в A.

В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:
1. d(x,y)⩾0{displaystyle d(x,y)geqslant 0} ${displaystyle d(x,y)geqslant 0}$
2. из d(x,y)=0{displaystyle d(x,y)=0} ${displaystyle d(x,y)=0}$ следует x=y (но не наоборот.)
3. d(x,y)=d(y,x){displaystyle d(x,y)=d(y,x)} ${displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)} ${displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ .

Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству d(x, x)=0 для точек x на границе, но в противном случае d(x, x) примерно равно расстоянию от x до границы. Метаметрики первым определил Юсси Вяйсяля [4].

Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:
1. d(x,y)⩾0{displaystyle d(x,y)geqslant 0} ${displaystyle d(x,y)geqslant 0}$
2. d(x,x)=0{displaystyle d(x,x)=0} ${displaystyle d(x,x)=0}$

Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрики[5] или псевдометрики[6]. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика»[7][8].

Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного r определяется r-шар с центром в точке p как

Br(p)={x|d(x,p)<r}{displaystyle B_{r}(p)={x|d(x,p)<r}}

{displaystyle B_{r}(p)={x|d(x,p)<r}}

. Множество называется открытым, если для любой точки p в множестве существует r-шар с центром в p, который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством [en].В общем случае сами r-шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами A и B определяется как

d(A,B)=infx∈A,y∈Bd(x,y){displaystyle d(A,B)=inf _{xin A,yin B}d(x,y)}

{displaystyle d(A,B)=inf _{xin A,yin B}d(x,y)}

Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если мы начинаем с (псевдополу-)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть, симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к оператору предзамыкания [en] cl:

cl(A)={x|d(x,A)=0}{displaystyle cl(A)={x|d(x,A)=0}}

{displaystyle cl(A)={x|d(x,A)=0}}

Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые r-шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество {0,1} с преметрикой, задаваемой функцией d, такой что d(0,1)=1 и d(1,0)=0. Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.

Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщённые метрические пространства»[9][10]. С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и копроизведения и образовать фактор-объект с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты. Пространства подходов [en] являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства[11] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания

↑ Steen, Seebach, 1995.
↑ 1 2 Smyth, 1987, с. 236–253.
↑ Rolewicz, 1987.
↑ Väisälä, 2005, с. 187–231.
↑ Булдыгин, Козаченко, 1998.
↑ Хелемский, 2004.
↑ Архангельский, Федорчук, 1988, с. 30.
↑ Pereira, Aldrovandi, 1995.
↑ Lawvere, 2002, с. 1–37.
↑ Vickers, 2005, с. 328–356.
↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.

Литература

Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение». — 2001. — Выпуск 9.
Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.

Ссылки

Медиафайлы на Викискладе

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Metric space, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.