Евклидово пространство

Разделы:

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространстоллллллллллолво Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

n{displaystyle n} $n$ -мерное евклидово пространство обозначается En,{displaystyle mathbb {E} ^{n},} $mathbb {E} ^{n},$ также часто используется обозначение Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Содержание

1 Формальное определение
- 1.1 Длины и углы
- 1.2 Неравенство Коши — Буняковского — Шварца и неравенство треугольника
2 Алгебраические свойства
3 Движения евклидова пространства
4 Примеры
5 Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве
6 Связанные определения
7 Вариации и обобщения
8 Примечания
9 Литература

Формальное определение

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция (⋅,⋅),{displaystyle (cdot ,cdot ),}

$(cdot ,cdot ),$ обладающая следующими тремя свойствами:

Билинейность: для любых векторов u,v,w{displaystyle u,v,w} $u,v,w$ и для любых вещественных чисел a,b(au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w){displaystyle a,bquad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)} $a,bquad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)$ и (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);{displaystyle (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);} $(u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
Симметричность: для любых векторов u,v(u,v)=(v,u);{displaystyle u,vquad (u,v)=(v,u);} $u,vquad (u,v)=(v,u);$
Положительная определённость: для любого u(u,u)⩾0,{displaystyle uquad (u,u)geqslant 0,} $uquad (u,u)geqslant 0,$ причём (u,u)=0⇒u=0.{displaystyle (u,u)=0Rightarrow u=0.} $(u,u)=0Rightarrow u=0.$

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством[1].

Пример евклидова пространства — координатное пространство Rn,{displaystyle mathbb {R} ^{n},}

$mathbb {R} ^{n},$ состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел (x1,x2,…,xn),{displaystyle (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),} $(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),$ скалярное произведение в котором определяется формулой (x,y)=∑i=1nxiyi=x1y1+x2y2+⋯+xnyn.{displaystyle (x,y)=sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+cdots +x_{n}y_{n}.} $(x,y)=sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+cdots +x_{n}y_{n}.$

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора u{displaystyle u}

$u$ определяется как (u,u){displaystyle {sqrt {(u,u)}}} ${sqrt {(u,u)}}$ и обозначается |u|.{displaystyle |u|.} $|u|.$ [2][3] Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что |au|=|a||u|,{displaystyle |au|=|a||u|,} $|au|=|a||u|,$ то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами u{displaystyle u}

$u$ и v{displaystyle v} $v$ определяется по формуле φ=arccos⁡((x,y)|x||y|).{displaystyle varphi =arccos left({frac {(x,y)}{|x||y|}}right).} $varphi =arccos left({frac {(x,y)}{|x||y|}}right).$ Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен π2.{displaystyle {frac {pi }{2}}.} ${frac {pi }{2}}.$

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы arccos⁡((x,y)|x||y|){displaystyle arccos left({frac {(x,y)}{|x||y|}}right)}

$arccos left({frac {(x,y)}{|x||y|}}right)$ был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство |(x,y)|x||y||⩽1.{displaystyle left|{frac {(x,y)}{|x||y|}}right|leqslant 1.} ${displaystyle left|{frac {(x,y)}{|x||y|}}right|leqslant 1.}$ Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши — Буняковского — Шварца. Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника: |u+v|⩽|u|+|v|.{displaystyle |u+v|leqslant |u|+|v|.} $|u+v|leqslant |u|+|v|.$ Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d(x,y)=|x−y|{displaystyle d(x,y)=|x-y|} $d(x,y)=|x-y|$ задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x{displaystyle x} $x$ и y{displaystyle y} $y$ координатного пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ задаётся формулой d(x,y)=‖x−y‖=∑i=1n(xi−yi)2.{displaystyle d(mathbf {x} ,mathbf {y} )=|mathbf {x} -mathbf {y} |={sqrt {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.} $d(mathbf {x} ,mathbf {y} )=|mathbf {x} -mathbf {y} |={sqrt {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.$

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами (a1,a2,…,an){displaystyle (a_{1},a_{2},ldots ,a_{n})}

$(a_{1},a_{2},ldots ,a_{n})$ и (b1,b2,…,bn){displaystyle (b_{1},b_{2},ldots ,b_{n})} $(b_{1},b_{2},ldots ,b_{n})$ в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле (a,b)=a1b1+a2b2+⋯+anbn.{displaystyle (a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}.} $(a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}.$ В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, n{displaystyle n} $n$ -мерное евклидово пространство изоморфно Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора x{displaystyle x}

$x$ на подпространство U{displaystyle U} $U$ — это вектор h,{displaystyle h,} $h,$ ортогональный U,{displaystyle U,} $U,$ такой что x{displaystyle x} $x$ представим в виде u+h,{displaystyle u+h,} $u+h,$ где u∈U.{displaystyle uin U.} $uin U.$ Расстояние между концами векторов u{displaystyle u} $u$ и x{displaystyle x} $x$ является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора x{displaystyle x} $x$ до подпространства U.{displaystyle U.} $U.$ Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует, для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор x{displaystyle x}

$x$ евклидова пространства задаёт линейный функционал x∗{displaystyle x^{*}} $x^{*}$ на этом пространстве, определяемый как x∗(y)=(x,y).{displaystyle x^{*}(y)=(x,y).} $x^{*}(y)=(x,y).$ Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством[4] и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования, сохраняющие метрику (также называются изометриями). Пример движения — параллельный перенос на вектор v,{displaystyle v,}

$v,$ переводящий точку p{displaystyle p} $p$ в точку p+v.{displaystyle p+v.} $p+v.$ Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n×n, удовлетворяющих условию QTQ=E,,{displaystyle Q^{mathsf {T}}Q=E,,} $Q^{mathsf {T}}Q=E,,$ где QT{displaystyle Q^{mathsf {T}}} $Q^{mathsf {T}}$ — транспонированная матрица, а E{displaystyle E} $E$ — единичная матрица.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

E1{displaystyle mathbb {E} ^{1}} $mathbb {E} ^{1}$ размерности 1{displaystyle 1} $1$ (вещественная прямая)
E2{displaystyle mathbb {E} ^{2}} $mathbb {E} ^{2}$ размерности 2{displaystyle 2} $2$ (евклидова плоскость)
E3{displaystyle mathbb {E} ^{3}} $mathbb {E} ^{3}$ размерности 3{displaystyle 3} $3$ (евклидово трехмерное пространство)

Более абстрактный пример:

пространство вещественных многочленов p(x){displaystyle p(x)} $p(x)$ степени, не превосходящей n{displaystyle n} $n$ , со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например e−x2{displaystyle e^{-x^{2}}} $e^{-x^{2}}$ ).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве

Правильные многомерные многогранники (в частности, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр)
Гиперсфера

Связанные определения

В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (28 июля 2014)

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

Замена основного поля с поля вещественных чисел на поле комплексных чисел даёт определение унитарного (или эрмитова) пространства.
Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства.
Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства.

Примечания

↑ Гельфанд, 1998, с. 35.
↑ Гельфанд, 1998, с. 39.
↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 118.
↑ Данный результат верен также для псевдоевклидовых и унитарных пространств, для гильбертовых пространств он более сложен и называется теоремой Рисса.

Литература

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.