Проективное пространство

Разделы:

Проекти́вное простра́нство над телом K{displaystyle K} $K$ — пространство состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства L(K){displaystyle L(K)} $L(K)$ над данным телом.Данные прямые называются точками проективного пространства.

Если L{displaystyle L} $L$ имеет размерность n+1{displaystyle n+1} $n+1$ , то размерностью проективного пространства называется число n{displaystyle n} $n$ а само проективное пространство обозначается KPn{displaystyle KP^{n}} $KP^n$ и называется ассоциированным с L{displaystyle L} $L$ (чтобы это указать, принято обозначение P(L){displaystyle P(L)} $P(L)$ ).

Точки KPn{displaystyle KP^{n}} $KP^n$ можно описывать с помощью однородных координат.

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской, что наиболее интересно в случае проективной плоскости. Тогда оказывается, что проективная плоскость, определённая аксиомами, может быть определена как двухмерное проективное пространство над некоторым телом тогда и только тогда, когда выполняется т. н. аксиома Дезарга, которая для размерностей больших 2 является теоремой.

Table of Contents

Связанные определения

Пусть M{displaystyle M} $M$ есть гиперплоскость в линейном пространстве L{displaystyle L} $L$ . Проективное пространство P(M)⊂P(L){displaystyle P(M)subset P(L)} $P(M)subset P(L)$ называется проективной гиперплоскостью P(L){displaystyle P(L)} $P(L)$ .

Свойства

На дополнении проективной гиперплоскости A=P(L)∖P(M){displaystyle A=P(L)backslash P(M)} $A=P(L)backslash P(M)$ существует естественная структура аффинного пространства.
Обратно, взяв за основу аффинное пространство A{displaystyle A} $A$ можем получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.

Тавтологическое расслоение

Тавтологическим расслоением γn:E→RPn{displaystyle gamma ^{n}:Eto mathbb {R} P^{n}}

$gamma^n : E to mathbb{R}P^n$ называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения RPn×Rn+1{displaystyle mathbb {R} P^{n}times mathbb {R} ^{n+1}} $mathbb{R} P^ntimesmathbb{R}^{n+1}$

E(γn):={({±x},v)∈RPn×Rn+1:v=λx,λ∈R}.{displaystyle E(gamma ^{n}):={big {}({pm ;x},v)in mathbb {R} P^{n}times mathbb {R} ^{n+1}:v=lambda x,;lambda in mathbb {R} {big }}.}

E(gamma^n):=big{({pm;x},v)inmathbb{R}P^ntimesmathbb{R}^{n+1}:v=lambda x,;lambdainmathbb{R}big}.

а слоем — вещественная прямая R{displaystyle mathbb {R} }

$mathbb {R}$ . Каноническая проекция γn{displaystyle gamma ^{n}} $gamma^n$ отображает прямую, проходящую через точки ±x∈Rn+1{displaystyle pm xin mathbb {R} ^{n+1}} $pm x in mathbb{R}^{n+1}$ , в соответствующую точку проективного пространства. При n≥1{displaystyle ngeq 1} $ngeq 1$ это расслоение не является тривиальным. При n=1{displaystyle n=1} $n=1$ пространством расслоения является лента Мёбиуса.

Литература

Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.