Векторное произведение

• Разделы:
  • Определение
  • Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве
  • Свойства
  • Выражение в координатах
  • Вариации и обобщения
  • Алгебра Ли векторов
  • См. также
  • Примечания
  • Литература
  • Ссылки

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, норма которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется ориентацией пространства.

Векторное произведение в трёхмерном пространстве.

Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.Оно является антикоммутативным и, в отличие от скалярного произведения векторов, результат является опять вектором.

Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения.

Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Содержание

• 1 История
• 2 Определение
  • 2.1 Замечания
• 3 Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве
• 4 Свойства
  • 4.1 Геометрические свойства векторного произведения
  • 4.2 Алгебраические свойства векторного произведения
• 5 Выражение в координатах
• 6 Вариации и обобщения
  • 6.1 Кватернионы
  • 6.2 Преобразование к матричной форме
  • 6.3 Распространение на матрицы
  • 6.4 Размерности, не равные трём
• 7 Алгебра Ли векторов
• 8 См. также
• 9 Примечания
• 10 Литература
• 11 Ссылки

История

Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году[1] одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю[2].

Определение

Векторным произведением вектора a→{displaystyle {vec {a}}}

  на вектор b→{displaystyle {vec {b}}}  в пространстве R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}  называется вектор c→{displaystyle {vec {c}}} , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора c→{displaystyle {vec {c}}}  равна произведению длин векторов a→{displaystyle {vec {a}}}  и b→{displaystyle {vec {b}}}  на синус угла φ{displaystyle varphi }  между ними.
• вектор c→{displaystyle {vec {c}}}  ортогонален каждому из векторов a→{displaystyle {vec {a}}}  и b→{displaystyle {vec {b}}} ;
• вектор c→{displaystyle {vec {c}}}  направлен так, что тройка векторов a→,b→,c→{displaystyle {vec {a}},{vec {b}},{vec {c}}}  является правой;

Обозначение:

c→=[a→b→]=[a→,b→]=a→×b→=a→∧b→{displaystyle {vec {c}}=[{vec {a}}{vec {b}}]=[{vec {a}},;{vec {b}}]={vec {a}}times {vec {b}}={vec {a}}wedge {vec {b}}} 

Замечания

В качестве определения можно взять описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат.

Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения.

Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве

  Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов a→,b→,c→{displaystyle {vec {a}},{vec {b}},{vec {c}}}

  в трёхмерном пространстве.Совместим начала этих векторов в точке A{displaystyle A}  (то есть выберем произвольно в пространстве точку A{displaystyle A}  и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой A{displaystyle A} ).Концы векторов, совмещённых началами в точке A{displaystyle A} , не лежат на одной плоскости, так как векторы некомпланарны.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a→,b→,c→{displaystyle {vec {a}},{vec {b}},{vec {c}}}

  в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c→{displaystyle {vec {c}}}  кратчайший поворот от вектора a→{displaystyle {vec {a}}}  к вектору b→{displaystyle {vec {b}}}  виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Заметим, что определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

Существует также аналитический способ определения тройки векторов. Для этого надо составить матрицу, первой строкой которой будут координаты первого вектора (a→{displaystyle {vec {a}}}

 ), второй строкой координаты второго вектора (b→{displaystyle {vec {b}}} ) и третьей строкой координаты третьего вектора (c→{displaystyle {vec {c}}} ). Затем в зависимости от значения определителя можно сделать следующие выводы:

• Если определитель строго положителен, то тройка векторов правая.
• Если определитель строго отрицателен, то тройка векторов левая.
• Если определитель равен нулю, то векторы компланарны и, следовательно, линейно зависимы.

Свойства

Геометрические свойства векторного произведения

  Рисунок 1: Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения.  Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений.

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
• Модуль векторного произведения [a→,b→]{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]}  равняется площади S{displaystyle S}  параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a→{displaystyle {vec {a}}}  и b→{displaystyle {vec {b}}}  (см. Рисунок 1)
• Если e→{displaystyle {vec {e}}}  — единичный вектор, ортогональный векторам a→{displaystyle {vec {a}}}  и b→{displaystyle {vec {b}}}  и выбранный так, что тройка a→,b→,e→{displaystyle {vec {a}},{vec {b}},{vec {e}}}  — правая, а S{displaystyle S}  — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

[a→,b→]=S⋅e→{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]=Scdot {vec {e}}} 

• Если c→{displaystyle {vec {c}}}  — какой-нибудь вектор, π{displaystyle pi }  — любая плоскость, содержащая этот вектор, e→{displaystyle {vec {e}}}  — единичный вектор, лежащий в плоскости π{displaystyle pi }  и ортогональный к c→{displaystyle {vec {c}}} , g→{displaystyle {vec {g}}}  — единичный вектор, ортогональный к плоскости π{displaystyle pi }  и направленный так, что тройка векторов e→,c→,g→{displaystyle {vec {e}},{vec {c}},{vec {g}}}  является правой, то для любого лежащего в плоскости π{displaystyle pi }  вектора a→{displaystyle {vec {a}}}  справедлива формула

[a→,c→]=Pre→a→⋅|c→|⋅g→.{displaystyle [{vec {a}},;{vec {c}}]=mathrm {Pr} _{vec {e}}{vec {a}}cdot |{vec {c}}|cdot {vec {g}}.} 

• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

V=|⟨a→,[b→,c→]⟩|.{displaystyle V=|langle {vec {a}},;[{vec {b}},;{vec {c}}]rangle |.} 

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

V=⟨[a→,b→],c→⟩=⟨a→,[b→,c→]⟩.{displaystyle V=langle [{vec {a}},;{vec {b}}],;{vec {c}}rangle =langle {vec {a}},;[{vec {b}},;{vec {c}}]rangle .} 

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Алгебраические свойства векторного произведения

Далее [a→,b→]{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]}

  и ⟨a→,b→⟩{displaystyle langle {vec {a}},;{vec {b}}rangle }  обозначают соответственно векторное и скалярное произведение векторов a→{displaystyle {vec {a}}}  и b→{displaystyle {vec {b}}} .

Представление	Описание
[a→,b→]=−[b→,a→]{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]=-[{vec {b}},{vec {a}}]}	Антикоммутативность.
[α⋅a→,b→]=[a→,α⋅b→]=α⋅[a→,b→]{displaystyle [alpha cdot {vec {a}},;{vec {b}}]=[{vec {a}},;alpha cdot {vec {b}}]=alpha cdot [{vec {a}},;{vec {b}}]}	Ассоциативность умножения на скаляр.
[a→+b→,c→]=[a→,c→]+[b→,c→]{displaystyle [{vec {a}}+{vec {b}},;{vec {c}}]=[{vec {a}},;{vec {c}}]+[{vec {b}},;{vec {c}}]}	свойство дистрибутивности по сложению.
[[a→,b→],c→]+[[b→,c→],a→]+[[c→,a→],b→]=0{displaystyle [[{vec {a}},;{vec {b}}],;{vec {c}}]+[[{vec {b}},;{vec {c}}],;{vec {a}}]+[[{vec {c}},{vec {a}}],;{vec {b}}]=0}	тождество Якоби.
[a→,a→]=0→{displaystyle [{vec {a}},;{vec {a}}]={vec {0}}}
[a→,[b→,c→]]=b→⋅⟨a→,c→⟩−c→⋅⟨a→,b→⟩{displaystyle [{vec {a}},;[{vec {b}},;{vec {c}}]]={vec {b}}cdot langle {vec {a}},;{vec {c}}rangle -{vec {c}}cdot langle {vec {a}},;{vec {b}}rangle }	формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа.
|[a→,b→]|2+⟨a→,b→⟩2=|a→|2⋅|b→|2{displaystyle |[{vec {a}},,{vec {b}}]|^{2}+langle {vec {a}},,{vec {b}}rangle ^{2}=|{vec {a}}|^{2}cdot |{vec {b}}|^{2}}	Это частный случай мультипликативности нормы кватернионов.
⟨[a→,b→],c→⟩=⟨a→,[b→,c→]⟩{displaystyle langle [{vec {a}},,{vec {b}}],,{vec {c}}rangle =langle {vec {a}},,[{vec {b}},,{vec {c}}]rangle }	значение этого выражения называют смешанным произведением векторов a{displaystyle a} , b{displaystyle b} , c{displaystyle c} .

Выражение в координатах

Если два вектора a→{displaystyle {vec {a}}}

  и b→{displaystyle {vec {b}}}  определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

a→=(ax,ay,az){displaystyle {vec {a}}=(a_{x},;a_{y},;a_{z})} 

b→=(bx,by,bz){displaystyle {vec {b}}=(b_{x},;b_{y},;b_{z})} 

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

[a→,b→]=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx).{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},;a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).} 

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

[a→,b→]=|ijkaxayazbxbybz|{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]={begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} a_{x}&a_{y}&a_{z}b_{x}&b_{y}&b_{z}end{vmatrix}}} 

или

[a→,b→]i=∑j,k=13εijk⋅aj⋅bk,{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]_{i}=sum _{j,k=1}^{3}varepsilon _{ijk}cdot a_{j}cdot b_{k},} 

где εijk{displaystyle varepsilon _{ijk}}

  — символ Леви-Чивиты.

Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид

[a→,b→]=(azby−aybz,axbz−azbx,aybx−axby).{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},;a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x},;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).} 

Для запоминания, аналогично:

[a→,b→]=−|ijkaxayazbxbybz|{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]=-{begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} a_{x}&a_{y}&a_{z}b_{x}&b_{y}&b_{z}end{vmatrix}}} 

или

[a→,b→]i=−∑j,k=13εijk⋅aj⋅bk.{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]_{i}=-sum _{j,k=1}^{3}varepsilon _{ijk}cdot a_{j}cdot b_{k}.} 

Формулы для левой системы координат можно легко получить из формул правой системы координат, записав те же векторы a→{displaystyle {vec {a}}}

  и b→{displaystyle {vec {b}}}  во вспомогательной правой системе координат (i′=i,j′=j,k′=−k{displaystyle mathbf {i} ‘=mathbf {i} ,mathbf {j} ‘=mathbf {j} ,mathbf {k} ‘=-mathbf {k} } ):

[a→,b→]=|i′j′k′ax′ay′az′bx′by′bz′|=|ij−kaxay−azbxby−bz|=−|ijkaxayazbxbybz|.{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]={begin{vmatrix}mathbf {i} ‘&mathbf {j} ‘&mathbf {k} ‘a’_{x}&a’_{y}&a’_{z}b’_{x}&b’_{y}&b’_{z}end{vmatrix}}={begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &-mathbf {k} a_{x}&a_{y}&-a_{z}b_{x}&b_{y}&-b_{z}end{vmatrix}}=-{begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} a_{x}&a_{y}&a_{z}b_{x}&b_{y}&b_{z}end{vmatrix}}.} 

Вариации и обобщения

Кватернионы

Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы i{displaystyle mathbf {i} }

 , j{displaystyle mathbf {j} } , k{displaystyle mathbf {k} }  — стандартные обозначения для ортов в R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} : они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Заметим, что соотношения через векторное произведение между i{displaystyle mathbf {i} }

 , j{displaystyle mathbf {j} }  и k{displaystyle mathbf {k} }  соответствуют правилам умножения для кватернионов i{displaystyle i} , j{displaystyle j}  и k{displaystyle k} . Если представить вектор (a1,a2,a3){displaystyle (a_{1},;a_{2},;a_{3})}  как кватернион a1i+a2j+a3k{displaystyle a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k} , то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

Преобразование к матричной форме

Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

[a→,b→]=[a→]×b→=[0−a3a2a30−a1−a2a10][b1b2b3]{displaystyle [{vec {a}},;{vec {b}}]=[{vec {a}}]_{times }{vec {b}}={begin{bmatrix},0&!-a_{3}&,,a_{2},,a_{3}&0&!-a_{1}-a_{2}&,,a_{1}&,0end{bmatrix}}{begin{bmatrix}b_{1}b_{2}b_{3}end{bmatrix}}} 

[b→,a→]=b→T[a→]×=[b1b2b3][0−a3a2a30−a1−a2a10]{displaystyle [{vec {b}},;{vec {a}}]={vec {b}}^{T}[{vec {a}}]_{times }={begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}end{bmatrix}}{begin{bmatrix},0&!-a_{3}&,,,a_{2},,,a_{3}&,0&!-a_{1}-a_{2}&,,a_{1}&,0end{bmatrix}}} 

где

[a→]×=def[0−a3a2a30−a1−a2a10]{displaystyle [{vec {a}}]_{times }{stackrel {rm {def}}{=}}{begin{bmatrix},,0&!-a_{3}&,,,a_{2},,,a_{3}&0&!-a_{1}!-a_{2}&,,a_{1}&,,0end{bmatrix}}} 

Пусть a→{displaystyle {vec {a}}}

  равен векторному произведению:

a→=[c→,d→]{displaystyle {vec {a}}=[{vec {c}},;{vec {d}}]} 

тогда

[a→]×=(c→d→T)T−c→d→T.{displaystyle [{vec {a}}]_{times }=({vec {c}}{vec {d}}^{T})^{T}-{vec {c}}{vec {d}}^{T}.} 

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь n(n−1)/2{displaystyle n(n-1)/2}

  независимых компонент в n{displaystyle n} -мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

[a→]×a→=0→{displaystyle [{vec {a}}]_{times },{vec {a}}={vec {0}}}  и a→T[a→]×=0→{displaystyle {vec {a}}^{T},[{vec {a}}]_{times }={vec {0}}} 

а так как [a→]×{displaystyle [{vec {a}}]_{times }}

  кососимметрична, то

b→T[a→]×b→=0.{displaystyle {vec {b}}^{T},[{vec {a}}]_{times },{vec {b}}=0.} 

В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»).

Распространение на матрицы

В трёхмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу A{displaystyle A}

  как столбец векторов, тогда

[a→1a→2a→3]×b→=[a→1×b→a→2×b→a→3×b→]{displaystyle {begin{bmatrix}{vec {a}}_{1}{vec {a}}_{2}{vec {a}}_{3}end{bmatrix}}times {vec {b}}={begin{bmatrix}{vec {a}}_{1}times {vec {b}}{vec {a}}_{2}times {vec {b}}{vec {a}}_{3}times {vec {b}}end{bmatrix}}} 

[a→1a→2a→3]⋅b→=[a→1⋅b→a→2⋅b→a→3⋅b→]{displaystyle {begin{bmatrix}{vec {a}}_{1}{vec {a}}_{2}{vec {a}}_{3}end{bmatrix}}cdot {vec {b}}={begin{bmatrix}{vec {a}}_{1}cdot {vec {b}}{vec {a}}_{2}cdot {vec {b}}{vec {a}}_{3}cdot {vec {b}}end{bmatrix}}} 

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить A{displaystyle A}

  как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот.Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например (A{displaystyle A}  — матрица, x→{displaystyle {vec {x}}} , y→{displaystyle {vec {y}}}  — векторы):

A⋅(x→×y→)=(A×x→)⋅y→{displaystyle Acdot ({vec {x}}times {vec {y}})=(Atimes {vec {x}})cdot {vec {y}}} 

A×(x→×y→)=x→(A⋅y→)−y→(A⋅x→){displaystyle Atimes ({vec {x}}times {vec {y}})={vec {x}}(Acdot {vec {y}})-{vec {y}}(Acdot {vec {x}})} 

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

x→×y→=E⋅(x→×y→)=(E×x→)⋅y→{displaystyle {vec {x}}times {vec {y}}=Ecdot ({vec {x}}times {vec {y}})=(Etimes {vec {x}})cdot {vec {y}}} 

E{displaystyle E}

  — единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонентно, представляя их как «векторы из векторов», стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, теорема Стокса в R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}  примет вид:

∫ΣrotATdΣ=∫∂ΣA⋅dr,{displaystyle int limits _{Sigma }operatorname {rot} ,mathbf {A^{T}} ,mathbf {dSigma } =int limits _{partial Sigma }mathbf {A} cdot ,dmathbf {r} ,} 

где ротор матрицы A{displaystyle A}

  вычисляется как векторное произведение матрицы A{displaystyle A}  на оператор Гамильтона слева. В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

∫Σgradu×dΣ=∫∂Σudr,{displaystyle int limits _{Sigma }operatorname {grad} ,utimes ,mathbf {dSigma } =int limits _{partial Sigma }u,dmathbf {r} ,} 

∫Σ[dΣ;[∇;a]]=∫∂Σa×dr.{displaystyle int limits _{Sigma }left[mathbf {dSigma } ;left[nabla ;mathbf {a} right]right]=int limits _{partial Sigma }mathbf {a} times dmathbf {r} .} 

Размерности, не равные трём

Пусть n{displaystyle n}

  — размерность пространства.

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение Rn×Rn→Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}times mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}

 , можно ввести только для размерностей 3 и 7.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора (n−1){displaystyle (n-1)}

  векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в n{displaystyle n} -мерном пространстве на операцию с n{displaystyle n}  сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты εi1i2i3…in{displaystyle varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3}ldots i_{n}}}  с n{displaystyle n}  индексами, можно явно записать такое (n−1){displaystyle (n-1)} -валентное векторное произведение как

Pi(a,b,c,…)=∑j,k,m,…=1nεijk…ajbkcm…=det((e1⋮en),a,b,c,…)⋅ei{displaystyle P_{i}(mathbf {a,;b,;c,;ldots } )=sum _{j,;k,;m,;ldots =1}^{n}varepsilon _{ijkldots }a_{j}b_{k}c_{m}ldots =det({begin{pmatrix}mathbf {e_{1}} vdots mathbf {e_{n}} end{pmatrix}}mathbf {,a,b,c,ldots } )cdot mathbf {e_{i}} } 

P(a1,a2,…,an−1)=det((e1⋮en),a1,a2,…,an−1)=|e1e2⋯ena11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an−11an−12⋯an−1n|{displaystyle mathbf {P} (mathbf {a_{1},a_{2},ldots ,a_{n-1}} )=det({begin{pmatrix}mathbf {e_{1}} vdots mathbf {e_{n}} end{pmatrix}}mathbf {,a_{1},a_{2},ldots ,a_{n-1}} )={begin{vmatrix}mathbf {e_{1}} &mathbf {e_{2}} &cdots &mathbf {e_{n}} a_{1_{1}}&a_{1_{2}}&cdots &a_{1_{n}}a_{2_{1}}&a_{2_{2}}&cdots &a_{2_{n}}vdots &vdots &ddots &vdots a_{n-1_{1}}&a_{n-1_{2}}&cdots &a_{n-1_{n}}end{vmatrix}}}

 

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности (n−1){displaystyle (n-1)}

 .

Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при n≠3{displaystyle nneq 3}

  не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести бивектор, компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:

 Pij(a,b)=aibj−ajbi{displaystyle P_{ij}(mathbf {a,b} )=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}} .

Эта конструкция называется внешним произведением.

Для двумерного случая операция

 P(a,b)=a1b2−a2b1{displaystyle P(mathbf {a,b} )=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} .

называется псевдоскалярным произведением, так как получающееся пространство одномерно и результат есть псевдоскаляр. (Двухиндексное внешнее произведение, описанное выше, можно ввести и для двумерного пространства, однако оно, очевидно, достаточно тривиально связано с псевдоскалярным произведением, а именно внешнее произведение в этом случае представляется матрицей, на диагонали которой нули, а оставшиеся два недиагональных элемента равны псевдоскалярному произведению и минус псевдоскалярному произведению).

Алгебра Ли векторов

Векторное произведение вводит на R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}

  структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}  с касательной алгеброй Ли so(3){displaystyle so(3)}  к группе Ли SO(3){displaystyle SO(3)}  ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

См. также

Произведения векторов

• Псевдоскалярное произведение (только на плоскости!)
• Скалярное произведение векторов
• Смешанное (скалярно-векторное) произведение векторов (только в R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} )
• Двойное (векторно-векторное) произведение векторов (только в R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} )
• Векторное произведение в семимерном пространстве

Другое

• Ротор
• Дивергенция

Примечания

1. ↑ Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101.
2. ↑ Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. — London, 1846. — Т. 29. — С. 30.

Литература

• 1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.

Ссылки

•  Медиафайлы на Викискладе

• Многомерное векторное произведение
• Векторное произведение и его свойства. Примеры решения задач
• В. И. Гервидс. Правое и левое вращение  (неопр.) (flash). НИЯУ МИФИ (10 марта 2011). — Физические демонстрации. Дата обращения: 3 мая 2011.