Проекти́вная пло́скость — двумерное проективное пространство.Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет т. н. аксиома Дезарга, в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.
Проективная плоскость над телом K{displaystyle K} это множество прямых (одномерных подпространств) трёхмерного линейного пространства K3{displaystyle K^{3}}. Данные прямые называются точками проективной плоскости. Проективаная плоскость над телом K{displaystyle K} обычно обозначается KP2{displaystyle Kmathrm {P} ^{2}},например RP2{displaystyle mathbb {R} mathrm {P} ^{2}}, CP2{displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{2}}, HP2{displaystyle mathbb {H} mathrm {P} ^{2}} и т. д..
это множество прямых (одномерных подпространств) трёхмерного линейного пространства K3{displaystyle K^{3}}
. Данные прямые называются точками проективной плоскости. Проективаная плоскость над телом K{displaystyle K}
,например RP2{displaystyle mathbb {R} mathrm {P} ^{2}}
, CP2{displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{2}}
, HP2{displaystyle mathbb {H} mathrm {P} ^{2}}
и т. д..Содержание
- 1 Классическая проективная плоскость
- 2 Топология вещественной проективной плоскости
- 3 Литература
- 4 См. также
Классическая проективная плоскость
Классическая проективная плоскость П определяется следующими аксиомами. Первые четыре из них являются обязательными.
- П1. Через две различные точки P и Q плоскости П проходит прямая, причём только одна.
- П2. Любые две прямые имеют общую точку.
- П3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
- П4. Каждая прямая содержит не менее трёх точек
Дополнительными аксиомами являются следующие:
- П5. Аксиома Дезарга. Файл:Ax des.gif Аксиома Дезарга Если треугольники ABC и A’B’C’ таковы, что прямые AA’ , BB’ и CC’ пересекаются в точке O, то точки пересечения пар соответствующих сторон AB и A’B’ (P), BC и B’C’ (R), AC и A’C'(Q) лежат на одной прямой.
- П6. Аксиома Паппа.
Аксиома Паппа Если l и l’ две различные прямые, A,B,С — три различные точки на прямой l, а A’,B’,C’ — три различные точки l’, причём все эти точки отличны от О — точки пересечения прямых l и l’ , то точки пересечения пар соответствующих сторон AB’ и A’B (P), BC’ и B’C (R), AC’ и A’C (Q) лежат на одной прямой. - П7. Аксиома Фано.
Аксиома Фано Пусть A, B, C, D — точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведём все шесть прямых, соединяющих эти точки (AB, AC, AD, BC, BD, CD). Обозначим точку пересечения AB и CD через P, AC и BD через Q и AD и BC через R (диагональные точки). Эти диагональные точки не лежат на одной прямой.
Для любой проективной плоскости над телом выполняются аксиомы П1-П4 и аксиома Дезарга П5. Обратно, если в плоскости П выполняется аксиома Дезарга П5, то она есть проективная плоскость над некоторым телом K{displaystyle K}
.
Если выполняются аксиома Паппа П6 и аксиомы П1-П4, то выполняется и аксиома Дезарга П5. В этом случае П является проективной плоскостью над полем (то есть тело K коммутативно). Обратно, в любой проективной плоскости над полем выполняется аксиома Паппа.
Если выполняются аксиомы П1-П4 и аксиома Дезарга П5, то аксиома Фано П6 выполняется тогда и только тогда, когда П является проективной плоскостью над телом K{displaystyle K}
характеристики ≠2.
Топология вещественной проективной плоскости
Проективная плоскость как квадрат со склеенными сторонами
Проективная плоскость как круг с приклеенным листом Мёбиуса
Представим вещественную проективную плоскость P²(R) как множество прямых в R³ .Её точки образуют пучок всех прямых, проходящих через начало координат.Построим единичную сферу.Тогда каждая наша прямая (точка P²(R)) пересекает сферу в двух противоположных точках: x и -x.Из этого легко получается другая модель.Отбросим верхнюю полусферу z > 0.Каждой точке на отброшенной полусфере соответствует точка на нижней полусфере, а диаметрально противоположные точки на экваториальной окружности нижней полусферы отождествляются.«Выпрямляя» полусферу получаем круг, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной окружности.Круг гомеоморфен квадрату, противоположные стороны которого отождествляются (в направлении стрелок).Как показано на следующем рисунке этот квадрат гомеоморфен кругу D² с приклеенным листом Мёбиуса μ.Поэтому проективная плоскость неориентируема.
Файл:Trian proj pl.gif Триангуляция проективной плоскости
Группы гомологий проективной плоскости легко вычисляются: H0(P²) =Z , H1(P²)=Z2 и H2(P²)=0 , числа Бетти (ранги групп гомологий) равны соответственно b0=1, b0=0, b2=0 и эйлерова характеристика равна знакочередующейся сумме χ(P²)=b0-b1+b2=1Можно вычислить эйлерову характеристику и непосредственно из триангуляции χ(P²) (см. рис. слева) — число вершин равно 6, ребер 12 и граней 7, значит χ(P²)=6-12+7=1.
Согласно известной теореме о классификации поверхностей среди всех компактных, связных, замкнутых гладких многообразий проективная плоскость однозначно определяется тем, что она неориентируема и её эйлерова характеристика равна 1.
Фундаментальная группа π1(P²)= Z2, высшие гомотопические группы соответствуют таковым для сферы πn(P²)=πn(S²) для n≥2.
Литература
- Артин Э. Геометрическая алгебра. -М.:Наука, 1969
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. -М:Наука, 1979
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. -М:Наука, 1984
- Кокстер Г. С. М. Действительная проективная плоскость. -М:Физматгиз, 1959
- Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. -М:Наука, 1966
- Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. -М:МГУ, 1998
- Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. -М.:Мир, 1970
