Для термина «Замкнутость» см. также другие значения.
За́мкнутые мно́жества в общей топологии, функциональном анализе и математическом анализе — это дополнения к открытым множествам. Замкнутое множество содержит все свои точки прикосновения.
Содержание
Определение
Пусть дано топологическое пространство (X,T){displaystyle (X,{mathcal {T}})}
. Множество V⊂X{displaystyle Vsubset X} называется замкнутым относительно топологии T{displaystyle {mathcal {T}}} , если существует открытое множество U∈T,{displaystyle Uin {mathcal {T}},} такое что V=X∖U{displaystyle V=Xsetminus U} .
. 
называется замкнутым относительно топологии T{displaystyle {mathcal {T}}}
, если существует 
такое что V=X∖U{displaystyle V=Xsetminus U}
.Операция замыкания
Замыканием множества U{displaystyle U}
топологического пространства X{displaystyle X} называют минимальное по включению замкнутое множество Z{displaystyle Z} содержащее U{displaystyle U} . Замыкание множества U⊂X{displaystyle Usubset X} обычно обозначается U¯{displaystyle {bar {U}}} , ClU{displaystyle mathop {rm {Cl}} U} или ClXU{displaystyle mathop {rm {Cl}} _{X}U} если надо подчеркнуть что U¯{displaystyle {bar {U}}} рассматривается как множество в пространстве X{displaystyle X} .
топологического пространства X{displaystyle X}
называют минимальное по включению замкнутое множество Z{displaystyle Z}
содержащее U{displaystyle U}
обычно обозначается U¯{displaystyle {bar {U}}}
, ClU{displaystyle mathop {rm {Cl}} U}
или ClXU{displaystyle mathop {rm {Cl}} _{X}U}
если надо подчеркнуть что U¯{displaystyle {bar {U}}}Критерий замкнутости
Из определения операции замыкания следует практически очевидный критерий:U∈Cl(T)⇔clU=U{displaystyle Uin mathrm {Cl} ({mathcal {T}})Leftrightarrow mathrm {cl} ;U=U}
.
.Примеры
- Пустое множество ∅{displaystyle emptyset } всегда замкнуто.
- Отрезок [a,b]⊂R{displaystyle [a,b]subset mathbb {R} } замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, ибо его дополнение открыто.
- Множество Q∩[0,1]{displaystyle mathbb {Q} cap [0,1]} замкнуто в пространстве рациональных чисел Q{displaystyle mathbb {Q} } , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } .
всегда замкнуто.![[a,b]subset {mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659536067aaaac2db1c44613a09a715f0cf7246)
замкнут в стандартной топологии на ![{mathbb {Q}}cap [0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822d49c61001a9fd0fee4578855b367df40dc4ca)
замкнуто в пространстве 
, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} }
.