Главная » wiki

Группа (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Группа.

Гру́ппа в математике — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп[1].

Один из примеров группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых чисел также даёт целое число, роль нейтрального элемента играет ноль, а число с противоположным знаком является обратным элементом. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря абстрактному определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике образующих множеств, в теории групп создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как точечные группы симметрии, помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группа Пуанкаре характеризует симметрию физического пространства-времени, а специальные унитарные группы применяются в стандартной модели физики элементарных частиц[2].

Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы[3].

Современная теория групп является активным разделом математики[4]. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в классификации простых конечных групп, которая была завершена в 1981 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве[5]. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

Содержание

Определение

Непустое множество G{displaystyle G}

  с заданной на нём бинарной операцией ∗{displaystyle {*}} : G×G→G{displaystyle mathrm {G} times mathrm {G} rightarrow mathrm {G} }  называется группой (G,∗){displaystyle (mathrm {G} ,*)} , если выполнены следующие аксиомы:

  1. ассоциативность: ∀(a,b,c∈G):(a∗b)∗c=a∗(b∗c){displaystyle forall (a,b,cin G)colon (a*b)*c=a*(b*c)} ;
  2. наличие нейтрального элемента: ∃e∈G∀a∈G:(e∗a=a∗e=a){displaystyle exists ein Gquad forall ain Gcolon (e*a=a*e=a)} ;
  3. наличие обратного элемента: ∀a∈G∃a−1∈G:(a∗a−1=a−1∗a=e){displaystyle forall ain Gquad exists a^{-1}in Gcolon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)} .

Последние две аксиомы можно заменить одной аксиомой существования операции обратной ∗{displaystyle *}

 :

∀(a,b∈G)∃(x,y∈G):(a∗x=b)∧(y∗a=b){displaystyle forall (a,bin G)quad exists (x,yin G)colon (a*x=b)land (y*a=b)}

 .

При этом вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального элемента и левого обратного элемента. При этом можно доказать, что они автоматически будут обычным нейтральным и обратным элементами[6].

Связанные определения

Основная статья: Словарь терминов теории групп

  • В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности.
    • Пары элементов a,b{displaystyle a,;b} , для которых выполнено равенство a∗b=b∗a{displaystyle a*b=b*a} , называются перестановочными или коммутирующими.
    • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
    • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
  • Подгруппа — подмножество H{displaystyle H}  группы G{displaystyle G} , которое является группой относительно операции, определённой в G{displaystyle G} .
  • Порядок группы (G,∗){displaystyle (G,*)}  — мощность G{displaystyle G}  (то есть число её элементов).
    • Если множество G{displaystyle G}  конечно, то группа называется конечной.
  • Гомоморфизмы групп — это отображения групп, которые сохраняют групповую структуру. То есть отображение групп f:(G,∗)→(H,×){displaystyle fcolon (G,*)to (H,times )}  называется гомоморфизмом, если удовлетворяет условию f(a∗b)=f(a)×f(b){displaystyle f(a*b)=f(a)times f(b)} .
  • Две группы называются изоморфными, если существуют гомоморфизм групп f:(G,∗)→(H,×){displaystyle fcolon (G,*)to (H,times )}  и гомоморфизм групп g:(H,×)→(G,∗){displaystyle gcolon (H,times )to (G,*)} , такие что f(g(a))=a{displaystyle f(g(a))=a}  и g(f(b))=b{displaystyle g(f(b))=b} , где b∈G{displaystyle bin G}  и a∈H{displaystyle ain H} . В этом случае эти гомоморфизмы называются изоморфизмами.
  • Для элемента g∈G{displaystyle gin G}  левый смежный класс по подгруппе H{displaystyle H}  — множество gH={gh∣h∈H}{displaystyle gH={ghmid hin H}} , правый смежный класс по подгруппе H{displaystyle H}  — множество Hg={hg∣h∈H}{displaystyle Hg={hgmid hin H}} .
  • Нормальная подгруппа — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Для любого g∈G{displaystyle gin G} , gH=Hg{displaystyle gH=Hg} .
  • Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.

Стандартные обозначения

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

  • результат операции называют произведением и записывают a⋅b{displaystyle acdot b}  или ab{displaystyle ab} ;
  • нейтральный элемент обозначается «1{displaystyle 1} » или e{displaystyle e}  и называется единицей;
  • обратный к a{displaystyle a}  элемент записывается как a−1{displaystyle a^{-1}} .

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу G{displaystyle mathrm {G} }

  при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: (G,⋅){displaystyle (mathrm {G} ,cdot )} .

Кратные произведения aa{displaystyle aa}

 , aaa{displaystyle aaa} , …{displaystyle …}  записывают в виде натуральных степеней a2{displaystyle a^{2}} , a3{displaystyle a^{3}} ,…{displaystyle …} [7]. Для элемента a{displaystyle a}  корректно[8] определена целая степень, записывается следующим образом: a0=e{displaystyle a^{0}=e} , a−n=(a−1)n{displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n}} .

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

  • пишут «a+b{displaystyle a+b} » и называют получившийся элемент суммой элементов a{displaystyle a}  и b{displaystyle b} ;
  • нейтральный элемент обозначают как «0{displaystyle 0} » и называют его нулём;
  • обратный элемент к a{displaystyle a}  обозначают как «−a{displaystyle -a} » и называют его противоположным к a{displaystyle a}  элементом;
  • запись сокращают следующим образом: a+(−b)=a−b{displaystyle a+(-b)=a-b} ;
  • выражения вида a+a{displaystyle a+a} , a+a+a{displaystyle a+a+a} ,−a−a{displaystyle -a-a}  обозначают символами 2a{displaystyle 2a} , 3a{displaystyle 3a} , −2a{displaystyle -2a} .

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу G{displaystyle mathrm {G} }

  при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: (G,+){displaystyle (mathrm {G} ,+)} .[9]Этот термин относится только к способу записи операции в группе; он полезен, когда на множестве задано несколько операций. Например, можно говорить об аддитивной группе вещественных чисел или о мультипликативной группе положительных вещественных чисел.

Примеры

  • Множество целых чисел, снабжённое операцией сложения, является группой.
  • Множество всех рациональных чисел, кроме нуля, с операцией умножения является группой.

Группы применяются в различных областях математики. Например, в топологии, введя понятие фундаментальной группы[10].Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в криптографии, которая опирается на вычислительную теорию групп и знания в области алгоритмов.

  Часы показывают время по модулю 12. n=129+4≡1(mod12){displaystyle {begin{aligned}n=129+4&equiv 1{pmod {12}},end{aligned}}} .

В модульной арифметике складывают два целых числа, а полученную сумму делят на целое положительное число, называемое впоследствии модулем. Результатом модульной операции является остаток от деления. Для любого модуля n{displaystyle n}

  множество целых чисел от 0{displaystyle 0}  до n−1{displaystyle n-1}  образует группу по сложению. Обратнымэлементом к a{displaystyle a}  является число a−1=n−a{displaystyle a^{-1}=n-a} , нейтральный элемент — 0{displaystyle 0} . Наглядным примером такой группымогут быть часы с циферблатом[11].

Применение теории групп не ограничивается только математикой, её широко используют в таких науках как физика, химия и информатика.

  • Целые числа с операцией сложения. (Z,+){displaystyle (mathbb {Z} ,+)}  — коммутативная группа с нейтральным элементом 0{displaystyle 0} . Целые числа с операцией умножения не будут образовывать группу. Замкнутость, ассоциативность и существование нейтрального элемента будет иметь место, но не выполнится аксиома о существовании обратного элемента. Например, a=2{displaystyle a=2} , тогда a⋅b=1{displaystyle acdot b=1}  то есть b=1/2{displaystyle b=1/2} . Обратный элемент не является целым числом[12].
  • Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность, а нейтральным элементом является единица[12].
  • Свободная группа с двумя образующими (F2{displaystyle F_{2}} ) состоит из пустого слова (единица группы) и всех конечных слов из четырёх символов a{displaystyle a} , a−1{displaystyle a^{-1}} , b{displaystyle b}  и b−1{displaystyle b^{-1}}  таких, что a{displaystyle a}  не появляется рядом с a−1{displaystyle a^{-1}}  и b{displaystyle b}  не появляется рядом с b−1{displaystyle b^{-1}} . Операция умножения таких слов — это просто соединение двух слов в одно с последующим сокращением пар aa−1{displaystyle aa^{-1}} , a−1a{displaystyle a^{-1}a} , bb−1{displaystyle bb^{-1}}  и b−1b{displaystyle b^{-1}b} [13].
  • Симметрическая группа. Множество всех биекций конечного множества в себя с операцией композиции является конечной группой, которая называется симметрической группой, или группой перестановок. Мощность конечной симметрической группы Sn{displaystyle S_{n}}  для множества из n{displaystyle n}  элементов равна n!{displaystyle n!} . При n≥3{displaystyle ngeq 3}  эта группа не является абелевой[14]. Любая конечная группа является подгруппой некоторой симметрической группы (теорема Кэли)[12][15].

  6 комплексных корней из единицы образуют циклическую группу

  • Циклические группы состоят из степеней ⟨a⟩={an∣n∈Z}{displaystyle langle arangle ={a^{n}mid nin mathbb {Z} }}  одного элемента a{displaystyle a} . Элемент a{displaystyle a}  называется образующим циклической группы. Циклические группы всегда коммутативны. Примером такой группы являются уже упомянутые целые числа по сложению. Циклической будет группа, состоящая из n{displaystyle n}  комплексных корней из единицы, то есть группа комплексных чисел z{displaystyle z} , удовлетворяющих условию zn=1{displaystyle z^{n}=1}  и операции умножения комплексных чисел[16]. Мультипликативная конечная группа (G,⋅){displaystyle (mathrm {G} ,cdot )}  также является циклической. Например, 3{displaystyle 3}  является образующим элементом группы G{displaystyle mathrm {G} }  при n=5{displaystyle n=5} :
31≡3(mod5)32≡4(mod5)33≡2(mod5)34≡1(mod5){displaystyle {begin{aligned}3^{1}&equiv 3{pmod {5}}3^{2}&equiv 4{pmod {5}}3^{3}&equiv 2{pmod {5}}3^{4}&equiv 1{pmod {5}},end{aligned}}} 

Простейшие свойства

  • Для каждого элемента a{displaystyle a}  обратный элемент a−1{displaystyle a^{-1}}  единственен.
  • Нейтральный элемент единственен:
    Если e1,e2{displaystyle e_{1},e_{2}} — нейтральные, то e1⋅e2=e1=e2⋅e1=e2=e1{displaystyle e_{1}cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}cdot e_{1}=e_{2}=e_{1}} .
  • (am)n=amn{displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}} .
  • (a−1)−1=a{displaystyle (a^{-1})^{-1}=a} .
  • am+n=am⋅an{displaystyle a^{m+n}=a^{m}cdot a^{n}} .
  • en=e{displaystyle e^{n}=e} , для любого n∈Z{displaystyle nin mathbb {Z} } [9].
  • (ab)−1=b−1a−1{displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}} .
  • Верны законы сокращения:
    c⋅a=c⋅b⇔a=b{displaystyle ccdot a=ccdot bLeftrightarrow a=b} ,
    a⋅c=b⋅c⇔a=b{displaystyle acdot c=bcdot cLeftrightarrow a=b} .
  • Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент[19].
  • Группа содержит единственное решение x{displaystyle x}  любого уравнения x⋅c=b{displaystyle xcdot c=b}  или c⋅x=b{displaystyle ccdot x=b} ; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление»[1].
  • Пересечение двух подгрупп группы G{displaystyle mathrm {G} }  есть подгруппа группы G{displaystyle mathrm {G} } [20].
  • Теорема Лагранжа: если G{displaystyle mathrm {G} }  — группа конечного порядка g{displaystyle g} , то порядок g1{displaystyle g_{1}}  любой её подгруппы G1{displaystyle mathrm {G_{1}} }  является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы[21].
  • Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы

Группу можно задать:

  • С помощью порождающего множества[22] и набора соотношений между его элементами;
  • Факторгруппой G/H{displaystyle G/H} , где G{displaystyle G}  — некоторая группа и H{displaystyle H}  — её нормальная подгруппа[23];
  • Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
    • Прямым произведением двух групп (G,⋅){displaystyle (G,cdot )}  и (H,⋅){displaystyle (H,cdot )} , то есть множеством G×H{displaystyle Gtimes H}  пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)⋅(g2,h2)=(g1⋅g2,h1⋅h2){displaystyle (g_{1},h_{1})cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}cdot g_{2},h_{1}cdot h_{2})} [24];
  • Свободным произведением двух групп: свободное произведение групп G{displaystyle G}  и H{displaystyle H}  есть группа, система образующих[25] которой есть объединение систем образующих G{displaystyle G}  и H{displaystyle H} , a система соотношений[26] есть объединение систем соотношений G{displaystyle G}  и H{displaystyle H} [27].

История

Современное понятие группы сформировалось из нескольких областей математики. Первоначальной движущей силой теории групп были поиски решений алгебраических уравнений степени выше четырёх. Французский математик 19-го века Эварист Галуа, доработав исследования Руффини и Лагранжа, дал критерий разрешимости конкретного алгебраического уравнения с точки зрения группы симметрии его решений. Элементы такой группы Галуа соответствуют определённым перестановкам корней. Идеи Галуа были отвергнуты современниками и опубликованы посмертно Лиувиллем в 1846 году. Опираясь на те же работы, что и Галуа, Коши подробно исследовал группы перестановок[3]. Впервые понятие конечной группы вводит Артур Кэли в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θn = 1» (англ. «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn={displaystyle =}

 1″)[28].

Геометрия — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть «Эрлангенской программы» немецкого математика Феликса Клейна. После возникновения новых разделов геометрии, таких как гиперболическая и проективная геометрии, Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия группы Ли в математику в 1884 году[3].

Третья область математики, поспособствовавшая развитию теории групп, — теория чисел. Некоторые абелевы группы были неявно использованы в работе Гаусса «Арифметические исследования» (1801). В 1847 году Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Великую теорему Ферма с помощью групп, описывающих разложения на простые числа. В 1870 году Кронекер обобщил работы Куммера и дал близкое к современному определение конечной абелевой группе[3].

Обособление теории групп началось с работы Камиля Жордана «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870)[29]. В 20 веке теория групп начала активно развиваться. Появились на свет пионерская работа Фробениуса и Бёрнсайда о представлении конечных групп, модульная теория представлений Ричарда Браура и записи Шура. Значительных успехов в изучении теории групп Ли и локально компактных групп достигли Вейль и Картан. Алгебраическим дополнением этих теорий стала теория алгебраических групп, впервые сформулированная Клодом Шевалле, позднее упоминаемая в работах Бореля и Титса[3].

В 1960—61 учебном году в Чикагском университете проходил год теории групп, который собрал вместе таких теоретиков как Даниель Горенстейн, Джон Томпсон и Уолтер Фейт, тем самым заложив фундамент сотрудничества большого числа математиков, которые впоследствии вывели теорему о классификации всех простых конечных групп в 1980-х годах. Этот проект превысил по своим размерам все предыдущие попытки классифицировать группы, как по длине доказательств, так и по количеству учёных, вовлечённых в эту работу. Текущие исследования направлены на упрощение классификации групп. В настоящее время теория групп продолжает активно развиваться и оказывать влияние на остальные разделы математики[5][30][31].

Вариации и обобщения

Группы с дополнительной структурой

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий это — групповые объекты в категории; иными словами, это — объекты (то есть, например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством, так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств)[35].

Кольца

Основная статья: Кольцо (математика)

Кольцо — множество K{displaystyle K}

 , на котором определены бинарные операции коммутативного сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения К образует группу, а умножение связано со сложением дистрибутивным законом.

Кольцо называют коммутативным и ассоциативным, если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца 1{displaystyle 1}

  называется единицей, если выполнено условие: a⋅1=1⋅a=a{displaystyle acdot 1=1cdot a=a} , где a{displaystyle a}  — любой элемент кольца.

Числовые множества Z, Q, R являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество векторов с операцией векторного умножения является антикоммутативным кольцом (то есть a⋅b=−b⋅a{displaystyle acdot b=-bcdot a}

 ) в силу свойств векторного умножения[36]: a×b+b×a=0{displaystyle atimes b+btimes a=0} .

Поля

Основная статья: Поле (алгебра)

Поле — это коммутативное ассоциативное кольцо F{displaystyle F}

  с единицей, причём относительно сложения F{displaystyle F}  образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Множества рациональных и вещественных чисел являются полями. В любом поле a⋅b=0{displaystyle acdot b=0}  только при a=0{displaystyle a=0}  и/или b=0{displaystyle b=0} [37].

Топологические группы

Основная статья: Топологическая группа

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой.

Именно, топологическая группа — это группа, являющаяся одновременно топологическим пространством, причём умножение элементов группы G×G→G{displaystyle mathrm {G} times mathrm {G} rightarrow mathrm {G} }

  и операция взятия обратного элемента G→G{displaystyle mathrm {G} rightarrow mathrm {G} }  оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии[38]. Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространствах Top[35].

Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа вещественных чисел (R,+){displaystyle (mathbb {R} ,+)}

 , мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел (R∗,⋅){displaystyle (mathbb {R^{*}} ,cdot )} , полная линейная группа GL(n){displaystyle GL(n)} , специальная линейная группа SL(n){displaystyle SL(n)} , ортогональная группа O(n){displaystyle O(n)} , специальная ортогональная группа SO(n){displaystyle SO(n)} , унитарная группа U(n){displaystyle U(n)} , специальная унитарная группа SU(n){displaystyle SU(n)} [39].

Группы Ли

Основная статья: Группа Ли

Группа Ли (в честь Софуса Ли) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля вещественных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы G×G→G{displaystyle mathrm {G} times mathrm {G} rightarrow mathrm {G} }

  и операция взятия обратного элемента G→G{displaystyle mathrm {G} rightarrow mathrm {G} }  оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений). При этом всякая комплексная n{displaystyle n} -мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности 2n{displaystyle 2n} [40].

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий; так, группу Ли образуют[41]изометрии вида E→E{displaystyle mathrm {E} rightarrow mathrm {E} }

 , где E{displaystyle mathrm {E} }  — евклидово точечное пространство. Полученная группа, обозначаемая Is(E){displaystyle Is(mathrm {E} )} [42], является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства E{displaystyle mathrm {E} } , обозначаемой Aff(E){displaystyle Aff(mathrm {E} )} [43].

Группы Ли являются лучшими из многообразий в плане богатства имеющейся на них структуры и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике[40].

См. также

Примечания

  1. ↑ 1 2 Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 16. — 288 с. — 11 800 экз.
  2. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 9—14. — 288 с. — 11 800 экз.
  3. ↑ 1 2 3 4 5 Israel Kleiner. The Evolution of Group Theory: A Brief Survey (англ.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1986. — October (vol. 59, no. 4). — P. 195—215. — doi:10.2307/2690312.
  4. ↑ Только в 2005 году, согласно данным MathSciNet, было опубликовано более 2 тыс. исследовательских работ в области Group theory and generalisations.
  5. ↑ 1 2 Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию = Finite simple Groups. An Introduction to Their Classification / под ред. А.И. Кострикина. — Мир. — Москва: Мир, 1985. — С. 9—17. — 352 с. — 5250 экз.
  6. ↑ Сагалович, 2010, с. 50.
  7. ↑ Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности
  8. ↑ Корректность вытекает из единственности обратного элемента.
  9. ↑ 1 2 Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 18. — 288 с. — 11 800 экз.
  10. ↑ Hatcher Allen. Algebraic topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — P. 30. — ISBN 978-0-486-45868-7.
  11. ↑ М. Вельшенбах. Глава 5. Модульная математика: вычисление в классах вычетов. // Криптография на C и С++ в действии. — М.: «Триумф», 2004. — С. 81—84. — 464 с. — ISBN 5-89392-083-X.
  12. ↑ 1 2 3 Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 18—19. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
  13. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 122—124. — 288 с. — 11 800 экз.
  14. ↑ Курош А. Г. Теория групп / под ред. Брудно К. Ф. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1967. — С. 34. — 648 с. — 20 000 экз.
  15. ↑ Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 351. — 559 с. — 40 000 экз.
  16. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 162—163. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  17. ↑ Schönert, Martin. Analyzing Rubik’s Cube with GAP (англ.). Дата обращения: 19 июля 2013. Архивировано 5 сентября 2013 года.
  18. ↑ Постников М. М. Теория Галуа. — Москва: Физматгиз, 1963. — С. 126—127. — 220 с. — 11 500 экз.
  19. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 17. — 288 с. — 11 800 экз.
  20. ↑ Сагалович, 2010, с. 56.
  21. ↑ Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 353. — 559 с. — 40 000 экз.
  22. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 24. — 288 с. — 11 800 экз.
  23. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 45—46. — 288 с. — 11 800 экз.
  24. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е. — Факториал Пресс, 2001. — С. 409, 415. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  25. ↑ Ленг С. Алгбра. М.: Мир, 1964. С. 23.
  26. ↑ Ленг С. Алгбра. М.: Мир, 1964. С. 52.
  27. ↑ Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 330—331. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
  28. ↑ Cayley (1854) «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1», Philosophical Magazine, 4th series, (42) : 40-47.
  29. ↑ Wussing, Hans. The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory. — Review of General Psychology. — Нью-Йорк: Dover Publications, 2007. — P. 154. — ISBN 978-0-486-45868-7.
  30. ↑ Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov. Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004) (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : журнал. — 2005. — August (vol. 52, no. 7). — P. 728—735.
  31. ↑ Wilson, Robert A. The finite simple groups. — Graduate Texts in Mathematics. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2009. — P. 2—5. — ISBN 978-1-84800-987-5. — doi:10.1007/978-1-84800-988-2.
  32. ↑ Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 5. — 223 с. — 2800 экз.
  33. ↑ Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 6. — 223 с. — 2800 экз.
  34. ↑ 1 2 Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 346—347. — 559 с. — 40 000 экз.
  35. ↑ 1 2 Букур И., Деляну А. Введение // Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categories and functors / пер. с англ. Д. А. Райкова , В. Ф. Ретах . — М.: Мир, 1972. — С. 9—10. — 259 с.
  36. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 14—15. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  37. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 16. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  38. ↑ Бурбаки Н.  Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969.  С. 12.
  39. ↑ Рохлин В. А., Фукс Д. Б.  Начальный курс топологии. Геометрические главы.  М.: Наука, 1977.  С. 268—271.
  40. ↑ 1 2 Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 501. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
  41. ↑ Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. С. 201.
  42. ↑ Дьедонне Ж.  Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.: Наука, 1972. С. 129.
  43. ↑ Долгачёв И. В., Широков А. П. Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т. 1. М.: Сов. энциклопедия, 1982. Стб. 362—363.

Литература

Научная литература

  • Сагалович Ю. Л. Введение в алгебраические коды — 2-е изд. — М.: ИППИ РАН, 2010. — 320 с. — ISBN 978-5-901158-14-2
  • Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
  • Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
  • Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
  • Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
  • Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

Популярная литература

Вам также может быть интересно
Художник Алексей Сергиенко намерен продать более 1000 картин за 8 часов
Арт-бизнесмен и художник из Санкт-Петербурга Алексей Сергиенко объявил о старте проекта «Библиотека», призванного поддержать
Мармакс: доля клиентов, заинтересованных в трейд-ин, выросла до 50%
В современных реалиях на рынке недвижимости набирает популярность услуга трейд-ин. По данным экспертов девелоперской