Центр масс

Разделы:

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого[1]. Не является тождественным понятию центра тяжести (хотя чаще всего совпадает).

Содержание

1 Определение
2 Центры масс плоских однородных фигур
3 Центры масс периметров однородных фигур
4 В механике
- 4.1 Центр масс в релятивистской механике
5 Центр тяжести
6 См. также
7 Примечания
8 Литература

Определение

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом[2]:

r→c=∑imir→i∑imi,{displaystyle {vec {r}}_{c}={frac {sum limits _{i}m_{i}{vec {r}}_{i}}{sum limits _{i}m_{i}}},}

{vec r}_{c}={frac {sum limits _{i}m_{i}{vec r}_{i}}{sum limits _{i}m_{i}}},

где r→c{displaystyle {vec {r}}_{c}}

${vec r}_{c}$ — радиус-вектор центра масс, r→i{displaystyle {vec {r}}_{i}} ${vec r}_{i}$ — радиус-вектор i-й точки системы, mi{displaystyle ~m_{i}} $~m_{i}$ — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

r→c=1M∫Vρ(r→)r→dV,{displaystyle {vec {r}}_{c}={1 over M}int limits _{V}rho ({vec {r}}){vec {r}}dV,}

{vec r}_{c}={1 over M}int limits _{V}rho ({vec r}){vec r}dV,

M=∫Vρ(r→)dV,{displaystyle M=int limits _{V}rho ({vec {r}})dV,}

M=int limits _{V}rho ({vec r})dV,

где M{displaystyle ~M}

$~M$ — суммарная масса системы, V{displaystyle ~V} $~V$ — объём, ρ{displaystyle ~rho } $~rho$ — плотность.Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами Mi{displaystyle M_{i}}

$M_{i}$ , то радиус-вектор центра масс такой системы Rc{displaystyle R_{c}} $R_{c}$ связан с радиус-векторами центров масс тел Rci{displaystyle R_{ci}} $R_{{ci}}$ соотношением[3]:

R→c=∑iMiR→ci∑iMi.{displaystyle {vec {R}}_{c}={frac {sum limits _{i}M_{i}{vec {R}}_{ci}}{sum limits _{i}M_{i}}}.}

{vec R}_{c}={frac {sum limits _{i}M_{i}{vec R}_{{ci}}}{sum limits _{i}M_{i}}}.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Центры масс плоских однородных фигур

У отрезка — середина.
У многоугольников (как сплошных плоских фигур, так и каркасов):
- У параллелограмма — точка пересечения диагоналей.
- У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.
У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении 4:3π от центра круга.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

xs=Vy2πS{displaystyle x_{s}={frac {V_{y}}{2pi S}}}

x_{s}={frac {V_{y}}{2pi S}}

и ys=Vx2πS{displaystyle y_{s}={frac {V_{x}}{2pi S}}}

y_{s}={frac {V_{x}}{2pi S}}

, где Vx,Vy{displaystyle V_{x},V_{y}}

V_{x},V_{y}

— объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S{displaystyle S}

S

— площадь фигуры.

Центры масс периметров однородных фигур

Центр масс сторон треугольника находится в центре вписанной окружности дополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера. Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центром вписанной окружности дополнительного треугольника или с центром Шпикера.

В механике

Понятие центра масс широко используется в механике и физике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

r→c=∑ir→iEi∑iEi,{displaystyle {vec {r}}_{c}={frac {sum limits _{i}{vec {r}}_{i}E_{i}}{sum limits _{i}E_{i}}},}

{vec r}_{c}={frac {sum limits _{i}{vec r}_{i}E_{i}}{sum limits _{i}E_{i}}},

где r→c{displaystyle {vec {r}}_{c}}

${vec r}_{c}$ — радиус-вектор центра масс, r→i{displaystyle {vec {r}}_{i}} ${vec r}_{i}$ — радиус-вектор i-й частицы системы, Ei{displaystyle ~E_{i}} $~E_{i}$ — полная энергия i-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами[4].

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (center-of-mass). Оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

v→c=c2∑iEi⋅∑ip→i.{displaystyle {vec {v}}_{c}={frac {c^{2}}{sum limits _{i}E_{i}}}cdot sum limits _{i}{vec {p}}_{i}.}

{vec v}_{c}={frac {c^{2}}{sum limits _{i}E_{i}}}cdot sum limits _{i}{vec p}_{i}.

Центр тяжести

Центр тяжестиУ этого термина существуют и другие значения, см. Центр тяжести (значения).

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также

Примечания

↑ Тарг С. М. Центр инерции (центр масс) // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 624—625. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.
↑ Журавлёв, 2001, с. 66.
↑ Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Выпуск 2. Пространство. Время. Движение // Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1965. — 164 с. — С. 68.
↑ Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля

Литература

Бобылёв Д. К. Центр, в физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3..