Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Разделы:

В этой статье векторы выделены жирным шрифтом, а их абсолютные величины — курсивом, например, |A|=A{displaystyle |mathbf {A} |=A}

|{mathbf {A}}|=A

В классической механике ве́ктором Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца называется вектор, в основном используемый для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета вращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой интеграл движения, то есть его направление и величина являются постоянными независимо от того, в какой точке орбиты они вычисляются[1]; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца сохраняется при гравитационном взаимодействии двух тел. Это утверждение можно обобщить для любой задачи с двумя телами, взаимодействующими посредством центральной силы, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Такая задача называется Кеплеровой задачей [2].

Например, такой потенциал возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона, движущегося в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма их относительного движения может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.

Согласно принципу соответствия у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода [3], ещё перед открытием уравнения Шрёдингера.

В задаче Кеплера имеется необычная особенность: конец вектора импульса p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ всегда движется по кругу [4][5]. Из-за расположения этих кругов для заданной полной энергии E{displaystyle E} $E$ проблема Кеплера математически эквивалентна частице, свободно перемещающейся в четырёхмерной сфере S3{displaystyle S_{3}} $S_{{3}}$ [6]. По этой математической аналогии, сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца эквивалентен дополнительным компонентам углового момента в четырёхмерном пространстве [7].

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих учёных не вывел его впервые. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца открывался вновь несколько раз [8]. Он также эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета в небесной механике [9]. Точно так же для него нет никакого общепринятого обозначения, хотя обычно используется A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ . Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые определены ниже, используется символ A{displaystyle {mathcal {A}}} $mathcal{A}$ .

Содержание

Контекст

Одиночная частица, движущаяся под воздействием любой консервативной центральной силы, имеет, по крайней мере, четыре интеграла движения (сохраняющиеся при движении величины): полная энергия E{displaystyle E} $E$ и три компоненты углового момента (вектора L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ ). Орбита частицы лежит в плоскости, которая определяется начальным импульсом частицы, p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ (или, что эквивалентно, скоростью v{displaystyle mathbf {v} } $mathbf{v}$ ) и координатами, то есть радиус-вектором r{displaystyle mathbf {r} } $mathbf {r}$ между центром силы и частицей (см. рис. 1). Эта плоскость перпендикулярна постоянному вектору L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ , что может быть выражено математически с помощью скалярного произведения r⋅L=0{displaystyle mathbf {r} cdot mathbf {L} =0} ${mathbf {r}}cdot {mathbf {L}}=0$ .

Как определено ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ всегда находится в плоскости движения — то есть, A⋅L=0{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {L} =0} ${mathbf {A}}cdot {mathbf {L}}=0$ — для любой центральной силы. Также A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ является постоянным только для силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния [2]. Если центральная сила приблизительно зависит от обратного квадрата расстояния, вектор A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ является приблизительно постоянным по длине, но медленно вращается. Для большинства центральных сил, однако, этот вектор A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ не постоянный, а изменяет длину и направление. Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle {mathcal {A}}} $mathcal{A}$ может быть определён для всех центральных сил, но этот вектор — сложная функция положения и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях [10][11].

История

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, наподобие движения планеты вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что является менее интуитивно понятным вектором, чем импульс и угловой момент. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия [8]. Яков Герман был первым, кто показал, что A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ сохраняется для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния [12], и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты. Работа Херманна была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году [13]. В свою очередь, Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия открыл сохранение A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ вновь, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники [14].

В середине XIX века Уильям Гамильтон получил эквивалент вектора эксцентриситета, определённый ниже [9], использовав его, чтобы показать, что конец вектора импульса p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ двигается по кругу под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 3) [4]. В начале XX столетия Уиллард Гиббс получил тот же самый вектор с помощью векторного анализа [15]. Вывод Гиббса использовал Карл Рунге в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера [16], на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о квантовомеханическом (старом) рассмотрении атома водорода [17].

В 1926 году этот вектор использовал Вольфганг Паули, чтобы вывести спектр атома водорода, используя современную матричную квантовую механику, а не уравнение Шрёдингера [3]. После публикации Паули вектор стал, главным образом, известен как вектор Рунге — Ленца.

Математическое определение

Рис. 1: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle scriptstyle mathbf {A} } $scriptstyle {mathbf {A}}$ (показанный красным цветом) в четырёх точках (обозначенных 1, 2, 3 и 4) на эллиптической орбите связанной точечной частицы, движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния. Маленький чёрный круг обозначает центр притяжения. От него начинаются радиус-векторы (выделены чёрным цветом), направленные в точки 1, 2, 3 и 4. Вектор углового момента L{displaystyle scriptstyle mathbf {L} } $scriptstyle {mathbf {L}}$ направлен перпендикулярно орбите. Компланарные векторы p×L{displaystyle scriptstyle mathbf {p} times mathbf {L} } $scriptstyle {mathbf {p}}times {mathbf {L}}$ , (mk/r)r{displaystyle scriptstyle (mk/r)mathbf {r} } $scriptstyle (mk/r){mathbf {r}}$ и A{displaystyle scriptstyle mathbf {A} } $scriptstyle {mathbf {A}}$ изображены синим, зелёным и красным цветами, соответственно; эти переменные определены ниже. Вектор A{displaystyle scriptstyle mathbf {A} } $scriptstyle {mathbf {A}}$ является постоянным по направлению и величине.

Для одиночной частицы, движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением F(r)=−kr2r^{displaystyle mathbf {F} (r)={frac {-k}{r^{2}}}mathbf {hat {r}} } ${mathbf {F}}(r)={frac {-k}{r^{2}}}{mathbf {{hat {r}}}}$ , вектор Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ определён математически по формуле [2]

A=p×L−mkr^,{displaystyle mathbf {A} =mathbf {p} times mathbf {L} -mkmathbf {hat {r}} ,}

{mathbf {A}}={mathbf {p}}times {mathbf {L}}-mk{mathbf {{hat {r}}}},

где

m{displaystyle m!,} $m!,$ — масса точечной частицы, движущейся под воздействием центральной силы,
p{displaystyle mathbf {p} !,} ${mathbf {p}}!,$ — вектор импульса,
L=r×p{displaystyle mathbf {L} =mathbf {r} times mathbf {p} !,} ${mathbf {L}}={mathbf {r}}times {mathbf {p}}!,$ — вектор углового момента,
k{displaystyle k!,} $k!,$ — параметр, описывающий величину центральной силы,
r^{displaystyle mathbf {hat {r}} !,} ${mathbf {{hat {r}}}}!,$ — единичный вектор, то есть r^=rr{displaystyle mathbf {hat {r}} ={frac {mathbf {r} }{r}}} ${mathbf {{hat {r}}}}={frac {{mathbf {r}}}{r}}$ , где r{displaystyle mathbf {r} !,} ${mathbf {r}}!,$ — радиус-вектор положения частицы, и r{displaystyle r} $r$ — его длина.

Поскольку мы предположили, что сила консервативная, то полная энергия E{displaystyle E} $E$ сохраняется

E=p22m−kr=12mv2−kr.{displaystyle E={frac {p^{2}}{2m}}-{frac {k}{r}}={frac {1}{2}}mv^{2}-{frac {k}{r}}.}

E={frac {p^{2}}{2m}}-{frac {k}{r}}={frac {1}{2}}mv^{2}-{frac {k}{r}}.

Из центральности силы следует, что вектор углового момента L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ также сохраняется и определяет плоскость, в которой частица совершает движение. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ перпендикулярен вектору углового момента L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ и, таким образом, находится в плоскости орбиты. Уравнение A⋅L=0{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {L} =0} ${mathbf {A}}cdot {mathbf {L}}=0$ верно, потому что вектора p×L{displaystyle mathbf {p} times mathbf {L} } ${mathbf {p}}times {mathbf {L}}$ и r{displaystyle mathbf {r} } $mathbf {r}$ перпендикулярны L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ .

Это определение вектора Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ применимо для единственной точечной частицы с массой m{displaystyle m} $m$ , движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале. Кроме того, то же самое определение может быть расширено на проблему с двумя телами, наподобие проблемы Кеплера, если заменить m{displaystyle m} $m$ на приведённую массу этих двух тел и r{displaystyle mathbf {r} } $mathbf {r}$ на вектор между этими телами.

Круговой годограф импульса

Сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ и вектора углового момента L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ используется в доказательстве того, что вектор импульса p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ движется по кругу под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Вычисляя векторное произведение A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ и L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ , приходим к уравнению для p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$

L2p=L×A−mkr^×L.{displaystyle L^{2}mathbf {p} =mathbf {L} times mathbf {A} -mk{hat {mathbf {r} }}times mathbf {L} .}

L^{2}{mathbf {p}}={mathbf {L}}times {mathbf {A}}-mk{hat {{mathbf {r}}}}times {mathbf {L}}.

Направляя вектор L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ вдоль оси z{displaystyle z} $z$ , а главную полуось — по оси x{displaystyle x} $x$ , приходим к уравнению

px2+(py−A/L)2=(mk/L)2.{displaystyle p_{x}^{2}+(p_{y}-A/L)^{2}=(mk/L)^{2}.}

p_{x}^{2}+(p_{y}-A/L)^{2}=(mk/L)^{2}.

Другими словами, вектор импульса p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ ограничен окружностью радиуса mk/L{displaystyle mk/L} $mk/L$ , центр которой расположен в точке с координатами (0,A/L){displaystyle (0,;A/L)} $(0,;A/L)$ . Эксцентриситет e{displaystyle e} $e$ соответствует косинусу угла η{displaystyle eta } $eta$ , показанного на рис. 2. Для краткости можно ввести переменную p0=2m|E|{displaystyle p_{0}={sqrt {2m|E|}}} $p_{0}={sqrt {2m|E|}}$ . Круговой годограф полезен для описания симметрии проблемы Кеплера.

Интегралы движения и суперинтегрируемость

Семь скалярных величин: энергия E{displaystyle E} $E$ и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ и момента импульса L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ — связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности A⋅L=0{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {L} =0} ${mathbf {A}}cdot {mathbf {L}}=0$ , а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше A2=m2k2+2mEL2{displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}} $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$ . Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ (и эксцентриситет e{displaystyle e} $e$ орбиты) можно определить из полного углового момента L{displaystyle L} $L$ и энергии E{displaystyle E} $E$ , то утверждается, что только направление A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ сохраняется независимо. Кроме того, вектор A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ должен быть перпендикулярным L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.

Механическая система с d{displaystyle d} $d$ степенями свободы может обладать максимум 2d−1{displaystyle 2d-1} $2d-1$ интегралами движения, поскольку 2d{displaystyle 2d} $2d$ начальных условия и начальное время не могут быть определены из интегралов движения. Система с более чем d{displaystyle d} $d$ интегралами движения называется суперинтегрируемой, а система с 2d−1{displaystyle 2d-1} $2d-1$ интегралами называется максимально суперинтегрируемой [18]. Поскольку решение уравнения Гамильтона — Якоби в одной системе координат может привести только к d{displaystyle d} $d$ интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат [19]. Проблема Кеплера — максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы (d=3{displaystyle d=3} $d=3$ ) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах [20], как описано ниже. Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием только коммутационных соотношений, как показано ниже [21].

Уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах

Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах (ξ,η){displaystyle (xi ,;eta )} $(xi ,;eta )$ , которые определяются следующим образом

ξ=r+x,{displaystyle xi =r+x,}

xi =r+x,

η=r−x,{displaystyle eta =r-x,}

eta =r-x,

где r{displaystyle r} $r$ — радиус в плоскости орбиты

r=x2+y2.{displaystyle r={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

r={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Обратное преобразование этих координат запишется в виде

x=12(ξ−η),{displaystyle x={frac {1}{2}}(xi -eta ),}

x={frac {1}{2}}(xi -eta ),

y=ξη.{displaystyle y={sqrt {xi eta }}.}

y={sqrt {xi eta }}.

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения [20][22]

2ξpξ2−mk−mEξ=−β,{displaystyle 2xi p_{xi }^{2}-mk-mExi =-beta ,}

2xi p_{xi }^{2}-mk-mExi =-beta ,

2ηpη2−mk−mEη=β,{displaystyle 2eta p_{eta }^{2}-mk-mEeta =beta ,}

2eta p_{eta }^{2}-mk-mEeta =beta ,

где β{displaystyle beta } $beta$ — интеграл движения. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса px{displaystyle p_{x}} $p_{x}$ и py{displaystyle p_{y}} $p_{y}$ можно показать, что β{displaystyle beta } $beta$ эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца

β=py(xpy−ypx)−mkxr=Ax.{displaystyle beta =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{frac {x}{r}}=A_{x}.}

beta =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{frac {x}{r}}=A_{x}.

Этот подход Гамильтона — Якоби может использоваться, чтобы вывести сохраняющийся обобщённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle {mathcal {A}}} $mathcal{A}$ в присутствии электрического поля E{displaystyle mathbf {E} } $mathbf {E}$ [20][23]

A=A+mq2[(r×E)×r],{displaystyle {mathcal {A}}=mathbf {A} +{frac {mq}{2}}left[(mathbf {r} times mathbf {E} )times mathbf {r} right],}

{mathcal {A}}={mathbf {A}}+{frac {mq}{2}}left[({mathbf {r}}times {mathbf {E}})times {mathbf {r}}right],

где q{displaystyle q} $q$ — заряд обращающейся частицы.

Альтернативная формулировка

В отличие от импульса p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ и углового момента L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ , у вектора Лапласа — Рунге — Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение даётся выше, но другое определение возникает после деления на постоянную mk{displaystyle mk} $mk$ , чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета

e=1mk(p×L)−r^=mk(v×r×v)−r^,{displaystyle mathbf {e} ={frac {1}{mk}}(mathbf {p} times mathbf {L} )-mathbf {hat {r}} ={frac {m}{k}}(mathbf {v} times mathbf {r} times mathbf {v} )-mathbf {hat {r}} ,}

{mathbf {e}}={frac {1}{mk}}({mathbf {p}}times {mathbf {L}})-{mathbf {{hat {r}}}}={frac {m}{k}}({mathbf {v}}times {mathbf {r}}times {mathbf {v}})-{mathbf {{hat {r}}}},

где v{displaystyle mathbf {v} } $mathbf{v}$ — вектор скорости. Направление этого скалированного вектора e{displaystyle mathbf {e} } $mathbf {e}$ совпадает с направлением A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ , и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ на m{displaystyle m} $m$ ,

M=v×L−kr^{displaystyle mathbf {M} =mathbf {v} times mathbf {L} -kmathbf {hat {r}} }

{mathbf {M}}={mathbf {v}}times {mathbf {L}}-k{mathbf {{hat {r}}}}

или на p0{displaystyle p_{0}} $p_{0}$

D=Ap0=12m|E|{p×L−mkr^},{displaystyle mathbf {D} ={frac {mathbf {A} }{p_{0}}}={frac {1}{sqrt {2m|E|}}}{mathbf {p} times mathbf {L} -mkmathbf {hat {r}} },}

{mathbf {D}}={frac {{mathbf {A}}}{p_{0}}}={frac {1}{{sqrt {2m|E|}}}}{{mathbf {p}}times {mathbf {L}}-mk{mathbf {{hat {r}}}}},

который имеет ту же размерность, что и угловой момент (вектор L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ ). В редких случаях, знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включают a{displaystyle mathbf {a} } ${mathbf {a}}$ , R{displaystyle mathbf {R} } $mathbf {R}$ , F{displaystyle mathbf {F} } $mathbf {F}$ , J{displaystyle mathbf {J} } ${mathbf {J}}$ и V{displaystyle mathbf {V} } ${mathbf {V}}$ . Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа — Рунге — Ленца, конечно же, не влияет на его сохранение.

Рис. 3: Вектор углового момента L{displaystyle scriptstyle mathbf {L} } $scriptstyle {mathbf {L}}$ , вектор Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle scriptstyle mathbf {A} } $scriptstyle {mathbf {A}}$ и вектор Гамильтона, бинормаль B{displaystyle scriptstyle mathbf {B} } $scriptstyle {mathbf {B}}$ , являются взаимно перпендикулярными; A{displaystyle scriptstyle mathbf {A} } $scriptstyle {mathbf {A}}$ и B{displaystyle scriptstyle mathbf {B} } $scriptstyle {mathbf {B}}$ указывают на большую и на малую полуоси, соответственно, эллиптической орбиты в задаче Кеплера.

Альтернативный сохраняющийся вектор: бинормаль — вектор B{displaystyle mathbf {B} } $mathbf {B}$ изучен Уильямом Гамильтоном [9]

B=p−(mkL2r)(L×r),{displaystyle mathbf {B} =mathbf {p} -left({frac {mk}{L^{2}r}}right)(mathbf {L} times mathbf {r} ),}

{mathbf {B}}={mathbf {p}}-left({frac {mk}{L^{2}r}}right)({mathbf {L}}times {mathbf {r}}),

который сохраняется и указывает вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A=B×L{displaystyle mathbf {A} =mathbf {B} times mathbf {L} } ${mathbf {A}}={mathbf {B}}times {mathbf {L}}$ является векторным произведением B{displaystyle mathbf {B} } $mathbf {B}$ и L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ (рис. 3). Вектор B{displaystyle mathbf {B} } $mathbf {B}$ обозначен как бинормаль, так как он перпендикулярен как A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ , так и L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ . Подобно вектору Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.

Два сохраняющиеся вектора, A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ и B{displaystyle mathbf {B} } $mathbf {B}$ можно объединить в сохраняющийся двухэлементный тензор W{displaystyle mathbf {W} } ${mathbf {W}}$

W=αA⊗A+βB⊗B,{displaystyle mathbf {W} =alpha mathbf {A} otimes mathbf {A} +beta mathbf {B} otimes mathbf {B} ,}

{mathbf {W}}=alpha {mathbf {A}}otimes {mathbf {A}}+beta {mathbf {B}}otimes {mathbf {B}},

где ⊗{displaystyle otimes } $otimes$ обозначает тензорное произведение, а α{displaystyle alpha } $alpha$ и β{displaystyle beta } $beta$ — произвольные множители [10]. Записанное в компонетной записи это уравнение читается так

Wij=αAiAj+βBiBj.{displaystyle W_{ij}=alpha A_{i}A_{j}+beta B_{i}B_{j}.}

W_{{ij}}=alpha A_{i}A_{j}+beta B_{i}B_{j}.

Векторы A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ и B{displaystyle mathbf {B} } $mathbf {B}$ ортогональны друг другу, и их можно представить как главные оси сохраняющегося тензора W{displaystyle mathbf {W} } ${mathbf {W}}$ , то есть как его собственные вектора. W{displaystyle mathbf {W} } ${mathbf {W}}$ перпендикулярен L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$

L⋅W=α(L⋅A)A+β(L⋅B)B=0,{displaystyle mathbf {L} cdot mathbf {W} =alpha (mathbf {L} cdot mathbf {A} )mathbf {A} +beta (mathbf {L} cdot mathbf {B} )mathbf {B} =0,}

{mathbf {L}}cdot {mathbf {W}}=alpha ({mathbf {L}}cdot {mathbf {A}}){mathbf {A}}+beta ({mathbf {L}}cdot {mathbf {B}}){mathbf {B}}=0,

поскольку A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ и B{displaystyle mathbf {B} } $mathbf {B}$ перпендикулярны, то L⋅A=L⋅B=0{displaystyle mathbf {L} cdot mathbf {A} =mathbf {L} cdot mathbf {B} =0} ${mathbf {L}}cdot {mathbf {A}}={mathbf {L}}cdot {mathbf {B}}=0$ .

Вывод орбит Кеплера

Рис. 4: Упрощенная версия рис. 1. Определяется угол θ{displaystyle theta } $theta$ между A{displaystyle scriptstyle mathbf {A} } $scriptstyle {mathbf {A}}$ и r{displaystyle scriptstyle mathbf {r} } $scriptstyle {mathbf {r}}$ в одной точке орбиты.

Форму и ориентацию орбиты в задаче Кеплера, зная вектор Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ , можно определить следующим образом. Рассмотрим скалярное произведение векторов A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ и r{displaystyle mathbf {r} } $mathbf {r}$ (положения планеты):

A⋅r=Arcos⁡θ=r⋅(p×L)−mkr,{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {r} =Arcos theta =mathbf {r} cdot (mathbf {p} times mathbf {L} )-mkr,}

{mathbf {A}}cdot {mathbf {r}}=Arcos theta ={mathbf {r}}cdot ({mathbf {p}}times {mathbf {L}})-mkr,

где θ{displaystyle theta } $theta$ является углом между r{displaystyle mathbf {r} } $mathbf {r}$ и A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ (рис. 4). Поменяем порядок множителей в смешанном произведении r⋅(p×L)=L⋅(r×p)=L⋅L=L2{displaystyle mathbf {r} cdot (mathbf {p} times mathbf {L} )=mathbf {L} cdot (mathbf {r} times mathbf {p} )=mathbf {L} cdot mathbf {L} =L^{2}} ${mathbf {r}}cdot ({mathbf {p}}times {mathbf {L}})={mathbf {L}}cdot ({mathbf {r}}times {mathbf {p}})={mathbf {L}}cdot {mathbf {L}}=L^{2}$ , и при помощи несложных преобразований получим определение для конического сечения:

1r=mkL2(1+Amkcos⁡θ){displaystyle {frac {1}{r}}={frac {mk}{L^{2}}}left(1+{frac {A}{mk}}cos theta right)}

{frac {1}{r}}={frac {mk}{L^{2}}}left(1+{frac {A}{mk}}cos theta right)

с эксцентриситетом e{displaystyle e!,} $e!,$ , заданным по формуле:

e=Amk=|A|mk.{displaystyle e={frac {A}{mk}}={frac {|mathbf {A} |}{mk}}.}

e={frac {A}{mk}}={frac {|{mathbf {A}}|}{mk}}.

Приходим к выражению квадрата модуля вектора A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ в виде

A2=m2k2+2mEL2,{displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},}

A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},

которое можно переписать, используя эксцентриситет орбиты

e2−1=2L2mk2E.{displaystyle e^{2}-1={frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.}

e^{2}-1={frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.

Таким образом, если энергия отрицательна, что соответствует связанным орбитам, эксцентриситет меньше, чем единица, и орбита имеет форму эллипса. Наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые орбитами рассеяния), эксцентриситет больше, чем единица, и орбита — гипербола. Наконец, если энергия точно равна нулю, эксцентриситет — единица, и орбита — парабола. Во всех случаях, вектор A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ направлен вдоль оси симметрии конического сечения и указывает на точку самого близкого положения точечной частицы от начала координат (перицентр).

Сохранение под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния

Сила F{displaystyle mathbf {F} } $mathbf {F}$ , действующая на частицу, предполагается центральной. Поэтому

F=dpdt=f(r)rr=f(r)r^{displaystyle mathbf {F} ={frac {dmathbf {p} }{dt}}=f(r){frac {mathbf {r} }{r}}=f(r)mathbf {hat {r}} }

{mathbf {F}}={frac {d{mathbf {p}}}{dt}}=f(r){frac {{mathbf {r}}}{r}}=f(r){mathbf {{hat {r}}}}

для некоторой функции f(r){displaystyle f(r)} $f(r)$ радиуса r{displaystyle r} $r$ . Поскольку угловой момент L=r×p{displaystyle mathbf {L} =mathbf {r} times mathbf {p} } ${mathbf {L}}={mathbf {r}}times {mathbf {p}}$ сохраняется под действием центральных сил, то ddtL=0{displaystyle {frac {d}{dt}}mathbf {L} =0} ${frac {d}{dt}}{mathbf {L}}=0$ и

ddt(p×L)=dpdt×L=f(r)r^×(r×mdrdt)=f(r)mr[r(r⋅drdt)−r2drdt],{displaystyle {frac {d}{dt}}(mathbf {p} times mathbf {L} )={frac {dmathbf {p} }{dt}}times mathbf {L} =f(r)mathbf {hat {r}} times left(mathbf {r} times m{frac {dmathbf {r} }{dt}}right)=f(r){frac {m}{r}}left[mathbf {r} left(mathbf {r} cdot {frac {dmathbf {r} }{dt}}right)-r^{2}{frac {dmathbf {r} }{dt}}right],}

{frac {d}{dt}}({mathbf {p}}times {mathbf {L}})={frac {d{mathbf {p}}}{dt}}times {mathbf {L}}=f(r){mathbf {{hat {r}}}}times left({mathbf {r}}times m{frac {d{mathbf {r}}}{dt}}right)=f(r){frac {m}{r}}left[{mathbf {r}}left({mathbf {r}}cdot {frac {d{mathbf {r}}}{dt}}right)-r^{2}{frac {d{mathbf {r}}}{dt}}right],

где импульс записан в виде p=mdrdt{displaystyle mathbf {p} =m{frac {dmathbf {r} }{dt}}} ${mathbf {p}}=m{frac {d{mathbf {r}}}{dt}}$ , и тройное векторное произведение упростилось с помощью формулы Лагранжа

r×(r×drdt)=r(r⋅drdt)−r2drdt.{displaystyle mathbf {r} times left(mathbf {r} times {frac {dmathbf {r} }{dt}}right)=mathbf {r} left(mathbf {r} cdot {frac {dmathbf {r} }{dt}}right)-r^{2}{frac {dmathbf {r} }{dt}}.}

{mathbf {r}}times left({mathbf {r}}times {frac {d{mathbf {r}}}{dt}}right)={mathbf {r}}left({mathbf {r}}cdot {frac {d{mathbf {r}}}{dt}}right)-r^{2}{frac {d{mathbf {r}}}{dt}}.

Тождество

ddt(r⋅r)=2r⋅drdt=ddt(r2)=2rdrdt{displaystyle {frac {d}{dt}}(mathbf {r} cdot mathbf {r} )=2mathbf {r} cdot {frac {dmathbf {r} }{dt}}={frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{frac {dr}{dt}}}

{frac {d}{dt}}({mathbf {r}}cdot {mathbf {r}})=2{mathbf {r}}cdot {frac {d{mathbf {r}}}{dt}}={frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{frac {dr}{dt}}

приводит к уравнению

ddt(p×L)=−mf(r)r2[1rdrdt−rr2drdt]=−mf(r)r2ddt(rr).{displaystyle {frac {d}{dt}}(mathbf {p} times mathbf {L} )=-mf(r)r^{2}left[{frac {1}{r}}{frac {dmathbf {r} }{dt}}-{frac {mathbf {r} }{r^{2}}}{frac {dr}{dt}}right]=-mf(r)r^{2}{frac {d}{dt}}left({frac {mathbf {r} }{r}}right).}

{frac {d}{dt}}({mathbf {p}}times {mathbf {L}})=-mf(r)r^{2}left[{frac {1}{r}}{frac {d{mathbf {r}}}{dt}}-{frac {{mathbf {r}}}{r^{2}}}{frac {dr}{dt}}right]=-mf(r)r^{2}{frac {d}{dt}}left({frac {{mathbf {r}}}{r}}right).

Для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорциональной квадрату расстояния f(r)=−kr2{displaystyle f(r)={frac {-k}{r^{2}}}} $f(r)={frac {-k}{r^{2}}}$ , последнее выражение равно

ddt(p×L)=mkddt(rr)=ddt(mkr^).{displaystyle {frac {d}{dt}}(mathbf {p} times mathbf {L} )=mk{frac {d}{dt}}left({frac {mathbf {r} }{r}}right)={frac {d}{dt}}(mkmathbf {hat {r}} ).}

{frac {d}{dt}}({mathbf {p}}times {mathbf {L}})=mk{frac {d}{dt}}left({frac {{mathbf {r}}}{r}}right)={frac {d}{dt}}(mk{mathbf {{hat {r}}}}).

Тогда A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ сохраняется в этом случае

ddtA=ddt(p×L)−ddt(mkr^)=0.{displaystyle {frac {d}{dt}}mathbf {A} ={frac {d}{dt}}(mathbf {p} times mathbf {L} )-{frac {d}{dt}}(mkmathbf {hat {r}} )=0.}

{frac {d}{dt}}{mathbf {A}}={frac {d}{dt}}({mathbf {p}}times {mathbf {L}})-{frac {d}{dt}}(mk{mathbf {{hat {r}}}})=0.

Как показано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ является частным случаем обобщённого сохраняющегося вектора A{displaystyle {mathcal {A}}} $mathcal{A}$ , который может быть определён для любой центральной силы [11][10]. Однако большинство центральных сил не формируют замкнутых орбит (см. теорема Бертрана), аналогичный вектор A{displaystyle {mathcal {A}}} $mathcal{A}$ редко имеет простое определение и в общем случае представляет собой многозначную функцию угла θ{displaystyle theta } $theta$ между r{displaystyle mathbf {r} } $mathbf {r}$ и A{displaystyle {mathcal {A}}} $mathcal{A}$ .

Изменение под действием возмущающих центральных сил

Рис. 5: Медленно прецессирующая эллиптическая орбита, с эксцентриситетом e=0,9{displaystyle scriptstyle e=0{,}9} $scriptstyle e=0{,}9$ . Такая прецессия возникает в проблеме Кеплера, если притягивающая центральная сила немного отличается от закона тяготения Ньютона. Скорость прецессии можно вычислить, используя приведённые в параграфе формулы.

Во многих практических проблемах, типа планетарного движения, взаимодействие между двумя телами только приблизительно зависит обратно пропорционально квадрату расстояния. В таких случаях вектор Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ не постоянен. Однако, если возмущающий потенциал h(r){displaystyle h(r)} $h(r)$ зависит только от расстояния, то полная энергия E{displaystyle E} $E$ и вектор углового момента L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ сохраняются. Поэтому траектория движения всё ещё находится в перпендикулярной к L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ плоскости, и величина A{displaystyle A} $A$ сохраняется, согласно уравнению A2=m2k2+2mEL2{displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}} $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$ . Следовательно, направление A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ медленно вращается по орбите в плоскости. Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол, можно прямо показать [2], что A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ вращается со скоростью

∂∂L⟨h(r)⟩=∂∂L{1T∫0Th(r)dt}=∂∂L{mL2∫02πr2h(r)dθ},{displaystyle {frac {partial }{partial L}}langle h(r)rangle ={frac {partial }{partial L}}left{{frac {1}{T}}int limits _{0}^{T}h(r),dtright}={frac {partial }{partial L}}left{{frac {m}{L^{2}}}int limits _{0}^{2pi }r^{2}h(r),dtheta right},}

{frac {partial }{partial L}}langle h(r)rangle ={frac {partial }{partial L}}left{{frac {1}{T}}int limits _{0}^{T}h(r),dtright}={frac {partial }{partial L}}left{{frac {m}{L^{2}}}int limits _{0}^{{2pi }}r^{2}h(r),dtheta right},

где T{displaystyle T} $T$ — период орбитального движения и равенство Ldt=mr2dθ{displaystyle L,dt=mr^{2},dtheta } $L,dt=mr^{2},dtheta$ использовалось, чтобы преобразовать интеграл по времени в интеграл по углу (рис. 5). Например, принимая во внимание эффекты общей теории относительности, приходим к добавке, которая в отличие от обычной гравитационной силы Ньютона зависит обратно пропорционально кубу расстояния [24]:

h(r)=kL2m2c2(1r3).{displaystyle h(r)={frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}left({frac {1}{r^{3}}}right).}

h(r)={frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}left({frac {1}{r^{3}}}right).

Подставляя эту функцию в интеграл и используя уравнение

1r=mkL2(1+Amkcos⁡θ),{displaystyle {frac {1}{r}}={frac {mk}{L^{2}}}left(1+{frac {A}{mk}}cos theta right),}

{frac {1}{r}}={frac {mk}{L^{2}}}left(1+{frac {A}{mk}}cos theta right),

чтобы выразить r{displaystyle r} $r$ в терминах θ{displaystyle theta } $theta$ , скорость прецессии перицентра, вызванная этим возмущением, запишется в виде [24]

6πk2TL2c2.{displaystyle {frac {6pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}.}

{frac {6pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}.

которая близка по значению к величине прецессии для Меркурия необъяснённой ньютоновской теорией гравитации [25]. Это выражение используется для оценки прецессии, связанной с поправками общей теории относительности для двойных пульсаров [26]. Это согласие с экспериментом является сильным аргументом в пользу общей теории относительности [27].

Теория групп

Преобразование Ли

Рис. 6: Преобразование Ли, из которого выводится сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle scriptstyle mathbf {A} } $scriptstyle {mathbf {A}}$ . Когда скалируемый параметр λ{displaystyle scriptstyle lambda } $scriptstyle lambda$ изменяется, энергия и угловой момент тоже меняются, но эксцентриситет e{displaystyle scriptstyle e} $scriptstyle e$ и вектор A{displaystyle scriptstyle mathbf {A} } $scriptstyle {mathbf {A}}$ не изменяются.

Существует другой метод вывода вектора Лапласа — Рунге — Ленца, использующий вариацию координат без привлечения скоростей [28]. Скалирование координат r{displaystyle mathbf {r} } $mathbf {r}$ и времени t{displaystyle t} $t$ с разной степенью параметра λ{displaystyle lambda } $lambda$ (рис. 6)

t→λ3t,r→λ2r,p→1λp.{displaystyle tto lambda ^{3}t,;mathbf {r} to lambda ^{2}mathbf {r} ,;mathbf {p} to {frac {1}{lambda }}mathbf {p} .}

tto lambda ^{3}t,;{mathbf {r}}to lambda ^{2}{mathbf {r}},;{mathbf {p}}to {frac {1}{lambda }}{mathbf {p}}.

Это преобразование изменяет полный угловой момент L{displaystyle L} $L$ и энергию E{displaystyle E} $E$

L→λL,E→1λ2E,{displaystyle Lto lambda L,;Eto {frac {1}{lambda ^{2}}}E,}

Lto lambda L,;Eto {frac {1}{lambda ^{2}}}E,

но сохраняет произведение EL2{displaystyle EL^{2}} $EL^{2}$ . Отсюда следует, что эксцентриситет e{displaystyle e} $e$ и величина A{displaystyle A} $A$ сохраняются в уже упомянутом ранее уравнении

A2=m2k2e2=m2k2+2mEL2.{displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.}

A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.

Направление A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при скалировании. Это преобразование оставляет верным третий закон Кеплера, а именно то, что полуось a{displaystyle a} $a$ и период T{displaystyle T} $T$ формируют константу T2/a3{displaystyle T^{2}/a^{3}} $T^{2}/a^{3}$ .

Скобки Пуассона

Для трёх компонент Li{displaystyle L_{i}} $L_i$ вектора углового момента L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ можно определить скобки Пуассона

[Li,Lj]=∑s=13εijsLs,{displaystyle [L_{i},;L_{j}]=sum _{s=1}^{3}varepsilon _{ijs}L_{s},}

[L_{i},;L_{j}]=sum _{{s=1}}^{3}varepsilon _{{ijs}}L_{s},

где индекс i{displaystyle i} $i$ пробегает значения 1, 2, 3 и εijs{displaystyle varepsilon _{ijs}} $varepsilon _{{ijs}}$ — абсолютно антисимметричный тензор, то есть символ Леви-Чивита (третий индекс суммирования s{displaystyle s} $s$ , чтобы не путать с силовым параметром k{displaystyle k} $k$ , определённым выше). В качестве скобок Пуассона используются квадратные скобки (а не фигурные), как и в литературе и, в том числе, чтобы интерпретировать их как квантовомеханические коммутационные соотношения в следующем разделе.

Как показано выше, изменённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца D{displaystyle mathbf {D} } $mathbf {D}$ можно определить с той же размерностью, что и угловой момент, разделив A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ на p0{displaystyle p_{0}} $p_{0}$ . Скобка Пуассона D{displaystyle mathbf {D} } $mathbf {D}$ с вектором углового момента L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ запишется в похожем виде

[Di,Lj]=∑s=13εijsDs.{displaystyle [D_{i},;L_{j}]=sum _{s=1}^{3}varepsilon _{ijs}D_{s}.}

[D_{i},;L_{{j}}]=sum _{{s=1}}^{3}varepsilon _{{ijs}}D_{s}.

Скобка Пуассона D{displaystyle mathbf {D} } $mathbf {D}$ с D{displaystyle mathbf {D} } $mathbf {D}$ зависит от знака E{displaystyle E} $E$ , то есть когда полная энергия E{displaystyle E} $E$ отрицательна (эллиптические орбиты под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния) или положительная (гиперболические орбиты). Для отрицательных энергий скобки Пуассона примут вид

[Di,Dj]=∑s=13εijsLs.{displaystyle [D_{i},;D_{j}]=sum _{s=1}^{3}varepsilon _{ijs}L_{s}.}

[D_{i},;D_{j}]=sum _{{s=1}}^{3}varepsilon _{{ijs}}L_{s}.

В то время как для положительных энергий скобки Пуассона имеют противоположный знак

[Di,Dj]=−∑s=13εijsLs.{displaystyle [D_{i},;D_{j}]=-sum _{s=1}^{3}varepsilon _{ijs}L_{s}.}

[D_{i},;D_{j}]=-sum _{{s=1}}^{3}varepsilon _{{ijs}}L_{s}.

Инварианты Казимира для отрицательных энергий определяются посредством следующих соотношений

C1=D⋅D+L⋅L=mk22|E|,{displaystyle C_{1}=mathbf {D} cdot mathbf {D} +mathbf {L} cdot mathbf {L} ={frac {mk^{2}}{2|E|}},}

C_{1}={mathbf {D}}cdot {mathbf {D}}+{mathbf {L}}cdot {mathbf {L}}={frac {mk^{2}}{2|E|}},

C2=D⋅L=0{displaystyle C_{2}=mathbf {D} cdot mathbf {L} =0}

C_{2}={mathbf {D}}cdot {mathbf {L}}=0

и мы имеем нулевые скобки Пуассона для всех компонент D{displaystyle mathbf {D} } $mathbf {D}$ и L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$

[C1,Li]=[C1,Di]=[C2,Li]=[C2,Di]=0.{displaystyle [C_{1},;L_{i}]=[C_{1},;D_{i}]=[C_{2},;L_{i}]=[C_{2},;D_{i}]=0.}

[C_{1},;L_{i}]=[C_{1},;D_{i}]=[C_{2},;L_{i}]=[C_{2},;D_{i}]=0.

C2{displaystyle C_{2}} $C_{2}$ равен нулю, из-за ортогональности векторов. Однако другой инвариант C1{displaystyle C_{1}} $C_{1}$ нетривиален и зависит только от m{displaystyle m} $m$ , k{displaystyle k} $k$ и E{displaystyle E} $E$ . Этот инвариант можно использовать для вывода спектра атома водорода, используя только квантовомеханическое каноническое коммутационное соотношение, вместо более сложного уравнения Шрёдингера.

Теорема Нётер

Теорема Нётер утверждает, что инфинитезимальная вариация обобщённых координат физической системы

δqi=εgi(q,q˙,t){displaystyle delta q_{i}=varepsilon g_{i}(mathbf {q} ,;mathbf {dot {q}} ,;t)}

delta q_{i}=varepsilon g_{i}({mathbf {q}},;{mathbf {{dot {q}}}},;t)

вызывает изменение функции Лагранжа в первом порядке на полную производную по времени

δL=εddtG(q,t){displaystyle delta L=varepsilon {frac {d}{dt}}G(mathbf {q} ,;t)}

delta L=varepsilon {frac {d}{dt}}G({mathbf {q}},;t)

соответствует сохранению величины

J=−G+∑igi(∂L∂q˙i).{displaystyle J=-G+sum _{i}g_{i}left({frac {partial L}{partial {dot {q}}_{i}}}right).}

J=-G+sum _{i}g_{i}left({frac {partial L}{partial {dot {q}}_{i}}}right).

Сохранённая компонента вектора Лапласа — Рунге — Ленца As{displaystyle A_{s}} $A_s$ соответствует вариации координат [29]

δxi=ε2[2pixs−xips−δis(r⋅p)],{displaystyle delta x_{i}={frac {varepsilon }{2}}[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-delta _{is}(mathbf {r} cdot mathbf {p} )],}

delta x_{i}={frac {varepsilon }{2}}[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-delta _{{is}}({mathbf {r}}cdot {mathbf {p}})],

где i{displaystyle i} $i$ равняется 1, 2 и 3, а xi{displaystyle x_{i}} $x_{i}$ и pi{displaystyle p_{i}} $p_{i}$ — i{displaystyle i} $i$ -ые компоненты векторов положения r{displaystyle mathbf {r} } $mathbf {r}$ и импульса p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ , соответственно. Как обычно, δis{displaystyle delta _{is}} $delta _{{is}}$ — символ Кронекера. Получающееся изменение в первом порядке функции Лагранжа запишем как

δL=12εmkddt(xsr+[p2xs−ps(r⋅p)]).{displaystyle delta L={frac {1}{2}}varepsilon mk{frac {d}{dt}}left({frac {x_{s}}{r}}+[p^{2}x_{s}-p_{s}(mathbf {r} cdot mathbf {p} )]right).}

delta L={frac {1}{2}}varepsilon mk{frac {d}{dt}}left({frac {x_{s}}{r}}+[p^{2}x_{s}-p_{s}({mathbf {r}}cdot {mathbf {p}})]right).

Это приводит к сохранению компоненты As{displaystyle A_{s}} $A_s$

As=[p2xs−ps(r⋅p)]−mk(xsr)=[p×r×p]s−mk(xsr).{displaystyle A_{s}=[p^{2}x_{s}-p_{s}(mathbf {r} cdot mathbf {p} )]-mkleft({frac {x_{s}}{r}}right)=[mathbf {p} times mathbf {r} times mathbf {p} ]_{s}-mkleft({frac {x_{s}}{r}}right).}

A_{s}=[p^{2}x_{s}-p_{s}({mathbf {r}}cdot {mathbf {p}})]-mkleft({frac {x_{s}}{r}}right)=[{mathbf {p}}times {mathbf {r}}times {mathbf {p}}]_{s}-mkleft({frac {x_{s}}{r}}right).

Законы сохранения и симметрия

Вариация координаты приводит к сохранению длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца (см. теорема Нётер). Это сохранение можно рассматривать как некоторую симметрию системы. В классической механике, симметрии — непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую, не изменяя энергию системы; в квантовой механике, симметрии — непрерывные операции, которые смешивают атомные орбитали, не изменяя полную энергию. Например, любая центральная сила приводя к сохранению углового момента L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ . В физике обычно встречаются консервативные центральные силы, обладающие симметрией группы вращения SO(3). Классически, полное вращение системы не затрагивает энергию орбиты; квантовомеханически, вращения смешивают сферические функции с тем же самым квантовым числом l{displaystyle l} $l$ (вырожденные состояния), не изменяя энергию.

Рис. 7: Семейство кругов годографа импульса для заданной энергии l{displaystyle scriptstyle l} $scriptstyle l$ . Все круги проходят через две точки ±p0=±2m|E|{displaystyle scriptstyle pm p_{0}=pm {sqrt {2m|E|}}} $scriptstyle pm p_{0}=pm {sqrt {2m|E|}}$ на оси px{displaystyle scriptstyle p_{x}} $scriptstyle p_{x}$ (сравните с рис. 3). Это семейство годографов соответствует семейству окружностей Аполлония, и σ{displaystyle scriptstyle sigma } $scriptstyle sigma$ изоповерхностям биполярных координат.

Симметрия повышается для центральной силы, обратной квадрату расстояния. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ , так и вектора Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ (как определено выше) и квантовомеханически гарантирует, что уровни энергии атома водорода не зависят от квантовых чисел углового момента l{displaystyle l} $l$ и m{displaystyle m} $m$ . Симметрия является более тонкой, потому что операция симметрии должна иметь место в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют скрытыми симметриями [28]. Классически, более высокая симметрия проблемы Кеплера учитывает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент; другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но различными угловыми моментами (эксцентриситетом) могут быть преобразованы непрерывно друг в друга. Квантовомеханически это соответствует смешиванию орбиталей, которые отличаются квантовыми числами l{displaystyle l} $l$ и m{displaystyle m} $m$ , атомные орбитали типа s{displaystyle s} $s$ (l=0{displaystyle l=0} $l=0$ ) и p{displaystyle p} $p$ (l=1{displaystyle l=1} $l=1$ ). Такое смешивание нельзя произвести с обычными трёхмерными трансляциями или вращениями, но оно эквивалентно вращению в пространстве с более высоким измерением.

Связанная система с отрицательной полной энергией обладает симметрией SO(4), которая сохраняет длину четырёхмерных векторов

|e|2=e12+e22+e32+e42.{displaystyle |mathbf {e} |^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.}

|{mathbf {e}}|^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.

В 1935 году Владимир Фок показал, что квантовомеханическая проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, ограниченной четырёхмерной гиперсферой [6]. В частности, Фок показал, что волновая функция уравнения Шрёдингера в пространстве импульсов для проблемы Кеплера представляет собой четырехмерное обобщение стереографической проекции сферических функций из 3-сферы в трехмерное пространство. Вращение гиперсферы и перепроектирование приводит к непрерывному преобразованию эллиптических орбит, не изменяющему энергию; квантовомеханически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым главным квантовым числом n{displaystyle n} $n$ . Валентин Баргман отметил впоследствии, что скобки Пуассона для вектора углового момента L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ и скалированного вектора Лапласа — Рунге — Ленца D{displaystyle mathbf {D} } $mathbf {D}$ формируют алгебру Ли для SO(4){displaystyle SO(4)} $SO(4)$ . [7] Проще говоря, эти шесть величин D{displaystyle mathbf {D} } $mathbf {D}$ и L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ соответствуют шести сохраняющимся угловым импульсам в четырёх измерениях, связанных с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве (есть шесть способов выбрать две оси из четырёх). Это заключение не подразумевает, что наша вселенная — четырёхмерная гиперсфера; это просто означает, что эта специфическая проблема физики (проблема двух тел для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния) математически эквивалентна свободной частице на четырёхмерной гиперсфере.

Рассеянная система с положительной полной энергией обладает симметрией SO(3,1), которая сохраняет длину 4-вектора в пространстве с метрикой Минковского

ds2=e12+e22+e32−e42.{displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.}

ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.

Фок [6] и Баргман [7] рассмотрели как отрицательные, так и положительные энергии. Они также были рассмотрены энциклопедически Бендером и Ициксоном [30][31].

Симметрия вращений в четырёхмерном пространстве

Рис. 8: Годограф импульса на рис. 7 соответствует стереографической проекции больших кругов из четырёхмерной η{displaystyle scriptstyle eta } $scriptstyle eta$ сферы единичного радиуса. Все большие круги пересекают ηx{displaystyle scriptstyle eta _{x}} $scriptstyle eta _{x}$ ось, которая направлена перпендикулярно странице. Проекция из северного полюса (единичный вектор w{displaystyle scriptstyle mathbf {w} } $scriptstyle {mathbf {w}}$ ) к (ηx{displaystyle scriptstyle eta _{x}} $scriptstyle eta _{x}$ -ηy{displaystyle scriptstyle eta _{y}} $scriptstyle eta _{y}$ ) плоскости, как показано для пурпурного годографа пунктирной чёрной линией. Большой круг на широте α{displaystyle scriptstyle alpha } $scriptstyle alpha$ соответствует эксцентриситету e=sin⁡α{displaystyle scriptstyle e=sin alpha } $scriptstyle e=sin alpha$ . Цвета больших кругов, показанных здесь, соответствуют цветам их годографов на рис. 7.

Связь между проблемой Кеплера и вращениями в четырёхмерном пространстве SO(4) можно достаточно просто визуализировать [30][32][33]. Пусть в четырёхмерном пространстве заданы декартовы координаты, которые обозначены (w,x,y,z){displaystyle (w,;x,;y,;z)} $(w,;x,;y,;z)$ , где (x,y,z){displaystyle (x,;y,;z)} $(x,;y,;z)$ представляют декартовы координаты обычного положения трёхмерного вектора r{displaystyle mathbf {r} } $mathbf {r}$ . Трёхмерный вектор импульса p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ связан с четырёхмерным вектором η{displaystyle {boldsymbol {eta }}} ${boldsymbol {eta }}$ на четырёхмерной единичной сфере посредством

η=p2−p02p2+p02w^+2p0p2+p02p=mk−rpp0mkw^+rp0mkp,{displaystyle {boldsymbol {eta }}={frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}mathbf {hat {w}} +{frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}mathbf {p} ={frac {mk-rpp_{0}}{mk}}mathbf {hat {w}} +{frac {rp_{0}}{mk}}mathbf {p} ,}

{boldsymbol eta }={frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}{mathbf {{hat {w}}}}+{frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}{mathbf {p}}={frac {mk-rpp_{0}}{mk}}{mathbf {{hat {w}}}}+{frac {rp_{0}}{mk}}{mathbf {p}},

где w^{displaystyle mathbf {hat {w}} } ${mathbf {{hat {w}}}}$ — единичный вектор вдоль новой оси w{displaystyle w} $w$ . Поскольку η{displaystyle {boldsymbol {eta }}} ${boldsymbol {eta }}$ имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ . Например, для компоненты x{displaystyle x} $x$

px=p0ηx1−ηw{displaystyle p_{x}=p_{0}{frac {eta _{x}}{1-eta _{w}}}}

p_{x}=p_{0}{frac {eta _{x}}{1-eta _{w}}}

и аналогично для py{displaystyle p_{y}} $p_{y}$ и pz{displaystyle p_{z}} $p_{z}$ . Другими словами, трёхмерный вектор p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ является стереографической проекцией четырёхмерного вектора η{displaystyle {boldsymbol {eta }}} ${boldsymbol {eta }}$ , умноженному на p0{displaystyle p_{0}} $p_{0}$ (рис. 8).

Без потери общности, мы можем устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая декартовы координаты, где ось z{displaystyle z} $z$ направлена вдоль вектора углового момента L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ , и годограф импульса расположен как показано на рисунке 7, с центрами кругов на оси y{displaystyle y} $y$ . Так как движение происходит в плоскости, а p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ и L{displaystyle L} $L$ ортогональны, pz=ηz=0{displaystyle p_{z}=eta _{z}=0} $p_{z}=eta _{z}=0$ , и внимание можно сосредоточить на трёхмерном векторе η=(ηw,ηx,ηy){displaystyle {boldsymbol {eta }}=(eta _{w},;eta _{x},;eta _{y})} ${boldsymbol {eta }}=(eta _{w},;eta _{x},;eta _{y})$ . Семейство окружностей Аполлония годографов импульса (рис. 7) соответствует множеству больших кругов на трёхмерной сфере η{displaystyle {boldsymbol {eta }}} ${boldsymbol {eta }}$ , все из которых пересекают ось ηx{displaystyle eta _{x}} $eta _{x}$ в этих двух фокусах ηx=±1{displaystyle eta _{x}=pm 1} $eta _{x}=pm 1$ , соответствующих фокусам годографа импульса при px=±p0{displaystyle p_{x}=pm p_{0}} $p_{x}=pm p_{0}$ . Большие круги связаны простым вращением вокруг оси ηx{displaystyle eta _{x}} $eta _{x}$ (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с той же самой энергией друг в друга; однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как оно преобразует четвёртое измерение ηw{displaystyle eta _{w}} $eta _{w}$ . Эта более высокая симметрия характерна для проблемы Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием переменных угол-действие можно получить, избавляясь от избыточной четырёхмерной координаты η{displaystyle {boldsymbol {eta }}} ${boldsymbol {eta }}$ и используя эллиптические цилиндрические координат (α,β,φ){displaystyle (alpha ,;beta ,;varphi )} $(alpha ,;beta ,;varphi )$ [34]

ηw=cnαcnβ,{displaystyle eta _{w}=mathrm {cn} ,alpha ,mathrm {cn} ,beta ,}

eta _{w}={mathrm {cn}},alpha ,{mathrm {cn}},beta ,

ηx=snαdnβcos⁡φ,{displaystyle eta _{x}=mathrm {sn} ,alpha ,mathrm {dn} ,beta cos varphi ,}

eta _{x}={mathrm {sn}},alpha ,{mathrm {dn}},beta cos varphi ,

ηy=snαdnβsin⁡φ,{displaystyle eta _{y}=mathrm {sn} ,alpha ,mathrm {dn} ,beta sin varphi ,}

eta _{y}={mathrm {sn}},alpha ,{mathrm {dn}},beta sin varphi ,

ηz=dnαsnβ,{displaystyle eta _{z}=mathrm {dn} ,alpha ,mathrm {sn} ,beta ,}

eta _{z}={mathrm {dn}},alpha ,{mathrm {sn}},beta ,

где используются эллиптические функции Якоби: sn{displaystyle mathrm {sn} } ${mathrm {sn}}$ , cn{displaystyle mathrm {cn} } ${mathrm {cn}}$ и dn{displaystyle mathrm {dn} } ${mathrm {dn}}$ .

Применение и обобщения

Квантовая механика атома водорода

Рис. 9: Уровни энергии водородного атома, предсказанные с использованием коммутационных соотношений углового момента и векторных операторов Лапласа — Рунге — Ленца; эти уровни энергии были проверены экспериментально.

Скобки Пуассона дают простой способ для квантования классической системы. Коммутатор двух квантовомеханических операторов равняется скобке Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на iℏ{displaystyle ihbar } $ihbar$ [35]. Выполняя это квантование и вычисляя собственные значения C1{displaystyle C_{1}} $C_{1}$ оператора Казимира для проблемы Кеплера, Вольфганг Паули вывел энергетический спектр водородоподобного атома (рис. 9) и, таким образом, его атомный эмиссионный спектр [3]. Это изящное решение было получено до изобретения уравнения Шрёдингера [36].

Особенность квантовомеханического оператора для вектора Лапласа — Рунге — Ленца A{displaystyle mathbf {A} } $mathbf {A}$ заключается в том, что импульс и операторы углового момента не коммутируют друг с другом, следовательно, векторное произведение p{displaystyle mathbf {p} } ${mathbf {p}}$ и L{displaystyle mathbf {L} } $mathbf{L}$ должно быть определено тщательно [37]. Как правило, операторы в декартовой системе координат As{displaystyle A_{s}} $A_s$ определены с помощью симметризованного произведения

As=−mkr^s+12∑i=13∑j=13εsij(pilj+ljpi),{displaystyle A_{s}=-mk{hat {r}}_{s}+{frac {1}{2}}sum _{i=1}^{3}sum _{j=1}^{3}varepsilon _{sij}(p_{i}l_{j}+l_{j}p_{i}),}

A_{s}=-mk{hat {r}}_{s}+{frac {1}{2}}sum _{{i=1}}^{3}sum _{{j=1}}^{3}varepsilon _{{sij}}(p_{i}l_{j}+l_{j}p_{i}),

из которого определяются соответствующие лестничные операторы

A0=A3,{displaystyle A_{0}=A_{3},}

A_{0}=A_{3},

A±1=∓12(A1±iA2).{displaystyle A_{pm 1}=mp {frac {1}{sqrt {2}}}(A_{1}pm iA_{2}).}

A_{{pm 1}}=mp {frac {1}{{sqrt {2}}}}(A_{1}pm iA_{2}).

Нормированный оператор первого инварианта Казимира может быть определён подобным образом

C1=−mk22ℏ2H−1−I,{displaystyle C_{1}=-{frac {mk^{2}}{2hbar ^{2}}}H^{-1}-I,}

C_{1}=-{frac {mk^{2}}{2hbar ^{2}}}H^{{-1}}-I,

где H−1{displaystyle H^{-1}} $H^{{-1}}$ — оператор, обратный к оператору энергии (гамильтониан) и I{displaystyle I} $I$ — единичный оператор. Применяя эти лестничные операторы к собственным состояниям |lmn⟩{displaystyle |lmnrangle } $|lmnrangle$ операторов полного углового момента, азимутального углового момента и энергии, можно показать, что собственные состояния первого оператора Казимира задаются формулой n2−1{displaystyle n^{2}-1} $n^{2}-1$ . Следовательно, уровни энергии даются выражением

En=−mk22ℏ2n2,{displaystyle E_{n}=-{frac {mk^{2}}{2hbar ^{2}n^{2}}},}

E_{n}=-{frac {mk^{2}}{2hbar ^{2}n^{2}}},

которое идентично формуле Ридберга для атома водорода (рис 9).

Обобщение на другие потенциалы и СТО

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца был обобщён на другие потенциалы и даже на специальную теорию относительности. Наиболее общую форму этого вектора можно записать в виде [10]

A=(∂ξ∂u)(p×L)+[ξ−u(∂ξ∂u)]L2r^,{displaystyle {mathcal {A}}=left({frac {partial xi }{partial u}}right)(mathbf {p} times mathbf {L} )+left[xi -uleft({frac {partial xi }{partial u}}right)right]L^{2}mathbf {hat {r}} ,}

{mathcal {A}}=left({frac {partial xi }{partial u}}right)({mathbf {p}}times {mathbf {L}})+left[xi -uleft({frac {partial xi }{partial u}}right)right]L^{2}{mathbf {{hat {r}}}},

где u=1/r{displaystyle u=1/r} $u=1/r$ (см. теорема Бертрана) и ξ=cos⁡θ{displaystyle xi =cos theta } $xi =cos theta$ , с углом θ{displaystyle theta } $theta$ , определённым как

θ=L∫udum2c2(γ2−1)−L2u2.{displaystyle theta =Lint limits ^{u}{frac {du}{sqrt {m^{2}c^{2}(gamma ^{2}-1)-L^{2}u^{2}}}}.}

theta =Lint limits ^{u}{frac {du}{{sqrt {m^{2}c^{2}(gamma ^{2}-1)-L^{2}u^{2}}}}}.

Здесь γ{displaystyle gamma } $gamma$ — релятивистский фактор. Как и раньше, можно получить сохраняющийся вектор бинормали B{displaystyle mathbf {B} } $mathbf {B}$ , взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента

B=L×A.{displaystyle {mathcal {B}}=mathbf {L} times {mathcal {A}}.}

{mathcal {B}}={mathbf {L}}times {mathcal {A}}.

Эти два вектора можно соединить в сохраняющийся двухкомпонентный тензор W{displaystyle W} $W$

W=αA⊗A+βB⊗B.{displaystyle {mathcal {W}}=alpha {mathcal {A}}otimes {mathcal {A}}+beta {mathcal {B}}otimes {mathcal {B}}.}

{mathcal {W}}=alpha {mathcal {A}}otimes {mathcal {A}}+beta {mathcal {B}}otimes {mathcal {B}}.

Для примера вычислим вектор Лапласа — Рунге — Ленца для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора. [10] Рассмотрим центральную силу:

F(r)=−kr{displaystyle mathbf {F} (r)=-kmathbf {r} }

{mathbf {F}}(r)=-k{mathbf {r}}

вектор углового момента сохраняется, и поэтому движение происходит в плоскости. Сохраняющийся тензор можно переписать в более простом виде:

W=12mp⊗p+k2r⊗r,{displaystyle mathbf {W} ={frac {1}{2m}}mathbf {p} otimes mathbf {p} +{frac {k}{2}}mathbf {r} otimes mathbf {r} ,}

{mathbf {W}}={frac {1}{2m}}{mathbf {p}}otimes {mathbf {p}}+{frac {k}{2}}{mathbf {r}}otimes {mathbf {r}},

хотя нужно заметить, что p{displaystyle p} $p$ и r{displaystyle r} $r$ не перпендикулярны, как A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$ . Соответствующий вектор Лапласа — Рунге — Ленца имеет более сложную запись

A=1mr2ω0A−mr2E+L2{(p×L)+(mrω0A−mrE)r^},{displaystyle mathbf {A} ={frac {1}{sqrt {mr^{2}omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}{(mathbf {p} times mathbf {L} )+(mromega _{0}A-mrE)mathbf {hat {r}} },}

{mathbf {A}}={frac {1}{{sqrt {mr^{2}omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}}{({mathbf {p}}times {mathbf {L}})+(mromega _{0}A-mrE){mathbf {{hat {r}}}}},

где ω0=km{displaystyle omega _{0}={sqrt {frac {k}{m}}}} $omega _{0}={sqrt {{frac {k}{m}}}}$ — частота осциллятора.

См. также

Литература

↑ Арнольд, В. И. Математические методы классической механики, 5-е изд.. — Москва : Едиториал УРСС, 2003. — P. 416. — ISBN 5-354-00341-5.; в сети в электронном виде есть 3-е изд. за 1988 год, см. Добавление 8, на стр. 381
↑ 1 2 3 4 Голдштейн, Г. Классическая механика. — Наука, 1975. — P. 416.
↑ 1 2 3 Pauli, W (1926). “Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik”. Zeitschrift für Physik. 36: 336—363.
↑ 1 2 Hamilton, WR (1847). “The Hodograph, or a new Method of expressing in symbolical Language the Newtonian Law of Attraction”. Proceedings of the Royal Irish Academy. 3: 344—353.
↑ Хикок_Ф.А. Графики космического полета. Машиностроение(1968). Глава 3. Анализ траекторий с помощью полярных диаграмм. на стр. 42;Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Том 1. 1990, ЗАДАЧА 4.9. Свойства орбит в пространстве скоростей, стр. 88;
↑ 1 2 3 Fock, V (1935). “Zur Theorie des Wasserstoffatoms”. Zeitschrift für Physik. 98: 145—154.
↑ 1 2 3 Bargmann, V (1936). “Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock”. Zeitschrift für Physik. 99: 576—582.
↑ 1 2 Goldstein, H. (1975). “Prehistory of the Runge-Lenz vector”. American Journal of Physics. 43: 735—738.
Goldstein, H. (1976). “More on the prehistory of the Runge-Lenz vector”. American Journal of Physics. 44: 1123—1124.
↑ 1 2 3 Hamilton, WR (1847). “On the Application of the Method of Quaternions to some Dynamical Questions”. Proceedings of the Royal Irish Academy. 3: Appendix III, pp. xxxvi—l.
↑ 1 2 3 4 5 Fradkin, DM (1967). “Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems”. Progress of Theoretical Physics. 37: 798—812.
↑ 1 2 Yoshida, T (1987). “Two methods of generalisation of the Laplace-Runge-Lenz vector”. European Journal of Physics. 8: 258—259.
↑ Hermann, J (1710). “Metodo d’investigare l’orbite de’ pianeti”. Giornale de Letterati D’Italia. 2: 447—467.
Hermann, J (1710). “Extrait d’une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710”. Histoire de l’academie royale des sciences (Paris). 1732: 519—521.
↑ Bernoulli, J (1710). “Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710”. Histoire de l’academie royale des sciences (Paris). 1732: 521—544.
↑ Laplace, PS. Traité de mécanique celeste. — 1799. — P. Tome I, Premiere Partie, Livre II, pp.165ff.
↑ Gibbs, JW. Vector Analysis. — New York : Scribners, 1901. — P. p. 135.
↑ Runge, C. Vektoranalysis. — Leipzig : Hirzel, 1919. — P. Volume I.
↑ Lenz, W (1924). “Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung”. Zeitschrift für Physik. 24: 197—207.
↑ Evans, NW (1990). “Superintegrability in classical mechanics”. Physical Review A. 41: 5666—5676.
↑ Sommerfeld, A. Atomic Structure and Spectral Lines. — London : Methuen, 1923. — P. 118.
↑ 1 2 3 Landau, LD. Mechanics. — 3rd edition. — Pergamon Press, 1976. — P. p. 154. — ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).; Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Механика. Том 1. изд.5. 2004. § 15. Кеплерова задача, «сохраняющийся вектор» на стр. 56; заключительный § 52. Условно-периодическое движение, задача с решением в полярных координатах на стр. 217.
↑ Evans, NW (1991). “Group theory of the Smorodinsky-Winternitz system”. Journal of Mathematical Physics. 32: 3369—3375.
↑ Dulock, VA; McIntosh HV (1966). “On the Degeneracy of the Kepler Problem”. Pacific Journal of Mathematics. 19: 39—55. Используется устаревший параметр |coauthors= (справка)
↑ Redmond, PJ (1964). “Generalization of the Runge-Lenz Vector in the Presence of an Electric Field”. Physical Review. 133: B1352—B1353.
↑ 1 2 Einstein, A (1915). “Erklärung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie”. Sitzungsberichte der der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften. 47 (2): 831—839.
↑ Le Verrier, UJJ (1859). “Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète; Lettre de M. Le Verrier à M. Faye”. Comptes Rendus de l’Academie de Sciences (Paris). 49: 379—383.[1]
↑ Will, CM. General Relativity, an Einstein Century Survey. — SW Hawking and W Israel, eds. — Cambridge : Cambridge University Press, 1979. — P. Chapter 2.
↑ Pais, A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. — Oxford University Press, 1982.
Пайс, Абрахам. (1989) Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. Пер. с англ. В. И. и О. И. Мацарских; Под ред. А. А. Логунова. — М.: Наука, 1989. — 566,[1] с., [4] л. ил., 22 см — ISBN 5-02-014028-7.
↑ 1 2 Prince, GE; Eliezer CJ (1981). “On the Lie symmetries of the classical Kepler problem”. Journal of Physics A: Mathematical and General. 14: 587—596. Используется устаревший параметр |coauthors= (справка)
↑ Lévy-Leblond, JM (1971). “Conservation Laws for Gauge-Invariant Lagrangians in Classical Mechanics”. American Journal of Physics. 39: 502—506.
↑ 1 2 Bander, M; Itzykson C (1966). “Group Theory and the Hydrogen Atom (I)”. Reviews of Modern Physics. 38: 330—345. Используется устаревший параметр |coauthors= (справка)
↑ Bander, M; Itzykson C (1966). “Group Theory and the Hydrogen Atom (II)”. Reviews of Modern Physics. 38: 346—358. Используется устаревший параметр |coauthors= (справка)
↑ Rogers, HH (1973). “Symmetry transformations of the classical Kepler problem”. Journal of Mathematical Physics. 14: 1125—1129.
↑ Guillemin, V. Variations on a Theme by Kepler. — American Mathematical Society Colloquium Publications, volume 42, 1990. — ISBN 0-8218-1042-1.
↑ Lakshmanan, M; Hasegawa H. “On the canonical equivalence of the Kepler problem in coordinate and momentum spaces”. Journal of Physics A. 17: L889—L893. Используется устаревший параметр |coauthors= (справка)
↑ Dirac, PAM. Principles of Quantum Mechanics, 4th revised edition. — Oxford University Press, 1958.
↑ Schrödinger, E (1926). “Quantisierung als Eigenwertproblem”. Annalen der Physik. 384: 361—376.
↑ Bohm, A. Quantum Mechanics: Foundations and Applications. — 2nd edition. — Springer Verlag, 1986. — P. 208—222.

Дополнительное чтение

Leach, P.G.L.; G.P. Flessas (2003). “Generalisations of the Laplace-Runge-Lenz vector”. J. Nonlinear Math. Phys. 10: 340—423. Используется устаревший параметр |coauthors= (справка) Статья посвящена обобщению вектора Лапласа — Рунге — Ленца на потенциалы отличные от кулоновского. arxiv.org

Эта статья входит в число избранных статей русскоязычного раздела Википедии.

Шаблон:Link FA Шаблон:Link GA