Оператор Лапласа

Разделы:

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом Δ{displaystyle Delta } $Delta$ . Функции F {displaystyle F } $F$ он ставит в соответствие функцию (∂2∂x12+∂2∂x22+…+∂2∂xn2)F{displaystyle left({partial ^{2} over partial x_{1}^{2}}+{partial ^{2} over partial x_{2}^{2}}+ldots +{partial ^{2} over partial x_{n}^{2}}right)F} $left({partial^2 over partial x_1^2} + {partial^2 over partial x_2^2} + ldots + {partial^2 over partial x_n^2}right)F$ .

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: Δ=divgrad{displaystyle Delta =operatorname {div} ,operatorname {grad} } $Delta=operatorname{div},operatorname{grad}$ , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля grad⁡F{displaystyle operatorname {grad} F} $operatorname{grad}F$ в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом Δ=∇⋅∇=∇2{displaystyle Delta =nabla cdot nabla =nabla ^{2}} $Delta=nablacdotnabla=nabla^2$ , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа унитарен.

Содержание

1 Другое определение оператора Лапласа
2 Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат
3 Применение
4 Вариации и обобщения
5 См. также
6 Литература
7 Ссылки

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одного переменного. В самом деле, если функция f(x){displaystyle f(x)}

$f (x)$ имеет в окрестности точки x0{displaystyle x_{0}} $x_0$ непрерывную вторую производную f″(x){displaystyle f»(x)} $f''(x)$ , то, как это следует из формулы Тейлора

f(x0+r)=f(x0)+rf′(x0)+r22f″(x0)+o(r2),{displaystyle f(x_{0}+r)=f(x_{0})+rf'(x_{0})+{frac {r^{2}}{2}}f»(x_{0})+o(r^{2}),}

f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

при r→0,{displaystyle rto 0,}

rto 0,

f(x0−r)=f(x0)−rf′(x0)+r22f″(x0)+o(r2),{displaystyle f(x_{0}-r)=f(x_{0})-rf'(x_{0})+{frac {r^{2}}{2}}f»(x_{0})+o(r^{2}),}

f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

при r→0,{displaystyle rto 0,}

rto 0,

вторая производная есть предел

f″(x0)=limr→02r2{f(x0+r)+f(x0−r)2−f(x0)}.{displaystyle f»(x_{0})=lim limits _{rto 0}{frac {2}{r^{2}}}left{{frac {f(x_{0}+r)+f(x_{0}-r)}{2}}-f(x_{0})right}.}

f''(x_0)=limlimits_{r to 0} frac{2}{r^2} left{ frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) right}.

Если, переходя к функции F{displaystyle F}

$F$ от k{displaystyle k} $k$ переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки M0(x10,x20,…,xk0){displaystyle M_{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},…,x_{k}^{0})} $M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0)$ рассматривать её k{displaystyle k} $k$ -мерную шаровую окрестность Qr{displaystyle Q_{r}} $Q_r$ радиуса r{displaystyle r} $r$ и разность между средним арифметическим

1σ(Sr)∫SrFdσ{displaystyle {frac {1}{sigma (S_{r})}}int limits _{S_{r}}Fdsigma }

frac{1}{sigma(S_r)}intlimits_{S_r}Fdsigma

функции F{displaystyle F}

$F$ на границе Sr{displaystyle S_{r}} $S_r$ такой окрестности с площадью границы σ(Sr){displaystyle sigma (S_{r})} $sigma(S_r)$ и значением F(M0){displaystyle F(M_{0})} $F(M_0)$ в центре этой окрестности M0{displaystyle M_{0}} $M_0$ , то в случае непрерывности вторых частных производных функции F{displaystyle F} $F$ в окрестности точки M0{displaystyle M_{0}} $M_0$ значение лапласиана ΔF{displaystyle Delta F} $Delta F$ в этой точке есть предел

ΔF(M0)=limr→02kr2{1σ(Sr)∫SrF(M)dσ−F(M0)}.{displaystyle Delta F(M_{0})=lim limits _{rto 0}{frac {2k}{r^{2}}}left{{frac {1}{sigma (S_{r})}}int limits _{S_{r}}F(M)dsigma -F(M_{0})right}.}

Delta F(M_0)=limlimits_{r to 0} frac{2k}{r^2} left{frac{1}{sigma(S_r)}intlimits_{S_r}F(M)dsigma -F(M_0) right}.

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции F{displaystyle F}

$F$ , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

ΔF(M0)=limr→02(k+2)r2{1ω(Qr)∫QrF(M)dω−F(M0)},{displaystyle Delta F(M_{0})=lim limits _{rto 0}{frac {2(k+2)}{r^{2}}}left{{frac {1}{omega (Q_{r})}}int limits _{Q_{r}}F(M)domega -F(M_{0})right},}

Delta F(M_0)=limlimits_{r to 0} frac{2(k+2)}{r^2} left{frac{1}{omega(Q_r)}intlimits_{Q_r}F(M)domega -F(M_0) right},

где ω(Qr){displaystyle omega (Q_{r})}

omega(Q_r)

— объём окрестности Qr.{displaystyle Q_{r}.}

Q_r.

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в [1].

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции F.{displaystyle F.}

$F.$ Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве q1, q2, q3{displaystyle q_{1}, q_{2}, q_{3}}

$q_1, q_2, q_3$ :

Δf(q1, q2, q3)=divgradf(q1, q2, q3)={displaystyle Delta f(q_{1}, q_{2}, q_{3})=operatorname {div} ,operatorname {grad} ,f(q_{1}, q_{2}, q_{3})=}

Delta f (q_1, q_2, q_3) = operatorname{div},operatorname{grad},f(q_1, q_2, q_3) =

=1H1H2H3[∂∂q1(H2H3H1∂f∂q1)+∂∂q2(H1H3H2∂f∂q2)+∂∂q3(H1H2H3∂f∂q3)],{displaystyle ={frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}left[{frac {partial }{partial q_{1}}}left({frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{frac {partial f}{partial q_{1}}}right)+{frac {partial }{partial q_{2}}}left({frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{frac {partial f}{partial q_{2}}}right)+{frac {partial }{partial q_{3}}}left({frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{frac {partial f}{partial q_{3}}}right)right],}

=frac{1}{H_1H_2H_3}left[ frac{partial}{partial q_1}left( frac{H_2H_3}{H_1}frac{partial f}{partial q_1} right) + frac{partial}{partial q_2}left( frac{H_1H_3}{H_2}frac{partial f}{partial q_2} right) + frac{partial}{partial q_3}left( frac{H_1H_2}{H_3}frac{partial f}{partial q_3} right)right],

где Hi {displaystyle H_{i} }

H_i

— коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой r=0{displaystyle r=0}

$r=0$ :

Δf=1r∂∂r(r∂f∂r)+∂2f∂z2+1r2∂2f∂φ2{displaystyle Delta f={1 over r}{partial over partial r}left(r{partial f over partial r}right)+{partial ^{2}f over partial z^{2}}+{1 over r^{2}}{partial ^{2}f over partial varphi ^{2}}}

Delta f = {1 over r} {partial over partial r} left( r {partial f over partial r} right) + {partial^2f over partial z^2} + {1 over r^2} {partial^2 f over partial varphi^2}

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

Δf=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂f∂θ)+1r2sin2⁡θ∂2f∂φ2{displaystyle Delta f={1 over r^{2}}{partial over partial r}left(r^{2}{partial f over partial r}right)+{1 over r^{2}sin theta }{partial over partial theta }left(sin theta {partial f over partial theta }right)+{1 over r^{2}sin ^{2}theta }{partial ^{2}f over partial varphi ^{2}}}

Delta f = {1 over r^2} {partial over partial r} left( r^2 {partial f over partial r} right) + {1 over r^2 sin theta} {partial over partial theta} left( sin theta {partial f over partial theta} right) + {1 over r^2sin^2 theta} {partial^2 f over partial varphi^2}

или

Δf=1r∂2∂r2(rf)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂f∂θ)+1r2sin2⁡θ∂2f∂φ2.{displaystyle Delta f={1 over r}{partial ^{2} over partial r^{2}}left(rfright)+{1 over r^{2}sin theta }{partial over partial theta }left(sin theta {partial f over partial theta }right)+{1 over r^{2}sin ^{2}theta }{partial ^{2}f over partial varphi ^{2}}.}

Delta f = {1 over r} {partial^2 over partial r^2} left( rf right) + {1 over r^2 sin theta} {partial over partial theta} left( sin theta {partial f over partial theta} right) + {1 over r^2 sin^2 theta} {partial^2 f over partial varphi^2}.

В случае если f=f(r){displaystyle f=f(r)}

$f=f(r)$ в n-мерном пространстве:

Δf=d2fdr2+n−1rdfdr.{displaystyle Delta f={d^{2}f over dr^{2}}+{n-1 over r}{df over dr}.}

Delta f = {d^2 fover dr^2} + {n-1 over r } {dfover dr}.

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

Δf=1σ2+τ2[1σ∂∂σ(σ∂f∂σ)+1τ∂∂τ(τ∂f∂τ)]+1σ2τ2∂2f∂φ2{displaystyle Delta f={frac {1}{sigma ^{2}+tau ^{2}}}left[{frac {1}{sigma }}{frac {partial }{partial sigma }}left(sigma {frac {partial f}{partial sigma }}right)+{frac {1}{tau }}{frac {partial }{partial tau }}left(tau {frac {partial f}{partial tau }}right)right]+{frac {1}{sigma ^{2}tau ^{2}}}{frac {partial ^{2}f}{partial varphi ^{2}}}}

Delta f= frac{1}{sigma^{2} + tau^{2}} left[ frac{1}{sigma} frac{partial }{partial sigma} left( sigma frac{partial f}{partial sigma} right) + frac{1}{tau} frac{partial }{partial tau} left( tau frac{partial f}{partial tau} right)right] + frac{1}{sigma^2tau^2}frac{partial^2 f}{partial varphi^2}

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

ΔF(u,v,z)=1c2(u2+v2)[∂2F∂u2+∂2F∂v2]+∂2F∂z2{displaystyle Delta F(u,v,z)={frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}left[{frac {partial ^{2}F}{partial u^{2}}}+{frac {partial ^{2}F}{partial v^{2}}}right]+{frac {partial ^{2}F}{partial z^{2}}}}

Delta F(u,v,z) = frac{1}{c^2(u^2+v^2)} left[ frac{partial^2 F }{partial u^2}+ frac{partial^2 F }{partial v^2}right] + frac{partial^2 F }{partial z^2}

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии X{displaystyle X}

$X$ задана локальная система координат и gij{displaystyle g_{ij}} $g_{ij}$ — риманов метрический тензор на X{displaystyle X} $X$ , то есть метрика имеет вид

ds2=∑i,j=1ngijdxidxj{displaystyle ds^{2}=sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}

ds^2 =sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j

Обозначим через gij{displaystyle g^{ij}}

$g^{ij}$ элементы матрицы (gij)−1{displaystyle (g_{ij})^{-1}} $(g_{ij})^{-1}$ и

g=det⁡gij=(det⁡gij)−1{displaystyle g=operatorname {det} g_{ij}=(operatorname {det} g^{ij})^{-1}}

g = operatorname{det} g_{ij} = (operatorname{det} g^{ij})^{-1}

Дивергенция векторного поля F{displaystyle F}

$F$ , заданного коодинатами Fi{displaystyle F^{i}} $F^i$ (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка ∑iFi∂∂xi{displaystyle sum _{i}F^{i}{frac {partial }{partial x^{i}}}} $sum_i F^ifrac{partial}{partial x^i}$ ) на многообразии X вычисляется по формуле

div⁡F=1g∑i=1n∂∂xi(gFi){displaystyle operatorname {div} F={frac {1}{sqrt {g}}}sum _{i=1}^{n}{frac {partial }{partial x^{i}}}({sqrt {g}}F^{i})}

operatorname{div} F = frac{1}{sqrt{g}}sum^n_{i=1}frac{partial}{partial x^i}(sqrt{g}F^i)

а компоненты градиента функции f — по формуле

(∇f)j=∑i=1ngij∂f∂xi{displaystyle (nabla f)^{j}=sum _{i=1}^{n}g^{ij}{frac {partial f}{partial x^{i}}}}

(nabla f)^j =sum^n_{i=1}g^{ij} frac{partial f}{partial x^i}

Оператор Лапласа-Бельтрами на X{displaystyle X}

$X$

Δf=div⁡(∇f)=1g∑i=1n∂∂xi(g∑k=1ngik∂f∂xk){displaystyle Delta f=operatorname {div} (nabla f)={frac {1}{sqrt {g}}}sum _{i=1}^{n}{frac {partial }{partial x^{i}}}({sqrt {g}}sum _{k=1}^{n}g^{ik}{frac {partial f}{partial x^{k}}})}

Delta f = operatorname{div} (nabla f)= frac{1}{sqrt{g}}sum^n_{i=1}frac{partial}{partial x^i}(sqrt{g} sum^n_{k=1}g^{ik} frac{partial f}{partial x^k})

Значение Δf{displaystyle Delta f}

$Delta f$ является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задач диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения

Оператор Д’Аламбера

См. также

Литература

↑ Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968 г. 208с.

Ссылки

MathWorld description of Laplacian

Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.