Двойственная категория

Двойственная категория или дуальная категория, к категории C{displaystyle C} — категория C∘{displaystyle C^{circ }} стеми же объектами, что и C{displaystyle C} и с множествами морфизмовHom∘(A,B)=Hom(B,A){displaystyle Hom^{circ }(A,B)=Hom(B,A)} («обращение стрелок»).Композиция морфизмов в f{displaystyle f} и g{displaystyle g} в категории C∘{displaystyle C^{circ }} определяется как композиция g{displaystyle g} и f{displaystyle f} в C{displaystyle C}.Понятия и утверждения, относящиеся к категории C{displaystyle C}, заменяются двойственными понятиями и утверждениями в C∘{displaystyle C^{circ }}.Так,понятие эпиморфизма двойственно понятию мономорфизма, понятие проективного объекта — понятию инъективного объекта, прямое произведение —прямой сумме и т. д.Контравариантный функтор на C становится ковариантным на C∘{displaystyle C^{circ }}.

Иногда двойственная категория имеетнепосредственную реализацию: так, категория дискретных абелевых групп эквивалентна двойственной категории к категориикомпактных абелевых групп (двойственность Понтрягина), а категория аффинных схем эквивалентна двойственной категории ккатегории коммутативных колец с единицей.