Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа (G,∗){displaystyle (G,*)} абелева если a∗b=b∗a{displaystyle a*b=b*a} для любых двух элементов a,b∈G{displaystyle a,;bin G}.
Групповушная операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком +{displaystyle +}.
Название дано в честь норвежского математика Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.
Содержание
- 1 Примеры
- 2 Связанные определения
- 3 Свойства
- 4 Конечные абелевы группы
- 5 Вариации и обобщения
- 6 См. также
- 7 Литература
Примеры
- Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
- Любая циклическая группа G=⟨a⟩{displaystyle G=langle arangle } . Действительно, для любых x=an{displaystyle x=a^{n}} и y=am{displaystyle y=a^{m}} верно, что
- xy=aman=am+n=anam=yx{displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx} .
- В частности, целые числа Z{displaystyle mathbb {Z} } образуют коммутативную группу по сложению, также как и классы вычетов Z/nZ{displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } .
- Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.
- Обратимые элементы коммутативного кольца, в частности, ненулевые элементы любого поля, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.
Связанные определения
- По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.
Свойства
- Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
- Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
- Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть n{displaystyle n} — натуральное число, а x{displaystyle x} — элемент коммутативной группы G{displaystyle G} с операцией, обозначаемой +, тогда nx{displaystyle nx} можно определить как x+x+…+x{displaystyle x+x+ldots +x} (n{displaystyle n} раз) и (−n)x=−(nx){displaystyle (-n)x=-(nx)} .
- Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над кольцом главных идеалов Z{displaystyle mathbb {Z} } ), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольным кольцом главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорожденных абелевых групп.
- Множество гомоморфизмов Hom(G,H){displaystyle operatorname {Hom} (G,;H)} всех групповых гомоморфизмов из G{displaystyle G} в H{displaystyle H} само является абелевой группой. Действительно, пусть f,g:G→H{displaystyle f,;g:Gto H} — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f+g{displaystyle f+g} , заданная как (f+g)(x)=f(x)+g(x){displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)} , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если H{displaystyle H} некоммутативная группа).
Конечные абелевы группы
Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.Zmn{displaystyle mathbb {Z} _{mn}}
изоморфно прямой сумме Zm{displaystyle mathbb {Z} _{m}} и Zn{displaystyle mathbb {Z} _{n}} тогда и только тогда, когда m{displaystyle m} и n{displaystyle n} взаимно просты.
Следовательно, можно записать абелеву группу G{displaystyle G}
в форме прямой суммы
- Zk1⊕…⊕Zku{displaystyle mathbb {Z} _{k_{1}}oplus ldots oplus mathbb {Z} _{k_{u}}}
двумя различными способами:
- Где числа k1,…,ku{displaystyle k_{1},;ldots ,;k_{u}} степени простых
- Где k1{displaystyle k_{1}} делит k2{displaystyle k_{2}} , которое делит k3{displaystyle k_{3}} , и так далее до ku{displaystyle k_{u}} .
Например, Z/15Z=Z15{displaystyle mathbb {Z} /15mathbb {Z} =mathbb {Z} _{15}}
может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: Z/15Z={0,5,10}⊕{0,3,6,9,12}{displaystyle mathbb {Z} /15mathbb {Z} ={0,;5,;10}oplus {0,;3,;6,;9,;12}} . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.
Вариации и обобщения
- Дифференциальной группой называется абелева группа C{displaystyle mathbf {C} } , в которой задан такой эндоморфизм d:C→C{displaystyle dcolon mathbf {C} to mathbf {C} } , что d2=0{displaystyle d^{2}=0} . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра kerd{displaystyle ker ,d} — циклами, элементы образа Imd{displaystyle mathrm {Im} ,d} — границами.
См. также
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
| Это статья-заготовка по алгебре. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую. |
