wiki

Возведение в степень

Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием a{displaystyle a} и натуральным показателем b{displaystyle b} обозначается как

Графики четырёх функций вида y=ax{displaystyle y=a^{x}}, a{displaystyle a} указано рядом с графиком функции

ab=a⋅a⋅…⋅a⏟b,{displaystyle a^{b}=underbrace {acdot acdot ldots cdot a} _{b},}

где b{displaystyle b} — количество множителей (умножаемых чисел)[1][К 1].

Например, 32=3⋅3=9;24=2⋅2⋅2⋅2=16{displaystyle 3^{2}=3cdot 3=9;quad 2^{4}=2cdot 2cdot 2cdot 2=16}

В языках программирования, где написание ab{displaystyle a^{b}} невозможно, применяются альтернативные обозначения[⇨].

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных[⇨], рациональных[⇨], вещественных[⇨] и комплексных[⇨] степеней[1].

Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени c=ab{displaystyle c=a^{b}} и показателя b{displaystyle b} находит неизвестное основание a=cb{displaystyle a={sqrt[{b}]{c}}}. Вторая обратная операция — логарифмирование, она по известным значениям степени c=ab{displaystyle c=a^{b}} и основания a{displaystyle a} находит неизвестный показатель b=loga⁡c{displaystyle b=log _{a}c}. Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм) решается с помощью операции возведения в степень.

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Содержание

Употребление в устной речи

Запись an{displaystyle a^{n}}

  обычно читается как «a в n{displaystyle n} -й степени» или «a в степени n». Например, 104{displaystyle 10^{4}}  читается как «десять в четвёртой степени», 103/2{displaystyle 10^{3/2}}  читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, 102{displaystyle 10^{2}}

  читается как «десять в квадрате», 103{displaystyle 10^{3}}  читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо a2{displaystyle a^{2}} , a3{displaystyle a^{3}}  древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[2].

Число, являющееся результатом возведения натурального числа в n{displaystyle n}

 -ую степень, называется точной n{displaystyle n} -ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется полным квадратом.

Свойства

Основные свойства

Все приведенные ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел[3]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени[⇨].

  • a1=a{displaystyle a^{1}=a} 
  • (ab)n=anbn{displaystyle left(abright)^{n}=a^{n}b^{n}} 
  • (ab)n=anbn{displaystyle left({a over b}right)^{n}={{a^{n}} over {b^{n}}}} 
  • anam=an+m{displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}} 
  • anam=an−m{displaystyle left.{a^{n} over {a^{m}}}right.=a^{n-m}} 
  • (an)m=anm{displaystyle left(a^{n}right)^{m}=a^{nm}} .

Запись anm{displaystyle a^{n^{m}}}

  не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае,(an)m≠a(nm){displaystyle (a^{n})^{m}neq a^{left({n^{m}}right)}}  Например, (22)3=43=64{displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64} , а 2(23)=28=256{displaystyle 2^{left({2^{3}}right)}=2^{8}=256} . В математике принято считать запись anm{displaystyle a^{n^{m}}}  равнозначной a(nm){displaystyle a^{left({n^{m}}right)}} , а вместо (an)m{displaystyle (a^{n})^{m}}  можно писать просто anm{displaystyle a^{nm}} , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения.

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, ab≠ba{displaystyle a^{b}neq b^{a}}

 , например, 25=32{displaystyle 2^{5}=32} , но 52=25.{displaystyle 5^{2}=25.} 

Таблица натуральных степеней небольших чисел

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2,187 6,561 19,683 59,049
4 16 64 256 1024 4,096 16,384 65,536 262,144 1,048,576
5 25 125 625 3125 15,625 78,125 390,625 1,953,125 9,765,625
6 36 216 1296 7,776 46,656 279,936 1,679,616 10,077,696 60,466,176
7 49 343 2401 16,807 117,649 823,543 5,764,801 40,353,607 282,475,249
8 64 512 4096 32,768 262,144 2,097,152 16,777,216 134,217,728 1,073,741,824
9 81 729 6561 59,049 531,441 4,782,969 43,046,721 387,420,489 3,486,784,401
10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000 100,000,000 1,000,000,000 10,000,000,000

Расширения

Целая степень

Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль[4]::

az={az,z>01,z=0,a≠01a|z|,z<0,a≠00,z>0,a=0{displaystyle a^{z}={begin{cases}a^{z},&z>01,&z=0,aneq ;0{frac {1}{a^{|z|}}},&z<0,aneq ;0,&z>0,a=0end{cases}}} 

Результат не определён при a=0{displaystyle a=0}

  и z⩽0{displaystyle zleqslant 0} .

Рациональная степень

Возведение в рациональную степень m/n,{displaystyle m/n,}

  где m{displaystyle m}  — целое число, а n{displaystyle n}  — натуральное, положительного числа определяется следующим образом[4]:

amn=(an)m;∀a>0,a∈R,m∈Z,n∈N.{displaystyle a^{m over n}=({sqrt[{n}]{a}})^{m};quad forall a>0,ain mathbb {R} ,min mathbb {Z} ,nin mathbb {N} .} .

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.

0mn=0;m∈N,n∈N.{displaystyle 0^{m over n}=0;quad min mathbb {N} ,nin mathbb {N} .} 

Для отрицательных a{displaystyle a}

  степень с дробным показателем не рассматривается.

Следствие: an=a1/n;a>0,a∈R.{displaystyle {sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};quad a>0,ain mathbb {R} .}

  Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.

Вещественная степень

Если a⩾0,r{displaystyle ageqslant 0,r}

  — вещественные числа, причём r{displaystyle r}  — иррациональное число, возможно определить ar{displaystyle a^{r}}  следующим образом: поскольку любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для r{displaystyle r}  рациональный интервал [p,q]{displaystyle [p,q]}  с любой степенью точности, то общая часть всех соответствующих интервалов [ap,aq]{displaystyle [a^{p},a^{q}]}  состоит из одной точки, которая и принимается за ar{displaystyle a^{r}} .

Полезные формулы:

xy=ayloga⁡x{displaystyle x^{y}=a^{ylog _{a}x}} 
xy=eyln⁡x{displaystyle x^{y}=e^{yln x}} 
xy=10ylg⁡x{displaystyle x^{y}=10^{ylg x}} 

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции xy{displaystyle x^{y}}

 , и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Комплексная степень

Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в тригонометрической форме. Результат однозначен:

zn=rn(cos⁡φ+isin⁡φ)n=rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ);∀n∈N,z∈C,r∈R{displaystyle z^{n}=r^{n}(cos varphi +isin varphi )^{n}=r^{n}(cos nvarphi +isin nvarphi );quad forall nin mathbb {N} ,zin mathbb {C} ,rin mathbb {R} }  , (формула Муавра).

Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента ez{displaystyle e^{z}}

 , где e{displaystyle e}  — число Эйлера, z=x+iy{displaystyle z=x+iy}  — произвольное комплексное число[5].

Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:

ez=1+z+z22!+z33!+z44!+⋯.{displaystyle e^{z}=1+z+{frac {z^{2}}{2!}}+{frac {z^{3}}{3!}}+{frac {z^{4}}{4!}}+cdots .} 

Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного z,{displaystyle z,}

  поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для eiy{displaystyle e^{iy}} :

eiy=1+iy+(iy)22!+(iy)33!+(iy)44!+⋯=(1−y22!+y44!−y66!+⋯)+i(y−y33!+y55!−⋯).{displaystyle e^{iy}=1+iy+{frac {(iy)^{2}}{2!}}+{frac {(iy)^{3}}{3!}}+{frac {(iy)^{4}}{4!}}+cdots =left(1-{frac {y^{2}}{2!}}+{frac {y^{4}}{4!}}-{frac {y^{6}}{6!}}+cdots right)+ileft(y-{frac {y^{3}}{3!}}+{frac {y^{5}}{5!}}-cdots right).} 

В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:

ez=exeyi=ex(cos⁡y+isin⁡y){displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(cos y+isin y)} 

Общий случай ab{displaystyle a^{b}}

 , где a,b{displaystyle a,b}  — комплексные числа, определяется через представление a{displaystyle a}  в показательной форме: a=rei(θ+2πk){displaystyle a=re^{i(theta +2pi k)}}  согласно определяющей формуле[5]:

ab=(eLn⁡(a))b=(eln⁡(r)+i(θ+2πk))b=eb(ln⁡(r)+i(θ+2πk)).{displaystyle a^{b}=(e^{operatorname {Ln} (a)})^{b}=(e^{operatorname {ln} (r)+i(theta +2pi k)})^{b}=e^{b(operatorname {ln} (r)+i(theta +2pi k))}.} 

Здесь Ln{displaystyle operatorname {Ln} }

  — комплексный логарифм, ln{displaystyle ln }  — его главное значение.

При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно[5]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество e2πi=1{displaystyle e^{2pi i}=1}

  в степень i.{displaystyle i.}  Слева получится e−2π,{displaystyle e^{-2pi },}  справа, очевидно, 1. В итоге: e−2π=1,{displaystyle e^{-2pi }=1,}  что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень i{displaystyle i}  даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных k{displaystyle k} ), поэтому правило (ab)c=abc{displaystyle left(a^{b}right)^{c}=a^{bc}}  здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа e−2πk;{displaystyle e^{-2pi k};}  отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при k=0{displaystyle k=0}  и при k=1.{displaystyle k=1.} 

Степень как функция

Разновидности

Поскольку в выражении xy{displaystyle x^{y}}

  используются два символа (x{displaystyle x}  и y{displaystyle y} ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.

  • Функция переменной x{displaystyle x}  (при этом y{displaystyle y}  — постоянная-параметр). Такая функция называется степенной. Обратная функция — извлечение корня.
  • Функция переменной y{displaystyle y}  (при этом x{displaystyle x}  — постоянная-параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента). Обратная функция — логарифм.
  • Функция двух переменных f(x,y)=xy.{displaystyle f(x,y)=x^{y}.}  Отметим, что в точке (0,0){displaystyle (0,0)}  эта функция имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси X,{displaystyle X,}  где y=0,{displaystyle y=0,}  она равна единице, а вдоль положительного направления оси Y,{displaystyle Y,}  где x=0,{displaystyle x=0,}  она равна нулю.

Ноль в степени ноль

Основная статья: Ноль в нулевой степени

Выражение 00{displaystyle 0^{0}}

  (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция f(x,y)=xy{displaystyle f(x,y)=x^{y}}  в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

ex=1+∑n=1∞xnn!{displaystyle e^{x}=1+sum _{n=1}^{infty }{x^{n} over n!}} 

можно записать короче:

ex=∑n=0∞xnn!.{displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{x^{n} over n!}.} 

Следует предостеречь, что соглашение 00=1{displaystyle 0^{0}=1}

  чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

История

Обозначение

В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, x4{displaystyle x^{4}}

  изображалось как xxxx.{displaystyle xxxx.}  Отред записывал x5−15×4{displaystyle x^{5}-15x^{4}}  следующим образом: 1qc−15qq{displaystyle 1qc-15qq}  (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)[6]. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.

В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени[7]; например, (2)2+1(2){displaystyle (2)2+1(2)}

  у него означало 22+x2{displaystyle 2^{2}+x^{2}} . Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали x4{displaystyle x^{4}}  в виде x4{displaystyle x4}  и xIV{displaystyle x^{IV}}  соответственно[8].

Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)[8][9].

Запись возведения в степень в языках программирования

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «↑» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^» («циркумфлекс», он же «карет»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень.То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: abc=a(bc){displaystyle a^{b^{c}}=a^{left(b^{c}right)}}

 .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

Во многих языках программирования (например, в Java, Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции.

Вариации и обобщения

Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к матрицам, линейным операторам, множествам (относительно декартова произведения, см. декартова степень).

Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном моноиде M{displaystyle M}

  (полугруппе с единицей) и определяется индуктивно[10] для любого x∈M{displaystyle xin M} :

  • x0=e{displaystyle x^{0}=e}  (где e{displaystyle e}  — единица моноида).
  • xn+1=xnx{displaystyle x^{n+1}=x^{n}x} , где n⩾0{displaystyle ngeqslant 0} 
  • Если n<0,{displaystyle n<0,}  то xn{displaystyle x^{n}}  определён только для обратимых элементов x.{displaystyle x.} 

Особенную ценность представляет применение возведения в степень к группам и полям, где возникает прямой аналог отрицательных степеней.

Гипероператор возведения в степень — тетрация.

Примечания

  1. ↑ 1 2 Степень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 221.
  2. ↑ Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — С. 165—167. — 456 с.
  3. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 140—141.
  4. ↑ 1 2 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 182—184.
  5. ↑ 1 2 3 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд.. — М.: Наука, 1977. — С. 597 (подстрочное примечание 3). — 872 с.
  6. ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §290—297.
  7. ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §164.
  8. ↑ 1 2 Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.
  9. ↑ History of Mathematical Notations, vol. 1, 2007, §298—301, 307—309.
  10. ↑ David M. Bloom. Linear Algebra and Geometry (англ.). — 1979. — P. 45. — ISBN 978-0-521-29324-2.
Комментарии
  1. ↑ В разговорной речи иногда говорят, например, что a3{displaystyle a^{3}}  — «a умноженное само на себя три раза», имея в виду, что берётся три множителя a{displaystyle a} . Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: a3=a⋅a⋅a{displaystyle a^{3}=acdot acdot a}  (три множителя, но две операции умножения). Часто, когда говорят «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть a4.{displaystyle a^{4}.}  См. Август Давидов. Начальная алгебра. — Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман, 1883-01-01. — С. 6. — 534 с.. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение».
  2. ↑ Для целой степени.
  3. ↑ Для неотрицательной целой степени.
  4. ↑ Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^, реализованной только как последовательное умножение.
  5. ↑ Начиная с версии 5.6 (см. Руководство по PHP › Appendices › Миграция с PHP 5.5.x на PHP 5.6.x › Новые возможности).
  6. ↑ Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм.
  7. ↑ Описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года.
  8. ↑ 1 2 В JavaScript изначально присутствует метод Math.pow(x, y).

Литература

Ссылки

Читайте также