Ковариантный вектор

Разделы:

Ковариа́нтным ве́ктором (синоним: кове́ктор) называется вектор кокасательного пространства, то есть 1-форма. Естественным базисом для разложения ковекторов служит дуальный базис.

Говоря проще, ковариантный вектор — это такой объект, который действует на обычный контравариантный вектор и в результате даёт число — скалярное произведение этих векторов с обычными свойствами линейности. Размерность ковекторов совпадает с размерностью их контравариантных аналогов.

Это определение согласовано с определением ковариантного тензора валентности 1 (см. Тензор), каковым и является ковариантный вектор (ковектор) в качестве частного случая тензора.

Содержание

1 Основные сведения
2 Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикой
- 2.1 Соответствие между векторами и ковекторами
- 2.2 Различие между векторами и ковекторами
3 Примечания
4 См. также
5 Литература

Основные сведения

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта — 1-формы или обычного вектора, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Ковариантные координаты любого объекта принято записывать с нижним индексом, а также — в матричных обозначениях — в виде вектора-строки (в отличие от записи с верхним индексом и вектора-столбца для контравариантных координат, естественных для представления контравариантного вектора).

Возможно, было бы лучше строго придерживаться различия в понимании терминов «ковектор» и «ковариантный вектор», понимая под первым объект (вектор ко-касательного пространства — 1-форму), а под вторым — представление с нижним индексом любого объекта, однако с одной стороны — изоморфизм между ко- и просто касательным пространствами в случае (псевдо-)римановых многообразий всё равно размывает формальную границу в этом самом распространённом случае, а с другой стороны — традиция применения термина к тензорам достаточно устойчива. Кроме того, подъём-опускание индекса возможны всё-таки не во всех случаях, а при этом свойства представления будут жёстко закреплены за самим объектом.

Простое «традиционное» определение ковариантного вектора из учебника Ландау [1]:

«Ковариантным вектором называется всякая совокупность [равного размерности пространства количества] величин, которые при преобразовании координат преобразуются как производные от скаляра».

Под производными от скаляра имеются тут в виду производные от скалярной функции по (контравариантным) координатам:

(∂ϕ∂x1,∂ϕ∂x2,…),{displaystyle left({frac {partial phi }{partial x^{1}}},{frac {partial phi }{partial x^{2}}},dots right),}

{displaystyle left({frac {partial phi }{partial x^{1}}},{frac {partial phi }{partial x^{2}}},dots right),}

а вектор, согласно «традиционному» подходу определяется как набор его координат, изменяющихся определенным образом при замене базиса (системы координат).

Как видим, формально это определение описывает ковариантное представление, но содержательно описывает в качестве образца ковариантного вектора ковектор — 1-форму — градиент скаляра — для которой (как и для остальных 1-форм) именно это представление естественно[2].

Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикой

Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют) задана невырожденная метрика.

Соответствие между векторами и ковекторами

Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

vi=gijvj{displaystyle v_{i}=g_{ij}v^{j}}

v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

vi=gijvj{displaystyle v^{i}=g^{ij}v_{j}}

v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Различие между векторами и ковекторами

Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов, например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свертка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам dxi{displaystyle dx^{i}}

$dx^{i}$ ) — естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими, как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр dφ=(∂iφ)dxi{displaystyle dvarphi =(partial _{i}varphi ),dx^{i}} $dvarphi =(partial _{i}varphi ),dx^{i}$ получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора ∂iφ{displaystyle partial _{i}varphi } $partial _{i}varphi$ , являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором dxi{displaystyle dx^{i}} $dx^{i}$ , являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой dxi{displaystyle dx^{i}} $dx^{i}$ свёртывается с помощью метрики: (dx)2=gijdxidxj{displaystyle (dx)^{2}=g_{ij},dx^{i},dx^{j}} $(dx)^{2}=g_{{ij}},dx^{i},dx^{j}$ , что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности — контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения dxi{displaystyle dx^{i}}

$dx^{i}$ , являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с dxi{displaystyle dx^{i}} $dx^{i}$ посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы (1-формы), в противном случае (свёртка требует участия метрики) — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для ковектора же — ковариантное.

Примечания

↑ * Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля, стр. 298
↑ Естественность ковариантного предствыления 1-формы градиента означает, что ее естественное предстваление — набор частных производных (∂ϕ∂x1,∂ϕ∂x2,…)≡∂iϕ{displaystyle left({frac {partial phi }{partial x^{1}}},{frac {partial phi }{partial x^{2}}},dots right)equiv partial _{i}phi } ${displaystyle left({frac {partial phi }{partial x^{1}}},{frac {partial phi }{partial x^{2}}},dots right)equiv partial _{i}phi }$ — дает в скалярном произведении с контравариантным вектором dxi{displaystyle dx^{i}} $dx^{i}$ инвариант dϕ=∂1ϕ dx1+∂2ϕ dx2+⋯=∂iϕ dxi{displaystyle dphi =partial _{1}phi dx^{1}+partial _{2}phi dx^{2}+dots =partial _{i}phi dx^{i}} ${displaystyle dphi =partial _{1}phi dx^{1}+partial _{2}phi dx^{2}+dots =partial _{i}phi dx^{i}}$ — полный дифференциал функции ф, конечно же, инвариантный (в последней формуле подразумевается суммирование по индексу i по правилу Эйнштейна).

См. также

Литература

Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля