Непрерывная функция

Разделы:

Эта статья — о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Содержание

1 Определение
2 Точки разрыва
- 2.1 Классификация точек разрыва в R¹
- 2.2 Классификация изолированных особых точек в Rn, n>1
3 Свойства
- 3.1 Локальные
- 3.2 Глобальные
4 Примеры
5 Вариации и обобщения
6 Литература

Определение

Пусть D⊂R{displaystyle Dsubset mathbb {R} }

$Dsubset mathbb {R}$ и f:D→R{displaystyle f:Dto mathbb {R} } $f:Dto mathbb {R}$ .Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке x0∈D{displaystyle x_{0}in D} $x_{0}in D$ .

Определение через предел: функция f{displaystyle f} $f$ непрерывна в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , предельной для множества D{displaystyle D} $D$ , если f{displaystyle f} $f$ имеет предел в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , и этот предел совпадает со значением функции f(x0){displaystyle f(x_{0})} $f(x_{0})$ :

limx→x0f(x)=f(x0){displaystyle lim _{xto x_{0}}f(x)=f(x_{0})} ${displaystyle lim _{xto x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$
Определение, использующее ε-δ-формализм: функция f{displaystyle f} $f$ непрерывна в точке x0∈D{displaystyle x_{0}in D} $x_{0}in D$ , если для любого ε>0{displaystyle varepsilon >0} $varepsilon >0$ существует δ>0{displaystyle delta >0} $delta >0$ такое, что для любого x∈D{displaystyle xin D} $xin D$ ,

|x−x0|<δ⇒|f(x)−f(x0)|<ε.{displaystyle |x-x_{0}|<delta Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<varepsilon .} ${displaystyle |x-x_{0}|<delta Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<varepsilon .}$

Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента x{displaystyle x}

x

удовлетворять условию 0<|x−a|{displaystyle 0<leftvert x-arightvert }

{displaystyle 0<leftvert x-arightvert }

, т.е. быть отличными от а.

Определение, использующее o-нотацию: функция f{displaystyle f} $f$ непрерывна в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , если

f(x+δ)=f(x0)+o(δ){displaystyle f(x+delta )=f(x_{0})+o(delta )} ${displaystyle f(x+delta )=f(x_{0})+o(delta )}$ , при δ→0{displaystyle delta to 0} ${displaystyle delta to 0}$ .
Определение через колебания: функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Функция f{displaystyle f}

$f$ непрерывна на множестве E{displaystyle E} $E$ , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция f{displaystyle f}

$f$ класса C0{displaystyle C^{0}} $C^{0}$ и пишут: f∈C0(E){displaystyle fin C^{0}(E)} $fin C^{0}(E)$ или, подробнее, f∈C0(E,R){displaystyle fin C^{0}(E,mathbb {R} )} $fin C^{0}(E,mathbb {R} )$ .

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если A{displaystyle A}

$A$ — значение функции f{displaystyle f} $f$ в точке a{displaystyle a} $a$ , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с A{displaystyle A} $A$ . На языке окрестностей условие разрывности функции f{displaystyle f} $f$ в точке a{displaystyle a} $a$ получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки A{displaystyle A} $A$ области значений функции f{displaystyle f} $f$ , что как бы мы близко не подходили к точке a{displaystyle a} $a$ области определения функции f{displaystyle f} $f$ , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки A{displaystyle A} $A$ .

Классификация точек разрыва в R¹

Классификация разрывов функций f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}

$f:Xto Y$ зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — f:R→R{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} } $f:mathbb {R} to mathbb {R}$ . Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

Шаблон:Галерея файлов

Устранимая точка разрыва

Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

limx→af(x)≠f(a){displaystyle lim limits _{xto a}f(x)neq f(a)}

lim limits _{xto a}f(x)neq f(a)

то точка a{displaystyle a}

$a$ называется точкой устранимого разрыва функции f{displaystyle f} $f$ (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию f{displaystyle f}

$f$ в точке устранимого разрыва и положить f(a)=limx→af(x){displaystyle f(a)=lim limits _{xto a}f(x)} $f(a)=lim limits _{xto a}f(x)$ , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»

Разрыв «скачок» возникает, если

limx→a−0f(x)≠limx→a+0f(x){displaystyle lim limits _{xto a-0}f(x)neq lim limits _{xto a+0}f(x)}

lim limits _{xto a-0}f(x)neq lim limits _{xto a+0}f(x)

Точка разрыва «полюс»

Разрыв «полюс» возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

limx→a−0f(x)=±∞{displaystyle lim limits _{xto a-0}f(x)=pm infty }

lim limits _{xto a-0}f(x)=pm infty

или limx→a+0f(x)=±∞{displaystyle lim limits _{xto a+0}f(x)=pm infty }

lim limits _{xto a+0}f(x)=pm infty

.[источник не указан 2656 дней]

Точка существенного разрыва

В точке существенного разрыва один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в Rn, n>1

Для функций f:Rn→Rn{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}

$f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}$ и f:C→C{displaystyle f:mathbb {C} to mathbb {C} } $f:mathbb {C} to mathbb {C}$ нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация сходная.

Если ∃limx→af(x){displaystyle exists lim limits _{xto a}f(x)} $exists lim limits _{xto a}f(x)$ , то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
Полюс определяется как limx→af(x)=∞{displaystyle lim limits _{xto a}f(x)=infty } $lim limits _{xto a}f(x)=infty$ . В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что f(x)→∞{displaystyle f(x)to infty } $f(x)to infty$ , каким путём бы он ни рос.[источник не указан 2656 дней]
Если предел вообще не существует, это существенная особая точка.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в R{displaystyle mathbb {R} }

$mathbb {R}$ считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

Свойства

Локальные

Функция, непрерывная в точке a{displaystyle a} $a$ , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
Если функция f{displaystyle f} $f$ непрерывна в точке a{displaystyle a} $a$ и f(a)>0{displaystyle f(a)>0} ${displaystyle f(a)>0}$ (или f(a)<0{displaystyle f(a)<0} ${displaystyle f(a)<0}$ ), то f(x)>0{displaystyle f(x)>0} ${displaystyle f(x)>0}$ (или f(x)<0{displaystyle f(x)<0} ${displaystyle f(x)<0}$ ) для всех x{displaystyle x} $x$ , достаточно близких к a{displaystyle a} $a$ .
Если функции f{displaystyle f} $f$ и g{displaystyle g} $g$ непрерывны в точке a{displaystyle a} $a$ , то функции f+g{displaystyle f+g} $f+g$ и f⋅g{displaystyle fcdot g} ${displaystyle fcdot g}$ тоже непрерывны в точке a{displaystyle a} $a$ .
Если функции f{displaystyle f} $f$ и g{displaystyle g} $g$ непрерывны в точке a{displaystyle a} $a$ и при этом g(a)≠0{displaystyle g(a)neq 0} ${displaystyle g(a)neq 0}$ , то функция f/g{displaystyle f/g} $f/g$ тоже непрерывна в точке a{displaystyle a} $a$ .
Если функция f{displaystyle f} $f$ непрерывна в точке a{displaystyle a} $a$ и функция g{displaystyle g} $g$ непрерывна в точке b=f(a){displaystyle b=f(a)} ${displaystyle b=f(a)}$ , то их композиция h=g∘f{displaystyle h=gcirc f} ${displaystyle h=gcirc f}$ непрерывна в точке a{displaystyle a} $a$ .

Глобальные

Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
Областью значений функции f{displaystyle f} $f$ , непрерывной на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ , является отрезок [minf, maxf],{displaystyle [min f, max f],} ${displaystyle [min f, max f],}$ где минимум и максимум берутся по отрезку [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ .
Если функция f{displaystyle f} $f$ непрерывна на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ и f(a)⋅f(b)<0,{displaystyle f(a)cdot f(b)<0,} ${displaystyle f(a)cdot f(b)<0,}$ то существует точка ξ∈(a,b),{displaystyle xi in (a,b),} $xi in (a,b),$ в которой f(ξ)=0{displaystyle f(xi )=0} ${displaystyle f(xi )=0}$ .
Если функция f{displaystyle f} $f$ непрерывна на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ и число φ{displaystyle varphi } $varphi$ удовлетворяет неравенству f(a)<φ<f(b){displaystyle f(a)<varphi <f(b)} ${displaystyle f(a)<varphi <f(b)}$ или неравенству f(a)>φ>f(b),{displaystyle f(a)>varphi >f(b),} ${displaystyle f(a)>varphi >f(b),}$ то существует точка ξ∈(a,b),{displaystyle xi in (a,b),} $xi in (a,b),$ в которой f(ξ)=φ{displaystyle f(xi )=varphi } ${displaystyle f(xi )=varphi }$ .
Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
Монотонная функция на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами f(a){displaystyle f(a)} $f(a)$ и f(b){displaystyle f(b)} $f(b)$ .
Если функции f{displaystyle f} $f$ и g{displaystyle g} $g$ непрерывны на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ , причем f(a)<g(a){displaystyle f(a)<g(a)} ${displaystyle f(a)<g(a)}$ и f(b)>g(b),{displaystyle f(b)>g(b),} ${displaystyle f(b)>g(b),}$ то существует точка ξ∈(a,b),{displaystyle xi in (a,b),} $xi in (a,b),$ в которой f(ξ)=g(ξ).{displaystyle f(xi )=g(xi ).} ${displaystyle f(xi )=g(xi ).}$ Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция f:R→R,{displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {R} ,}

$fcolon mathbb {R} to mathbb {R} ,$ задаваемая формулой

f(x)={sin⁡xx,x≠00,x=0{displaystyle f(x)={begin{cases}{frac {sin x}{x}},&xneq 0,&x=0end{cases}}}

f(x)={begin{cases}{frac {sin x}{x}},&xneq 0�,&x=0end{cases}}

непрерывна в любой точке x≠0.{displaystyle xneq 0.}

$xneq 0.$ Точка x=0{displaystyle x=0} $x=0$ является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

limx→0f(x)=limx→0sin⁡xx=1≠f(0).{displaystyle lim limits _{xto 0}f(x)=lim limits _{xto 0}{frac {sin x}{x}}=1neq f(0).}

lim limits _{xto 0}f(x)=lim limits _{xto 0}{frac {sin x}{x}}=1neq f(0).

Функция знака

Функция

f(x)=sgn⁡x={−1,x<00,x=01,x>0,x∈R{displaystyle f(x)=operatorname {sgn} x={begin{cases}-1,&x<0,&x=01,&x>0end{cases}},quad xin mathbb {R} }

f(x)=operatorname {sgn} x={begin{cases}-1,&x<0�,&x=01,&x>0end{cases}},quad xin mathbb {R}

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке x≠0{displaystyle xneq 0}

$xneq 0$ .

Точка x=0{displaystyle x=0}

$x=0$ является точкой разрыва первого рода, причём

limx→0−f(x)=−1≠1=limx→0+f(x){displaystyle lim limits _{xto 0-}f(x)=-1neq 1=lim limits _{xto 0+}f(x)}

lim limits _{xto 0-}f(x)=-1neq 1=lim limits _{xto 0+}f(x)

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

f(x)={1,x⩾00,x<0,x∈R{displaystyle f(x)={begin{cases}1,&xgeqslant 0,&x<0end{cases}},quad xin mathbb {R} }

f(x)={begin{cases}1,&xgeqslant 0�,&x<0end{cases}},quad xin mathbb {R}

является всюду непрерывной, кроме точки x=0{displaystyle x=0}

$x=0$ , где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x=0{displaystyle x=0} $x=0$ существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

f(x)={1,x>00,x⩽0,x∈R{displaystyle f(x)={begin{cases}1,&x>0,&xleqslant 0end{cases}},quad xin mathbb {R} }

f(x)={begin{cases}1,&x>0�,&xleqslant 0end{cases}},quad xin mathbb {R}

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Основная статья: Функция Дирихле

Функция

f(x)={1,x∈Q0,x∈R∖Q{displaystyle f(x)={begin{cases}1,&xin mathbb {Q} ,&xin mathbb {R} setminus mathbb {Q} end{cases}}}

f(x)={begin{cases}1,&xin mathbb {Q} �,&xin mathbb {R} setminus mathbb {Q} end{cases}}

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

f(x)={1n,x=mn∈Q, (m,n)=10,x∈R∖Q{displaystyle f(x)={begin{cases}{frac {1}{n}},&x={frac {m}{n}}in mathbb {Q} , (m,n)=1,&xin mathbb {R} setminus mathbb {Q} end{cases}}}

f(x)={begin{cases}{frac {1}{n}},&x={frac {m}{n}}in mathbb {Q} , (m,n)=1�,&xin mathbb {R} setminus mathbb {Q} end{cases}}

называется функцией Римана или не указано название статьи.

Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел (R∖Q{displaystyle mathbb {R} setminus mathbb {Q} }

$mathbb {R} setminus mathbb {Q}$ ), поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Основная статья: Равномерная непрерывность

Функция f{displaystyle f}

$f$ называется равномерно непрерывной на E{displaystyle E} $E$ , если для любого ε>0{displaystyle varepsilon >0} $varepsilon >0$ существует δ>0{displaystyle delta >0} $delta >0$ такое, что для любых двух точек x1{displaystyle x_{1}} $x_{1}$ и x2{displaystyle x_{2}} $x_{2}$ таких, что |x1−x2|<δ{displaystyle |x_{1}-x_{2}|<delta } $|x_{1}-x_{2}|<delta$ , выполняется |f(x1)−f(x2)|<ε{displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<varepsilon } $|f(x_{1})-f(x_{2})|<varepsilon$ .

Каждая равномерно непрерывная на множестве E{displaystyle E}

$E$ функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

функция f{displaystyle f} $f$ называется полунепрерывной снизу в точке a{displaystyle a} $a$ , если для любого ε>0{displaystyle varepsilon >0} $varepsilon >0$ существует такая окрестность UE(a){displaystyle U_{E}(a)} $U_{E}(a)$ , что f(x)>f(a)−ε{displaystyle f(x)>f(a)-varepsilon } $f(x)>f(a)-varepsilon$ для всякого x∈UE(a){displaystyle xin U_{E}(a)} $xin U_{E}(a)$ ;
функция f{displaystyle f} $f$ называется полунепрерывной сверху в точке a{displaystyle a} $a$ , если для любого ε>0{displaystyle varepsilon >0} $varepsilon >0$ существует такая окрестность UE(a){displaystyle U_{E}(a)} $U_{E}(a)$ , что f(x)<f(a)+ε{displaystyle f(x)<f(a)+varepsilon } $f(x)<f(a)+varepsilon$ для всякого x∈UE(a){displaystyle xin U_{E}(a)} $xin U_{E}(a)$ .

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

если взять функцию f{displaystyle f} $f$ , непрерывную в точке a{displaystyle a} $a$ , и уменьшить значение f(a){displaystyle f(a)} $f(a)$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке a{displaystyle a} $a$ ;
если взять функцию f{displaystyle f} $f$ , непрерывную в точке a{displaystyle a} $a$ , и увеличить значение f(a){displaystyle f(a)} $f(a)$ (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке a{displaystyle a} $a$ .

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

если f(a)=−∞{displaystyle f(a)=-infty } $f(a)=-infty$ , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке a{displaystyle a} $a$ ;
если f(a)=+∞{displaystyle f(a)=+infty } $f(a)=+infty$ , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке a{displaystyle a} $a$ .

Односторонняя непрерывность

Функция f{displaystyle f}

$f$ называется непрерывной слева (справа) в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: f(x0)=limx→x0−f(x){displaystyle f(x_{0})=lim limits _{xto x_{0}-}f(x)} $f(x_{0})=lim limits _{xto x_{0}-}f(x)$ (f(x0)=limx→x0+f(x)).{displaystyle (f(x_{0})=lim limits _{xto x_{0}+}f(x)).} $(f(x_{0})=lim limits _{xto x_{0}+}f(x)).$

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция f{displaystyle f}

$f$ такова, что она непрерывна всюду на E{displaystyle E} $E$ , кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Литература

Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.