Дифференцируемая функция

Разделы:

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.[1]

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке.[2][3]

Содержание

1 Функции одной переменной
2 Функции нескольких переменных
3 Отображения
4 Примечания
5 Литература
6 Ссылки

Функции одной переменной

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая) Функция f(x)=|x|{displaystyle f(x)=|x|} $f(x)=|x|$ и её производная. График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Этот график имеет фрактальный характер: зум (в красном круге) подобен всему графику.

Функция f:M⊂R↦R{displaystyle fcolon Msubset mathbb {R} mapsto mathbb {R} }

${displaystyle fcolon Msubset mathbb {R} mapsto mathbb {R} }$ одной переменной является дифференцируемой в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ своей области определения M{displaystyle M} $M$ , если существует такая константа a{displaystyle a} $a$ , что для любой точки x∈M{displaystyle xin M} $x in M$ верно

f(x)=f(x0)+a(x−x0)+o(x−x0), x→x0,{displaystyle f(x)=f(x_{0})+a(x-x_{0})+o(x-x_{0}), quad xto x_{0},}

{displaystyle f(x)=f(x_{0})+a(x-x_{0})+o(x-x_{0}), quad xto x_{0},}

Шаблон:/рамкапри этом число a{displaystyle a}

$a$ неизбежно равно производной

a=f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0.{displaystyle a=f'(x_{0})=lim limits _{xto x_{0}}{frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.}

{displaystyle a=f'(x_{0})=lim limits _{xto x_{0}}{frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.}

Шаблон:/рамкаФункция одной переменной является дифференцируемой в точке x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ тогда и только тогда, она имеет производную в этой точке.

График функции y=f(x){displaystyle y=f(x)}

$y=f(x)$ представляет собой кривую на плоскости Oxy{displaystyle Oxy} $Oxy$ , а график линейной функции

y=f(x0)+f′(x0)(x−x0){displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}

{displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}

доставляет касательную прямую к этой кривой, проведённую в точке x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ .

Напр., функция f(x)=x2{displaystyle f(x)=x^{2}}

$f(x) = x^2$ определена и дифференцируема в любой вещественной точке, поскольку её можно представить в виде

f(x)=f(x0)+2×0(x−x0)+(x−x0)2{displaystyle f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2}}

{displaystyle f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2}}

При этом её производная есть f′(x0)=2×0{displaystyle f'(x_{0})=2x_{0}}

${displaystyle f'(x_{0})=2x_{0}}$ , а уравнение касательной прямой, проведённой в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , имеет вид: y=x02+2×0(x−x0){displaystyle y=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})} ${displaystyle y=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})}$ .

Элементарные функции могут быть непрерывны в некоторой точке, но не быть в ней дифференцируемы. Напр., функция f(x)=|x|{displaystyle f(x)=|x|}

$f(x)=|x|$ является непрерывной на всей вещественной оси, но её производная испытывает скачок при переходе через точку x=0{displaystyle x=0} $x=0$ , в котором эта функция не является дифференцируемой. В этой точке нельзя провести и касательную к графику функции. Функция y=x3{displaystyle y={sqrt[{3}]{x}}} ${displaystyle y={sqrt[{3}]{x}}}$ тоже непрерывна на всей вещественной оси и её график имеет касательные во всех точках, однако касательная, проведённая в точке x=0{displaystyle x=0} $x=0$ , является вертикальной прямой и поэтому производная функции y=x3{displaystyle y={sqrt[{3}]{x}}} ${displaystyle y={sqrt[{3}]{x}}}$ бесконечно велика в точке x=0{displaystyle x=0} $x=0$ , а сама функция не дифференцируема в этой точке.

Графики элементарных функций учат, что произвольная функция дифференцируема всюду, за исключением исключительных и изолированных значений аргумента. Первая попытка аналитического доказательства этого утверждения принадлежит Амперу [4], и поэтому оно носит название гипотезы Ампера. Это утверждение, однако, не верно в классе аналитически представимых функций, напр., функция Дирихле не является даже непрерывной ни в одной точке[5]. Нельзя также считать и произвольную непрерывную функцию дифференцируемой, напр., функция Вейерштрасса определена и непрерывная на всей вещественной оси, но не является дифференцируемой ни в одной её точке[6]. Это в частности означает, что к её графику ни в одной точке нельзя провести касательную прямую. Тем не менее, гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку следующей теоремы Лебега: любая монотонная функция f(x){displaystyle f(x)}

$f(x)$ имеет определённую конечную производную всюду, кроме, быть может, некоторого множества значений x{displaystyle x} $x$ меры нуль.[7]

Функции нескольких переменных

Функция f:M⊂Rn→R{displaystyle fcolon Msubset mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }

${displaystyle fcolon Msubset mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ переменных x=(x1,…,xn){displaystyle x=(x^{1},ldots ,x^{n})} ${displaystyle x=(x^{1},ldots ,x^{n})}$ является дифференцируемой в точке x0=(x01,…,x0n){displaystyle x_{0}=(x_{0}^{1},ldots ,x_{0}^{n})} ${displaystyle x_{0}=(x_{0}^{1},ldots ,x_{0}^{n})}$ своей области определения M{displaystyle M} $M$ , если для любой точки x=(x1,…,xn)∈M{displaystyle x=(x^{1},ldots ,x^{n})in M} ${displaystyle x=(x^{1},ldots ,x^{n})in M}$ существуют такие константы a=(a1,…,an){displaystyle a=(a^{1},ldots ,a^{n})} ${displaystyle a=(a^{1},ldots ,a^{n})}$ , что

f(x)=f(x0)+∑i=1nai(xi−x0i)+o(‖x−x0‖), x→x0,{displaystyle f(x)=f(x_{0})+sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})+o(|x-x_{0}|), quad xto x_{0},}

{displaystyle f(x)=f(x_{0})+sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})+o(|x-x_{0}|), quad xto x_{0},}

Шаблон:/рамкагде ‖x−x0‖2=∑i=1n(xi−x0i)2{displaystyle |x-x_{0}|^{2}=sum _{i=1}^{n}(x^{i}-x_{0}^{i})^{2}}

${displaystyle |x-x_{0}|^{2}=sum _{i=1}^{n}(x^{i}-x_{0}^{i})^{2}}$ .

В этой записи функция

A(x−x0)=∑i=1nai(xi−x0i){displaystyle A(x-x_{0})=sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})}

${displaystyle A(x-x_{0})=sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})}$ Шаблон:/рамкаявляется дифференциалом функции f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , а числа a1,…,an{displaystyle a^{1},ldots ,a^{n}} ${displaystyle a^{1},ldots ,a^{n}}$ являются частными производными функции f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , то есть

ai=∂f∂xi(x0)=limh→0f(x0+hei)−f(x0)h,{displaystyle a^{i}={frac {partial f}{partial x^{i}}}(x_{0})=lim limits _{hto 0}{frac {f(x_{0}+he_{i})-f(x_{0})}{h}},}

{displaystyle a^{i}={frac {partial f}{partial x^{i}}}(x_{0})=lim limits _{hto 0}{frac {f(x_{0}+he_{i})-f(x_{0})}{h}},}

Шаблон:/рамкагде ei∈Rn{displaystyle e_{i}in mathbb {R} ^{n}}

${displaystyle e_{i}in mathbb {R} ^{n}}$ — вектор, все компоненты которого, кроме i{displaystyle i} $i$ -ой, равны нулю, а i{displaystyle i} $i$ -ая компонента равна 1.

Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных f(x,y){displaystyle f(x,y)}

$f(x,y)$ , равную 0{displaystyle 0} ${displaystyle 0}$ при xy=0{displaystyle xy=0} ${displaystyle xy=0}$ и 1{displaystyle 1} $1$ при xy≠0{displaystyle xyneq 0} ${displaystyle xyneq 0}$ . В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.

Это обстоятельство могло бы стать серьезной помехой всему дифференциальному исчислению функций многих переменных, если бы не выяснилось, что непрерывности частных производных в точке достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.[8]

Отображения

Отображение f:M⊂Rn→Rm{displaystyle fcolon Msubset mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}

${displaystyle fcolon Msubset mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}$ называется дифференцируемым в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ своей области определения M{displaystyle M} $M$ , если существует такое линейное отображение A:Rn→Rm{displaystyle Acolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}} ${displaystyle Acolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}$ ,зависящее от точки x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , что для любой точки x∈M{displaystyle xin M} $x in M$ верно

f(x)=f(x0)+A(x−x0)+o(‖x−x0‖), x→x0,{displaystyle f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(|x-x_{0}|), quad xto x_{0},}

{displaystyle f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(|x-x_{0}|), quad xto x_{0},}

Шаблон:/рамкато есть, раскрывая символ «o» малое, если

limx→x0‖f(x)−f(x0)−A(x−x0)‖‖x−x0‖=0{displaystyle lim limits _{xto x_{0}}{frac {|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})|}{|x-x_{0}|}}=0}

{displaystyle lim limits _{xto x_{0}}{frac {|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})|}{|x-x_{0}|}}=0}

Линейное отображение A:Rn→Rm{displaystyle Acolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}

${displaystyle Acolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}$ является дифференциалом отображения f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ .

Если отображение f:M⊂Rn→Rm{displaystyle fcolon Msubset mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}

${displaystyle fcolon Msubset mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}$ задано набором функций

fi:M⊂Rn→R, i=1,…,m,{displaystyle f_{i}colon Msubset mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} , quad i=1,ldots ,m,}

{displaystyle f_{i}colon Msubset mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} , quad i=1,ldots ,m,}

то его дифференцируемость в точке x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ равносильна дифференцируемости всех функций в данной точке, и матрица его дифференциала A{displaystyle A} $A$ — это матрица Якоби, составленная из частных производных этих функций в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ .

Примечания

↑ Зорич В. А., Математический анализ — Любое издание, том 1 глава VIII.
↑ Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
↑ Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.
↑ Ampère, A.M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ Pascal E. Esercizii critici di calcolo differenziale e integrale. Ed. 2. Milano, 1909. P. 1-3.
↑ Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
↑ Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. С. 15.
↑ Зорич В. А., Математический анализ — Любое издание, том 1 глава VIII.

Литература

Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — С. 13-16.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.—Л.: ГНТИ, 1931. — Т. 2. — С. 60-69.
Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Фазис, 1997. — Т. 1.