Телесный угол

Разделы:

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность.

Телесный угол

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

Ω=SR2.{displaystyle Omega ,=,{S over R^{2}}.}

Omega ,=,{S over R^{2}}.

Стерадиан

Очевидно, телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r{displaystyle ~r} $~r$ поверхность с площадью r2{displaystyle ~r^{2}} ${displaystyle ~r^{2}}$ . Полная сфера образует телесный угол, равный 4π{displaystyle ~4pi } ${displaystyle ~4pi }$ стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Обозначается телесный угол обычно буквой Ω{displaystyle ~Omega } $~Omega$ .

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω{displaystyle ~Omega } $~Omega$ определяется какугол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω{displaystyle ~Omega } $~Omega$ неострый угол.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

	Стерадиан	Кв. градус	Кв. минута	Кв. секунда	Полный угол
1 стерадиан =	1	(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103⋅107 кв. минут	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517⋅1010 кв. секунд	1/4π ≈ ≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10−4 стерадиан	1	60² = = 3600 кв. минут	(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068⋅10−5 полного угла
1 кв. минута =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10−8 стерадиан	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10−4 кв. градусов	1	60² = = 3600 кв. секунд	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335⋅10−9 полного угла
1 кв. секунда =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10−11 стерадиан	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938⋅10−8 кв. градусов	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10−4 кв. минут	1	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10−12 полного угла
Полный угол =	4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅108 кв. минут	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅1011 кв. секунд	1

Содержание

1 Вычисление телесных углов
2 Свойства телесных углов
3 Величины некоторых телесных углов
4 См. также

Вычисление телесных углов

Для произвольной стягивающей поверхности S{displaystyle S}

$S$ телесный угол Ω{displaystyle Omega } $Omega$ , под которым она видна из начала координат, равен

Ω=∬SdΩ=∬Ssin⁡ϑdφdϑ=∬S(r/r)⋅ndSr2,{displaystyle Omega =iint limits _{S}dOmega =iint limits _{S}sin vartheta dvarphi dvartheta =iint limits _{S}{frac {(mathbf {r} /r)cdot mathbf {n} dS}{r^{2}}},}

${displaystyle Omega =iint limits _{S}dOmega =iint limits _{S}sin vartheta dvarphi dvartheta =iint limits _{S}{frac {(mathbf {r} /r)cdot mathbf {n} dS}{r^{2}}},}$

где r,ϑ,φ{displaystyle r,vartheta ,varphi }

$r,vartheta ,varphi$ — сферические координаты элемента поверхности dS,{displaystyle dS,} $dS,$ r{displaystyle mathbf {r} } $mathbf {r}$ — его радиус-вектор, n{displaystyle mathbf {n} } $mathbf {n}$ — единичный вектор, нормальный к dS.{displaystyle dS.} $dS.$

Свойства телесных углов

Полный телесный угол (полная сфера) равен 4π{displaystyle 4pi } $4pi$ стерадиан.
Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

Величины некоторых телесных углов

Треугольник с координатами вершин r1{displaystyle mathbf {r} _{1}} ${mathbf {r}}_{1}$ , r2{displaystyle mathbf {r} _{2}} ${mathbf {r}}_{2}$ , r3{displaystyle mathbf {r} _{3}} ${mathbf {r}}_{3}$ виден из начала координат под телесным углом

Ω=2arctg(r1r2r3)r1r2r3+(r1⋅r2)r3+(r2⋅r3)r1+(r3⋅r1)r2,{displaystyle Omega =2,mathrm {arctg} ,{frac {(mathbf {r} _{1}mathbf {r} _{2}mathbf {r} _{3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+(mathbf {r} _{1}cdot mathbf {r} _{2})r_{3}+(mathbf {r} _{2}cdot mathbf {r} _{3})r_{1}+(mathbf {r} _{3}cdot mathbf {r} _{1})r_{2}}},}

$Omega =2,{mathrm {arctg}},{frac {({mathbf {r}}_{1}{mathbf {r}}_{2}{mathbf {r}}_{3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+({mathbf {r}}_{1}cdot {mathbf {r}}_{2})r_{3}+({mathbf {r}}_{2}cdot {mathbf {r}}_{3})r_{1}+({mathbf {r}}_{3}cdot {mathbf {r}}_{1})r_{2}}},$

где (r1r2r3){displaystyle (mathbf {r} _{1}mathbf {r} _{2}mathbf {r} _{3})}

$({mathbf {r}}_{1}{mathbf {r}}_{2}{mathbf {r}}_{3})$ — смешанное произведение данных векторов, (ri⋅rj){displaystyle (mathbf {r} _{i}cdot mathbf {r} _{j})} $({mathbf {r}}_{i}cdot {mathbf {r}}_{j})$ — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен Ω=2π(1−cos⁡α2){displaystyle Omega =2pi (1-cos {frac {alpha }{2}})} $Omega =2pi (1-cos {frac {alpha }{2}})$ . Если известны радиус основания R{displaystyle R} $R$ и высота H{displaystyle H} $H$ конуса, то Ω=2π(1−HR2+H2){displaystyle Omega =2pi (1-{frac {H}{sqrt {R^{2}+H^{2}}}})} $Omega =2pi (1-{frac {H}{{sqrt {R^{2}+H^{2}}}}})$ . Когда угол раствора конуса мал, Ω≈πα24{displaystyle Omega approx {frac {pi alpha ^{2}}{4}}} $Omega approx {frac {pi alpha ^{2}}{4}}$ (α{displaystyle alpha } $alpha$ выражено в радианах), или Ω≈0,000239α2{displaystyle Omega approx 0,000239alpha ^{2}} $Omega approx 0,000239alpha ^{2}$ (α{displaystyle alpha } $alpha$ выражено в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6⋅10−5 стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).

Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах:

Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы θa,θb,θc{displaystyle theta _{a},theta _{b},theta _{c}} $theta _{a},theta _{b},theta _{c}$ при вершине, как:

Ω=4arctg⁡tg⁡(θs2)tg⁡(θs−θa2)tg⁡(θs−θb2)tg⁡(θs−θc2){displaystyle Omega =4,operatorname {arctg} {sqrt {operatorname {tg} left({frac {theta _{s}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{a}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{b}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{c}}{2}}right)}}}

{displaystyle Omega =4,operatorname {arctg} {sqrt {operatorname {tg} left({frac {theta _{s}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{a}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{b}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{c}}{2}}right)}}}

, где θs=θa+θb+θc2{displaystyle theta _{s}={frac {theta _{a}+theta _{b}+theta _{c}}{2}}}

theta _{s}={frac {theta _{a}+theta _{b}+theta _{c}}{2}}

— полупериметр.

Через двугранные углы α,β,γ{displaystyle alpha ,beta ,gamma }

alpha ,beta ,gamma

телесный угол выражается, как:

Ω=α+β+γ−π{displaystyle Omega =alpha +beta +gamma -pi }

{displaystyle Omega =alpha +beta +gamma -pi }

Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда) равен 18{displaystyle {frac {1}{8}}} ${frac {1}{8}}$ полного телесного угла, или π2{displaystyle {frac {pi }{2}}} ${frac {pi }{2}}$ стерадиан.

Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна 1N{displaystyle {frac {1}{N}}} ${frac {1}{N}}$ полного телесного угла, или 4πN{displaystyle {frac {4pi }{N}}} ${frac {4pi }{N}}$ стерадиан.

См. также

Медиафайлы на Викискладе